Bài 6 trang 116 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right),AC \bot BC,$$SA = BC = a\sqrt 3 ,AC = a$(Hình 99).

a) Tính góc giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$.

b) Tính góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.

c) Tính số đo của góc nhị diện $\left[ {B,SA,C} \right]$.

d) Tính khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$.

e) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$.

g) Tính thể tích của khối chóp $S.ABC$.

Lời giải chi tiết

a) $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC \Rightarrow \left( {SA,BC} \right) = {90^ \circ }$.

b) $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA}$

$\Delta SAC$ vuông tại $A \Rightarrow \tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3  \Rightarrow \widehat {SCA} = {60^ \circ }$

Vậy $\left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right) = {60^ \circ }$.

c) $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AB,SA \bot AC$

Vậy $\widehat {BAC}$ là góc nhị diện $\left[ {B,SA,C} \right]$.

$\Delta ABC$ vuông tại $C \Rightarrow \tan \widehat {BAC} = \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3  \Rightarrow \widehat {BAC} = {60^ \circ }$.

d)

$\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\\AC \bot BC\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right)\\ \Rightarrow d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right) = BC = a\sqrt 3 \end{array}$

e) $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AC,AC \bot BC$

$\Rightarrow d\left( {SA,BC} \right) = AC = a$

g) ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AC.BC = \frac{1}{2}a.a\sqrt 3  = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$

$\begin{array}{l}h = SA = a\sqrt 3 \\ \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{\Delta ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.a\sqrt 3  = \frac{{{a^3}}}{2}\end{array}$