Bài 9.16 trang 96 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hàm số $f\left( x \right) = 2{\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right).$ Chứng minh rằng $\left| {f''\left( x \right)} \right| \le 4$ với mọi x.

Lời giải chi tiết

Ta có $f'\left( x \right) = 2.2\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right).{\left[ {\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right]^,} = 4\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 2\sin \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right)$

$\Rightarrow f''\left( x \right) = 2.2\cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right) = 4\cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right)$

Mặt khác $- 1 \le \cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right) \le 1 \Leftrightarrow  - 4 \le f''\left( x \right) \le 4$

Vậy $\left| {f''\left( x \right)} \right| \le 4$ với mọi x.