Bài 3 trang 71 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng $(BDA')$ và $(B'D'C)$ song song với nhau.

b) Chứng minh rằng đường chéo $AC'$ đi qua trọng tâm ${G_{1},{G_{2}}}$ của hai tam giác $BDA'$ và $B'D'C$.

c) Chứng minh ${G_{1},{G_{2}}^{}}^{}$ chia đoạn $AC'$ thành ba phần bằng nhau.

d) Gọi $O$ và $I$ lần lượt là tâm của các hình bình hành $ABCD$ và $AA'C'C$. Xác định thiết diện của mặt phẳng $(A'IO)$ với hình hộp đã cho. 

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $BDD'B'$ là hình bình hành ( vì $BB'//DD'; BB'=DD'$).

$\Rightarrow BD//B'D'$

Mà $BD \not\subset \left( {CB'D'} \right)$ nên $BD // \left( {CB'D'} \right)$. 

Tương tự, ta cũng suy ra $A'B // \left( {CB'D'} \right)$. 

Mặt khác: $BD, A'B$ cắt nhau trong mp $(BDA')$

$\Rightarrow (BDA')//(CB'D')$.

b)

Cách 1:

Gọi $O,O'$ lần lượt là tâm của hình bình hành $ABCD,A'B'C'D'$, ${G_{1}}^{}$, ${G_{2}}^{}$ là giao điểm của $AC'$ với $A'O$ và $CO'$

$\Delta {G_1}OA$ đồng dạng $\Delta {G_1}A'C'$ (g.g)

$\Rightarrow  \dfrac {{G_1}O} {{G_1}A'} = \dfrac{OA} {A'C'} = \dfrac 1 2$

$\Rightarrow \dfrac {A'{G_1}}  {A'O} =\dfrac 2 3.$

Lại có ${G_1} \in A'O$ là đường trung tuyến của $\Delta BDA'$ $\Rightarrow G_1$ là trọng tâm $\Delta A'BD.$

Chứng minh tương tự ta có: $G_2$ là trọng tâm $\Delta B'D'C.$ 

Vậy $AC'$ đi qua $G_1,G_2$ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác $BDA'$ và $B'D'C$.

Cách 2:

Gọi $I = A'C \cap AC'$

Ta có: $ABCD$ và $ACC'A'$ là các hình bình hành, $O$ và $I$ lần lượt là giao điểm 2 đường chéo.

Suy ra $O$ và $I$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $A'C$.

Xét $\Delta A'AC$ ta có:

$A'O, AI$ là trung tuyến, cắt nhau tại ${G_1}$

$\Rightarrow{G_1}$ là trọng tâm $\Delta A'AC$

$\Rightarrow{A'G_1} = \frac {2}{3} A'O$.

Mà $A'O$ cũng là trung tuyến của $\Delta A'BD$

$\Rightarrow{G_1}$ là trọng tâm $\Delta A'BD$.

Chứng minh tương tự, ta cũng suy ra ${G_2}$ là trọng tâm $\Delta CB'D'$.

c)

Ta có:

$\dfrac{A{G_{1}}^{}}{{G_{1}C'}}$ = $\dfrac{AO}{A'C'} = \dfrac{1}{2}$ (vì $\Delta G_1OA$ đồng dạng $\Delta G_1 A'C'$) $\Rightarrow A{G_1} = \frac{1}{3}AC'$.

Từ đó suy ra: $AG_{1} = G_{1}G_{2}= G_{2}C'$

d) Vì $(A'IO) ≡  (AA'C'C)$ suy ra thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng $(A'IO)$ là thiết diện khi cắt bởi mp$(AA'C'C)$, chính là hình bình hành $AA'C'C$.

HocTot.Nam.Name.Vn