Bài 60 trang 92 SGK Toán 8 tập 2

Đề bài

Cho tam giác vuông $ABC$, $\widehat A =90^0, \widehat C=30^0$ và đường phân giác $BD$ ($D$ thuộc cạnh $AC$). 

a) Tính tỉ số $\dfrac{{A{\rm{D}}}}{{C{\rm{D}}}}$ .

b) Cho biết độ dài $AB = 12,5 cm$. Hãy tính chu vi và diện tích của tam giác $ABC$.

Lời giải chi tiết

 

a) Xét tam giác $BCA$ vuông tại $A$ (gt) có: 

$\begin{array}{l} \widehat {ACB} + \widehat {ABC} = {90^0}\\ \Rightarrow \widehat {ABC} = {90^0} - \widehat {ACB} \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= {90^0} - {30^0} = {60^0} \end{array}$

Trên tia đối của tia $AB$ lấy điểm $B'$ sao cho $AB = AB'$ (1)

Xét hai tam giác vuông $ABC$ và $AB'C$ có:

$AC$ chung (gt)

$AB = AB'$ (gt)

$\Rightarrow \Delta ABC = \Delta AB'C$ (cạnh góc vuông - cạnh góc vuông)

$\Rightarrow BC = B'C$ (2 cạnh tương ứng)

$\Rightarrow \Delta BB'C$ cân tại $C$.

Lại có $\widehat {ABC} = {60^0}$ nên suy ra $\Delta BB'C$ đều (dấu hiệu nhận biết tam giác đều) (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{BC}} =\dfrac{{AB}}{{BB'}}= \dfrac{1}{2}$

Vì $BD$ là đường phân giác của $\Delta ABC$ nên:

$\dfrac{{DA}}{{DC}} = \dfrac{{BA}}{{BC}} = \dfrac{1}{2}$

b) $∆ABC$ vuông tại $A$ nên áp dụng định lí Pitago ta có:

$\eqalign{ & A{C^2} = B{C^2} - A{B^2},\,BC = 2AB \cr & \Rightarrow A{C^2} = 4A{B^2} - A{B^2} = 3A{B^2} \cr & \Rightarrow AC = \sqrt {3A{B^2}} = AB\sqrt 3 \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 12,5\sqrt 3 \approx 21,65\,cm \cr}$

Gọi $p$ là chu vi $∆ABC$

$\Rightarrow p = AB + BC + CA$

$\Rightarrow p = 3AB + AC = 3.12,5 + 12,5\sqrt 3$

$\Rightarrow p = 12,5 (3+\sqrt 3 ) \approx 59,15\left( {cm} \right)$

${S_{ABC}} = \dfrac{1 }{ 2}AB.AC \approx 135,31(c{m^2})$

HocTot.Nam.Name.Vn