Bài 8 trang 58 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của mỗi dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ sau, biết số hạng tổng quát:

a) $u_n = \frac{n}{n+1}$

b) $u_n = \frac{2}{5^n}$

Lời giải chi tiết

a) $u_n = \frac{n}{n+1}$

Xét hiệu

$u_{n+1} - u_n = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1}$

$= \frac{n^2 + 2n + 1 - n^2}{n^2 + 3n + 2} = \frac{n^2 + n + 1}{n^2 + 3n + 2} > 0$

Do đó $u_n + 1 > u_n \quad (1)$

Ta có: $u_n = \frac{n}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}$

Vì $0 < \frac{1}{n+1} \leq \frac{1}{2}$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$ nên $-\frac{1}{2} \leq -\frac{1}{n+1} < 0$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} \leq 1 - \frac{1}{n+1} < 1$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$

hay $\frac{1}{2} \leq u_n < 1$ với mọi $n \in \mathbb{N}^* \quad (2)$

Từ (1) và (2) suy ra $u_n$ là dãy số tăng và bị chặn.

b) $u_n = \frac{2}{5^n}$

Xét hiệu

$u_{n+1} - u_n = \frac{2}{5^{n+1}} - \frac{2}{5^n}$

$= \frac{2 - 2 \cdot 5}{5^{n+1}} = \frac{2 - 10}{5^{n+1}} = -\frac{8}{5^{n+1}} < 0$

Do đó $u_n + 1 < u_n \quad (3)$

Vì $0 < \frac{2}{5^n} \leq \frac{2}{5}$ với mọi $n \in \mathbb{N}^* \quad (4)$

Từ (3) và (4) suy ra $u_n$ là dãy số giảm và bị chặn.