Bài 3.12 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Hãy xác định các khoảng mà trên đó mỗi hàm số sau đây là liên tục

a) \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x}}{{{x^2} - x - 6}}\)

b) \(g\left( x \right) = x + \sqrt {{x^2} - 9x} \)

c) \(h\left( x \right) = {x^2} + \cot x\)

d, \(t\left( x \right) = \left( {x + 2\sqrt x } \right)\left( {x - 2\sqrt x } \right)\)

e) \(u\left( x \right) = \frac{{\sin 2x}}{{\sqrt x }}\)

Lời giải chi tiết

a, 

Tập xác định \(D = \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)

Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x}}{{{x^2} - x - 6}}\) là hàm phân thức hữu tỉ nên hàm số liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\)

b, 

Hàm số xác định khi và chỉ khi \({x^2} - 9x \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 9\\x \le 0\end{array} \right.\)

Tập xác định của hàm số là \(\left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {9; + \infty } \right)\)

Hàm số \(y = x\) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\left( { - \infty ;0} \right]\) và \(\left[ {9; + \infty } \right)\)

Hàm số \(y = {x^2} - 9x\) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\left( { - \infty ;0} \right]\) và \(\left[ {9; + \infty } \right)\)

Ngoài ra, vì \({x^2} - 9x \ge 0,\forall x \in \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {9; + \infty } \right)\) nên \(y = \sqrt {{x^2} - 9x} \) liên tục trên \(\left( { - \infty ;0} \right]\) và \(\left[ {9; + \infty } \right)\)

Do đó, hàm số \(y = x + \sqrt {{x^2} - 9x} \) liên tục trên \(\left( { - \infty ;0} \right]\) và \(\left[ {9; + \infty } \right)\)

c, 

Điều kiện xác định là \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi \) với \(k \in \mathbb{Z}\)

Tập xác định là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

Hàm số \(y = {x^2}\) là hàm đa thức nên hàm số liên tục trên khoảng \(\left( {k2\pi ;\pi  + k2\pi } \right)\) với \(k \in \mathbb{Z}\)

Hàm số \(y = \cot x\) liên tục trên khoảng \(\left( {k2\pi ;\pi  + k2\pi } \right)\) với \(k \in \mathbb{Z}\)

Do đó, hàm số \(y = {x^2} + \cot x\) liên tục trên khoảng \(\left( {k2\pi ;\pi  + k2\pi } \right)\) với \(k \in \mathbb{Z}\)

d, 

Điều kiện xác định \(x \ge 0\). Tập xác định \(D = \left[ {0; + \infty } \right)\)

Ta có \(t\left( x \right) = {x^2} - 4x\) là hàm đa thức nên hàm số liên tục trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\)

e, 

Điều kiện xác định \(x > 0\). Tập xác định \(D = \left( {0; + \infty } \right)\)

Vì hàm số \(y = \sin 2x\) liên tục trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) nên nó liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Hàm số \(y = \sqrt x \) liên tục trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Nên hàm số \(y = \frac{{\sin 2x}}{{\sqrt x }}\) liên tục trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)