Bài 8 trang 58 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của mỗi dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau, biết số hạng tổng quát:
a) \({u_n} = \frac{{{n^2}}}{{n + 1}}\)
b) \({u_n} = \frac{2}{{{5^n}}}\)
c) \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}.{n^2}\)

Lời giải chi tiết

a)      Ta có \({u_n} = \frac{{{n^2}}}{{n + 1}} > 0\forall n \in {N^*}\)nên \({u_n}\)bị chặn dưới

Xét hiệu:

\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{{{(n + 1)}^2}}}{{n + 2}} - \frac{{{n^2}}}{{n + 1}} = \frac{{{{(n + 1)}^3} - {n^2}(n + 2)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{{n^3} + 3{n^2} + 3n + 1 - {n^3} - 2{n^2}}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{{n^2} + 3n + 1}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0\forall n \in {N^*}\end{array}\)

Vì vậy dãy số đã cho là dãy số tăng và bị chặn dưới.

b)     Ta có: \({u_n} = \frac{2}{{{5^n}}} \ge \frac{2}{5}\forall n \in {N^*}\)nên \({u_n}\) bị chặn dưới

Xét hiệu: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{2}{{{5^{n + 1}}}} - \frac{2}{{{5^n}}} =  - \frac{4}{5}.\frac{2}{{{5^n}}} =  - \frac{8}{{{5^{n + 1}}}} < 0\)

Vì vậy dãy số đã cho là dãy số giảm và bị chặn dưới.

c)      Ta có: \({u_n} = {n^2} > 0\forall n = 2k,n,k \in {N^*}\)

\({u_n} =  - {n^2} < 0\forall n = 2k + 1,n,k \in {N^*}\)

Dãy số \({u_n}\) là dãy số không tăng không giảm và không bị chặn.