Bài 4 trang 92 SGK Đại số và Giải tích 11

LG a

$u_n= \dfrac{1}{n}-2$

Phương pháp giải:

Để xét tính tăng, giảm có dãy số ta có 2 cách sau: 

Cách 1: Xét hiệu $u_{n+1}-u_n$

+) Nếu hiệu trên lớn hơn $0$ chứng tỏ $u_{n+1}>u_n$ do đó dãy số là dãy tăng.

+) Nếu hiệu trên nhỏ hơn $0$ chứng tỏ $u_{n+1}<u_n$ do đó dãy số là dãy giảm.

Cách 2: Xét thương $\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$

+) Nếu thương trên lớn hơn $1$ chứng tỏ $u_{n+1}>u_n$ do đó dãy số là dãy tăng.

+) Nếu thương trên nhỏ hơn $1$ chứng tỏ $u_{n+1}<u_n$ do đó dãy số là dãy giảm.

Lời giải chi tiết:

Xét hiệu

${u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{1}{{n + 1}} - 2 - \left( {\dfrac{1}{n} - 2} \right)$ $= \dfrac{1}{{n + 1}} - \dfrac{1}{n}$

$= \frac{{n - \left( {n + 1} \right)}}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{n\left( {n + 1} \right)}} < 0,\forall n \in {N^*}$

$\Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} < 0\,\,\forall n \in N^*$

$\Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {N^*}$

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.

Cách khác:

Với mọi $n \in  N*$  ta có:

$${u_{n + 1}} = \frac{1}{{n + 1}} - 2 < \frac{1}{n} - 2 < {u_n}$$

Do đó $(u_n)$ là dãy số giảm.

Quảng cáo

LG b

$u_n= \dfrac{n-1}{n+1}$

Lời giải chi tiết:

Xét hiệu $u_{n+1}-u_n= \dfrac{n+1-1}{n+1+1}-\dfrac{n-1}{n+1}$ $=\dfrac{n}{n+2}-\dfrac{n-1}{n+1}$ $= \dfrac{{n\left( {n + 1} \right) - \left( {n - 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}$

$= \dfrac{{{n^2} + n - \left( {{n^2} - n + 2n - 2} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}$$= \dfrac{{{n^2} + n - \left( {{n^2} + n - 2} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}$ $=  \dfrac{n^{2}+n- n^{2}-n+2}{(n+1)(n+2)}$ $=\dfrac{2}{(n+1)(n+2)}>0$

$\Rightarrow u_{n+1}> u_n \forall n \in  {\mathbb N}$

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

Cách khác:

${u_n} = \frac{{n - 1}}{{n + 1}} = \frac{{n + 1 - 2}}{{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{{n + 1}} - \frac{2}{{n + 1}} = 1 - \frac{2}{{n + 1}}$

Với mọi n thuộc N* ta có:

$\begin{array}{l} {u_{n + 1}} = 1 - \frac{1}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} = 1 - \frac{1}{{n + 2}}\\ {u_n} = 1 - \frac{1}{{n + 1}}\\ \frac{1}{{n + 2}} < \frac{1}{{n + 1}} \Rightarrow - \frac{1}{{n + 2}} > - \frac{1}{{n + 1}}\\ \Rightarrow 1 - \frac{1}{{n + 2}} > 1 - \frac{1}{{n + 1}} \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n} \end{array}$

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

LG c

${u_n} = {( - 1)^n}({2^n} + 1)$

Lời giải chi tiết:

Nhận xét: 

$\begin{array}{*{20}{l}} {\;{u_1}\; < {\rm{ }}0,{\rm{ }}{u_2}\; > {\rm{ }}0,{\rm{ }}{u_3}\; < {\rm{ }}0,{\rm{ }}{u_4}\; > {\rm{ }}0,{\rm{ }} \ldots }\\ { \Rightarrow \;{u_1}\; < {\rm{ }}{u_2},{\rm{ }}{u_2}\; > {\rm{ }}{u_3},{\rm{ }}{u_3}\; < {\rm{ }}{u_4},{\rm{ }} \ldots } \end{array}$

⇒ dãy số $(u_n)$không tăng, không giảm.

Chú ý:

Các dãy số mà có số hạng đan dấu là dãy số không tăng và cũng không giảm.

LG d

$u_n= \dfrac{2n+1}{5n+2}$

Phương pháp giải:

Xét thương $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}$ (vì $u_n> 0$  với mọi $n \in  {\mathbb N}^*$ ) rồi so sánh với $1$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${u_{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) + 1}}{{5\left( {n + 1} \right) + 2}} = \frac{{2n + 3}}{{5n + 7}}$

$\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}$ $=\dfrac{2n+3}{5n+7}:\dfrac{2n+1}{5n+2 }$

$=\dfrac{2n+3}{5n+7}.\dfrac{5n+2}{2n+1}$

$= \dfrac{{\left( {2n + 3} \right)\left( {5n + 2} \right)}}{{\left( {5n + 7} \right)\left( {2n + 1} \right)}}$

$= \dfrac{{10{n^2} + 15n + 4n + 6}}{{10{n^2} + 14n + 5n + 7}}$

$=\dfrac{10n^{2}+19n+6}{10n^{2}+19n+7}<1$ với mọi $n \in  {\mathbb N}^*$

(Vì $10{n^2} + 19n + 6 < 10{n^2} + 19n + 7$)

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm dần.

Cách khác:

$\begin{array}{l} {u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) + 1}}{{5\left( {n + 1} \right) + 2}} - \frac{{2n + 1}}{{5n + 2}}\\ = \frac{{2n + 3}}{{5n + 7}} - \frac{{2n + 1}}{{5n + 2}}\\ = \frac{{\left( {2n + 3} \right)\left( {5n + 2} \right) - \left( {2n + 1} \right)\left( {5n + 7} \right)}}{{\left( {5n + 7} \right)\left( {5n + 2} \right)}}\\ = \frac{{\left( {10{n^2} + 15n + 4n + 6} \right) - \left( {10{n^2} + 5n + 14n + 7} \right)}}{{\left( {5n + 7} \right)\left( {5n + 2} \right)}}\\ = \frac{{ - 1}}{{\left( {5n + 7} \right)\left( {5n + 2} \right)}} < 0,\forall n \in {N^*}\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} < 0,\forall n \in {N^*}\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {N^*} \end{array}$

 HocTot.Nam.Name.Vn