Bài 4 trang 12 SGK Hình học 10

Đề bài

Cho tam giác $ABC$. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành $ABIJ, BCPQ, CARS$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{RJ} + \overrightarrow{IQ} + \overrightarrow{PS}=  \overrightarrow{0}.$

Lời giải chi tiết

Ta xét tổng:

$(\overrightarrow{RJ}  +\overrightarrow{IQ}  +\overrightarrow{PS})+ ( \overrightarrow{JI}+ \overrightarrow{QP}+\overrightarrow{SR})$

$=\overrightarrow{RJ}  +\overrightarrow{IQ}  +\overrightarrow{PS}+ \overrightarrow{JI}+ \overrightarrow{QP}+\overrightarrow{SR}$

$\begin{array}{l} = \left( {\overrightarrow {RJ} + \overrightarrow {JI} } \right) + \left( {\overrightarrow {IQ} + \overrightarrow {QP} } \right) + \left( {\overrightarrow {PS} + \overrightarrow {SR} } \right)\\ = \overrightarrow {RI} + \overrightarrow {IP} + \overrightarrow {PR} \\ = \overrightarrow {RP} + \overrightarrow {PR} \end{array}$

$= \overrightarrow{RR}= \overrightarrow{0}$(1)

Mặt khác, ta có $ABIJ, BCPQ$ và $CARS$ là các hình bình hành nên:

$\overrightarrow{JI}  = \overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{QP} = \overrightarrow{BC}$

$\overrightarrow{SR}= \overrightarrow{CA}$

$\Rightarrow \overrightarrow{JI}+\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{SR}$$= \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}= \overrightarrow{AA}= \overrightarrow{0}$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra : 

$\overrightarrow{RJ} + \overrightarrow{IQ} + \overrightarrow{PS}$$=  \overrightarrow{0}.$ (đpcm)

Cách khác:

Ta có:

AJIB là hình bình hành nên $\overrightarrow {AJ}  = \overrightarrow {BI}$

$\Rightarrow \overrightarrow {AJ}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow {BI}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow {BB}  = \overrightarrow 0$

Tương tự như vậy:

BCPQ là hình bình hành nên $\overrightarrow {BQ}  + \overrightarrow {PC}  = \overrightarrow 0$

CARS là hình bình hành nên $\overrightarrow {CS}  + \overrightarrow {RA}  = \overrightarrow 0$

Do đó:

HocTot.Nam.Name.Vn