Bài 8 trang 55 SBT Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Cho hình chóp S.ABC có $SA \bot mp(ABC),AB = c,AC = b$ , $\widehat {BAC} = \alpha$. Gọi B₁, C₁ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Chứng mình rằng các điểm A, B, C, B₁,C₁ cùng thuộc một mặt cầu và tính bán kính của mặt cầu đó theo b, c,$\alpha$.

Lời giải chi tiết

Gọi AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, khi đó $CD \bot AC,$ mặt khác $CD \bot SA$, từ đó $CD \bot mp(SAC)$, vậy $CD \bot A{C_1}$.

Theo giả thiết $A{C_1} \bot SC$ nên $A{C_1} \bot {C_1}D.$

Tương tự như trên, ta cũng có $\widehat {ABD} = {90^0},\widehat {A{B_1}D} = {90^0}.$

Vậy AD là đường kính của mặt cầu đi qua các điểm A, B, C, B₁, C₁.

Bán kính R của mặt cầu đó cũng là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, do đó ${{BC} \over {\sin A}} = 2R,$ mặt khác

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.{\mathop{\rm cosA}\nolimits}$ hay $BC = \sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc.cos\alpha } ,$

Vậy $R = {{\sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc.cos\alpha } ,} \over {2\sin \alpha }}$

Chú ý. Có thể chứng minh các điểm A, B, C, B₁, C₁ cùng thuộc một mặt cầu như sau :

Xét các tam giác vuông SAB, SAC, ta có $S{A^2} = SB.S{B_1},S{A^2} = SC.S{C_1},$từ đó $SB.S{B_1} = SC.S{C_1},$ suy ra  B, C, B₁, C₁ cùng thuộc một đường tròn.

Như vậy, hình chóp A.BCC₁B₁ có đáy BCC₁B₁ có đường tròn ngoại tiếp nên hình chóp đó có mặt cầu ngoại tiếp, tức là các điểm A, B, C, B₁, C₁ cùng thuộc một mặt cầu.

HocTot.Nam.Name.Vn