Giải bài 5 trang 10 SGK Giải tích 12

LG a

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

$\tan x>x\ \ \left( 0<x<\frac{\pi }{2} \right).$

Phương pháp giải:

+) Chuyển vế tất cả các biểu thức chứa biến sang vế trái sau đó so sánh hàm số $y\left( x \right)$ với 0.

+) Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số $y\left( x \right)$ và khảo sát hàm số $y\left( x \right)$  trên các khoảng đề bài đã cho.

+) Dựa vào tính đơn điệu của hàm số để kết luận bài toán.

Lời giải chi tiết:

$\tan x>x\ \ \left( 0<x<\dfrac{\pi }{2} \right).$

Xét hàm số: $y=f\left( x \right)=\tan x-x$ với $x\in \left( 0;\ \dfrac{\pi }{2} \right).$

Ta có: $y'=\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1=\dfrac{1-{{\cos }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}=\dfrac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}$ $={{\tan }^{2}}x>0,\forall x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$

Vậy hàm số luôn đồng biến trên $\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right).$

$\Rightarrow \forall \ x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right) \text{ta có}  \, f\left( x \right)>f\left( 0 \right) \\ \Leftrightarrow \tan x-x>\tan 0-0 \\ \Leftrightarrow \tan x-x>0 \\ \Leftrightarrow \tan x>x\ \ \left( dpcm \right).$

Quảng cáo

LG b

$\tan x>x+\dfrac{{{x}^{3}}}{3}\ \ \left( 0<x<\frac{\pi }{2} \right).$

Phương pháp giải:

+) Chuyển vế tất cả các biểu thức chứa biến sang vế trái sau đó so sánh hàm số $y\left( x \right)$ với 0.

+) Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số $y\left( x \right)$ và khảo sát hàm số $y\left( x \right)$  trên các khoảng đề bài đã cho.

+) Dựa vào tính đơn điệu của hàm số để kết luận bài toán.

Lời giải chi tiết:

$\tan x>x+\dfrac{{{x}^{3}}}{3}\ \ \left( 0<x<\dfrac{\pi }{2} \right).$

Xét hàm số: $y=g\left( x \right)=\tan x-x-\dfrac{{{x}^{3}}}{3}$ với $x\in \left( 0;\ \dfrac{\pi }{2} \right).$

Ta có: $y'=\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1-{{x}^{2}}=1+{{\tan }^{2}}x-1-{{x}^{2}}\\ ={{\tan }^{2}}x-{{x}^{2}}=\left( \tan x-x \right)\left( \tan x+x \right).$

Với $\forall \ x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)\Rightarrow \tan x>0$ nên ta có: $\tan x+x>0$  và $\tan x-x>0$ (theo câu a) $\Rightarrow y'>0\,\,\forall x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$

Vậy hàm số $y=g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)\Rightarrow g\left( x \right)>g\left( 0 \right).$

$\Leftrightarrow \tan x-x-\dfrac{{{x}^{3}}}{3}>\tan 0-0-0 \\ \Leftrightarrow \tan x-x-\dfrac{{{x}^{3}}}{3}>0 \\ \Leftrightarrow \tan x>x+\dfrac{{{x}^{3}}}{3}\ \ \ \left( dpcm \right).$

HocTot.Nam.Name.Vn