Bài 4.31 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm nằm trên AA', AB, DC sao cho $\frac{{AM}}{{AA'}} = \frac{{AN}}{{AB}} = \frac{{DP}}{{DC}} = \frac{1}{3}$.

a) Chứng minh mặt phẳng (MNP) song song với (A'BC).

b) Gọi Q là giao điểm của AC' với (MNP). Xét vị trí tương đối của MQ và A'C.

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác ABA' có $\frac{{AM}}{{AA'}} = \frac{{AN}}{{AB}} = \frac{1}{3}$ nên MN // A'B. Suy ra MN // (A'BC) (1)

Xét hình bình hành ABCD có $\frac{{AN}}{{AB}} = \frac{{DP}}{{DC}} = \frac{1}{3}$ nên NP // BC. Suy ra NP // (A'BC) (2)

Từ (1), (2) suy ra (MNP) // (A'BC)

b) Trong (ABB'A'), gọi E là giao điểm của AB' và MN

Suy ra E là điểm chung của (AB'C') và (MNP). Mà NP // B'C' (cùng // BC)

Qua E kẻ đường thẳng d song song với NP và B'C', cắt EP tại F. Suy ra EF là giao tuyến của (MNP) và (AB'C')

Trong (AB'C'), gọi Q là giao điểm của EF và AC'

Vậy Q là giao điểm của AC' và (MNP)

Trong (ABB'A'), gọi O là giao điểm của A'B và AB'

Xét tam giác ABO có NE // BO nên $\frac{{AN}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AO}} = \frac{1}{3}$

Ta có: AA' // CC' (cùng // BB') và AA' = CC' (cùng bằng BB') nên ACC'A' là hình bình hành

Trong (AA'C'C), gọi G là giao điểm của AC' và A'C. Suy ra G là trung điểm của AC' và A'C

Xét tam giác AB'C' có O, G là trung điểm của AB', AC' nên OG // B'C'. Suy ra OG // NQ $\Rightarrow \frac{{AE}}{{AO}} = \frac{{AQ}}{{AG}} = \frac{1}{3}$

Xét tam giác AA'G có: $\frac{{AM}}{{AA'}} = \frac{{AQ}}{{AG}} = \frac{1}{3} \Rightarrow MQ\,{\rm{// }}A'G$ hay MQ // A'C.