Bài 11 trang 55 SBT Hình học 12 Nâng cao

LG a

Xác định tâm và bán kính mạt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a, b, c ở đó b = AC, c = BD.

Lời giải chi tiết:

Vì $AC \bot AB,AC \bot BD$ nên $AC \bot AD.$

Tương tự như trên, ta có $CB \bot BD$

Vậy CD là đường kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Dễ thấy $C{D^2} = C{A^2} + A{B^2} + B{D^2}$

$={a^2} + {b^2} + {c^2}$

Vậy tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là trung điểm của CD và bán kính mặt cầu bằng ${1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .$

LG b

Khi C, D thay đổi trên Ax, By sao cho AC + BD = CD, chứng tỏ rằng CD luôn tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB.

Lời giải chi tiết:

Gọi C₁ là điểm thuộc tia đối của tia Ax sao cho AC₁ = BD.

Gọi O là trung điểm của AB thì

$\eqalign{  & OC_1^2 = AC_1^2 + {{A{B^2}} \over 4},  \cr  & O{D^2} = BD^2 + {{A{B^2}} \over 4}, \cr}$

Do đó OC₁ = OD.

Mặt khác CD = AC + BD, từ đó CD = CC₁.

Vậy hai tam giác OC₁C và ODC bằng nhau, suy ra OA = OH (trong đó OA, OH lần lượt là đường cao của hai tam giác đó).

Điều này khẳng định khoảng cách từ O đến CD bằng ${{AB} \over 2}$, tức là mặt cầu đường kính AB tiếp xúc với CD.

HocTot.Nam.Name.Vn