Bài 8.37 trang 89 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.

b) Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua A và vuông góc với cạnh SC lần lượt cắt SB, SC, SD tại B’, C’, D’. Chứng minh B'D' song song với BD và AB’vuông góc với SB.

Lời giải chi tiết

a) SA vuông góc với (ABCD) nên SA vuông góc với AD, AB, BC, AD

Suy ra tam giác SAD vuông tại A, tam giác SAB vuông tại A

Ta có: SA, AB vuông góc với BC nên (SAB) vuông góc với BC

Suy ra SB vuông góc với BC nên tam giác SBC vuông tại B

Có: SA, AD vuông góc với CD nên (SAD) vuông góc với CD

Suy ra SD vuông góc với CD nên tam giác SCD vuông tại D.

b) Vì B’, D’ thuộc \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \alpha  \right)\) vuông góc với SC nên B’D’ vuông góc với SC (1)

Ta có: SA, AC vuông góc với BD nên (SAC) vuông góc với BD

Suy ra SC vuông góc với BD (2)

Từ (1) và (2) suy ra BD // B’D’

Ta có: (SAB) vuông góc với BC (cmt)

Mà: AB’ thuộc (SAB) nên AB’ vuông góc với BC.