Bài 7.18 trang 50 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Một vật dao động điều hòa có phương trình \(x = 4\cos \pi t\) (\(x\) tính bằng \(cm\), \(t\) tính bằng giây).

a) Tính vận tốc của vật tại thời điểm \(t = 0,75\) giây

b) Tìm thời điểm đầu tiên vật có gia tốc lớn nhất.

Lời giải chi tiết

a) Vận tốc của vật là \(v = x' = \left( {4\cos \pi t} \right)' =  - 4\sin \pi t.\left( {\pi t} \right)' =  - 4\pi \sin \pi t\)

Vận tốc của vật  tại thời điểm \(t = 0,75\) giây là \(v\left( {0,75} \right) =  - 4\pi .\sin 0,75\pi  =  - 2\sqrt 2 \pi \)

b) Gia tốc của vật là \(a = x'' = \left( { - 4\pi \sin \pi t} \right)' =  - 4\pi \cos \pi t.\left( {\pi t} \right)' =  - 4{\pi ^2}\cos \pi t\)

Ta có \( - 1 \le \cos \pi t \le 1 \Leftrightarrow 4{\pi ^2} \ge  - 4{\pi ^2}\cos \pi t \ge  - 4{\pi ^2} \Leftrightarrow 4{\pi ^2} \ge a \ge  - 4{\pi ^2}\)

Vậy gia tốc lớn nhất bằng \(a = 4{\pi ^2}\) khi \(\cos \pi t =  - 1\)

Vậy tại thời điểm đầu tiên là \(t = 1\) thì vật có gia tốc lớn nhất