Bài 64 trang 87 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Gọi $MH$ là đường cao của tam giác $MNP.$ Chứng minh rằng: Nếu $MN < MP$ thì $HN < HP$  và  $\widehat {NMH} < \widehat {PMH}$ (yêu cầu xét hai trường hợp: khi góc $N$ nhọn và khi góc $N$ tù).

Lời giải chi tiết

 

+ Nếu góc $N$ nhọn (hình a)

$∆MNP$ có $\hat N$ nhọn nên chân đường cao $H$ kẻ từ $M$ nằm giữa $N$ và $P.$

Hình chiếu của $MN$ và $MP$ trên $NP$ lần lượt là $HN$ và $HP.$

Vì $MN < MP$ $\Rightarrow HN < HP$ (quan hệ giữa các đường xiên và hình chiếu).

$∆MNP$ có $MN < MP$ $\Rightarrow$  $\widehat {MPN} < \widehat {MNP}$ (quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác)    (1)

Lại có  $\widehat {NMH} + \widehat {MNH} = {90^o}$ ($∆MNH$ vuông tại $H$)   (2)

          $\widehat {MPH} + \widehat {PMH} = {90^o}$ ($∆MHP$ vuông tại $H$)     (3)

Từ (1), (2), (3) $\Rightarrow \widehat {NMH} < \widehat {PMH}$

+ Nếu góc $N$ tù (hình b)

$∆MNP$ có  $\hat N$ tù nên chân đường cao $H$ ở ngoài cạnh $NP$ và $N$ ở giữa $H$ và $P$ (Xem lại Bài 58 trang 83 SGK Toán 7 tập 2 - hoctot.nam.name.vn )

$\Rightarrow$ Tia $MN$ ở giữa hai tia $MH$ và $MP.$

$\Rightarrow \widehat {HMN} < \widehat {HMP}$.