Bài 4.14 trang 105 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.

a) Gọi O và O’ lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và ABEF. Chứng minh rằng đường thẳng OO’ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE).

b) Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABD và ABE. Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với mặt phẳng (CEF).

Lời giải chi tiết

a,

O, O’ lần lượt là tâm hình bình hành ABCD và ABEF nên O là trung điểm AC và BD, O’ là trung điểm AE và BF (Tính chất hình bình hành)

Xét tam giác BFD có O là trung điểm BD, O’ là trung điểm BF nên OO’ là đường trung bình. Suy ra OO’ // FD

Nên OO’ // (ADF)

Xét tam giác AEC có O là trung điểm AC, O’ là trung điểm AE nên OO’ là đường trung bình. Suy ra OO’ // CE

Nên OO’ // (BCE).

b)

Mở rộng (CEF) thành (CEFD)

Gọi I là trung điểm của AB

M là trọng tâm tam giác ABD nên $\frac{{IM}}{{ID}} = \frac{1}{3}$

N là trọng tâm tam giác ABE nên $\frac{{IN}}{{IE}} = \frac{1}{3}$

Xét tam giác IDE có $\frac{{IM}}{{ID}} = \frac{{IN}}{{IE}}\left( { = \frac{1}{3}} \right)$

Suy ra MN // DE. Mà DE nằm trong (CEFD) nên MN // (CEFD) hay MN // (CEF).