Bài 3.11 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Xét tính liên tục của các hàm số sau đây tại điểm \({x_0} = 3\).

a) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^3} - 3{x^2}}}{{x - 3}}\,\,\,khi\,\,\,x \ne 3\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,9\,\,\,\,khi\,\,x = 3\end{array} \right.\)

b) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 3\\{x^2} - 4x + 3\,\,\,khi\,\,x \ge 3\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết

a, Tập xác định \(D = \mathbb{R}\)

+ Với \({x_0} = 3\) thì \(f\left( 3 \right) = 9\)

+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^3} - 3{x^2}}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {{x^2}} \right) = {3^2} = 9 = f\left( 3 \right)\)

Do đó, hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 3\)

b)Tập xác định \(D = \mathbb{R}\)

+ Với \({x_0} = 3 \Rightarrow f\left( 3 \right) = {3^3} - 4.3 + 3 = 0\)

+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( { - x + 1} \right) =  - 3 + 1 =  - 2\)

+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {{x^2} - 4x + 3} \right) = {3^2} - 4.3 + 3 = 0\)

Suy ra, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right)\) vì \(0 \ne  - 2\) do đó hàm số \(y = f\left( x \right)\) không liên tục tại điểm \({x_0} = 3\)