Bài 7 trang 116 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều

Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ (Hình 100).

a) Tính góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $B'C'$.

b) Tính góc giữa đường thẳng $A'B$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.

c) Tính số đo của góc nhị diện $\left[ {B,CC',M} \right]$.

d) Chứng minh rằng $CC'\parallel \left( {ABB'A'} \right)$. Tính khoảng cách giữa đường thẳng $CC'$ và mặt phẳng $\left( {ABB'A'} \right)$.

e) Chứng minh rằng $CM \bot \left( {ABB'A'} \right)$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $CC'$ và $A'M$.

g) Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ và thể tích khối chóp $A'.MBC$.

Lời giải chi tiết

a) $BCC'B'$ là hình chữ nhật $\Rightarrow BC\parallel B'C'$

$\Rightarrow \left( {AB,B'C'} \right) = \left( {AB,BC} \right) = \widehat {ABC} = {60^ \circ }$.

b)

$\Delta AA'B$ vuông tại $A \Rightarrow \tan \widehat {ABA'} = \frac{{AA'}}{{AB}} = \frac{a}{a} = 1 \Rightarrow \widehat {ABA'} = {45^ \circ }$

Vậy $\left( {A'B,\left( {ABC} \right)} \right) = {45^ \circ }$.

c) $CC' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow CC' \bot BC,CC' \bot CM$

Vậy $\widehat {BCM}$ là góc nhị diện $\left[ {B,CC',M} \right]$.

$\Delta ABC$ đều $\Rightarrow \widehat {BCM} = \frac{1}{2}\widehat {ACB} = {30^ \circ }$.

d) $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot CM$

$\Delta ABC$ đều $\Rightarrow CM \bot AB$.

$\Rightarrow CM \bot \left( {ABB'A'} \right)$

$\Delta ABC$ đều $\Rightarrow CM = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

$\left. \begin{array}{l}CC'\parallel AA'\\AA' \subset \left( {ABB'A'} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow CC'\parallel \left( {ABB'A'} \right)$

$\Rightarrow d\left( {CC',\left( {ABB'A'} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {ABB'A'} \right)} \right) = CM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

e) $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot CM$

$\Delta ABC$ đều $\Rightarrow CM \bot AB$.

$\Rightarrow CM \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow CM \bot A'M$

$CC' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow CC' \bot CM$

$\Rightarrow d\left( {CC',A'M} \right) = CM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

g) ${S_{\Delta ABC}} = \frac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4},h = AA' = a$

$\Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{\Delta ABC}}.AA' = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}$

${S_{\Delta MBC}} = \frac{1}{2}{S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{8},h = AA' = a$

$\Rightarrow {V_{A'.MBC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta MBC}}.AA' = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{8}.a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}$