Bài 3 trang 24 SGK Hình học 11

Đề bài

Chứng minh rằng: Nếu một phép dời hình biến tam giác $ABC$ thành tam giác $A'B'C'$ thì nó cũng biến trọng tâm của tam giác $ABC$ tương ứng thành trọng tâm của tam giác $A'B'C'$

Lời giải chi tiết

Gọi phép dời hình đó là $f$.

Gọi M, N là trung điểm của AB, AC, G là trọng tâm của tam giác ABC.

Do $f$ biến $AB, AC$ thành $A'B', A'C'$ nên f biến $M, N$ thành $M', N'$ là trung điểm của của $A'B', A'C'$.

Vậy $f$ biến các trung tuyến $CM, BN$ của tam giác $ABC$ tương ứng thành các trung tuyến $C'M', B'N'$ của tam giác $A'B'C'$.

Do đó f biến G là giao điểm của CM, BN thành G' là giao điểm của C'M', B'N' hay G' là trọng tâm tam giác A'B'C'.

Từ đó suy ra $f$ biến trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ thành trọng tâm $G'$ của tam giác $A'B'C'$.

Cách khác:

Gọi f là phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’.

Gọi D là trung điểm của BC, D’ = f(D).

Gọi G là trọng tâm ΔABC, G’ = f(G).

+ B, D, C thẳng hàng ⇒ B’; D’; C’ thẳng hàng.

+ A; G; D thẳng hàng ⇒ A’; G’; D’ thẳng hàng.

+ B’D’ = BD = BC/2 = B’C’/2 ⇒ D’ là trung điểm B’C’.

+ A’G’ = AG = 2.AD/3 = 2.A’D’/3 ⇒ G’ là trọng tâm ΔA’B’C’.

Vậy phép dời hình f biến trọng tâm G của ΔABC thành trọng tâm G’ của ΔA’B’C’ (đpcm).

HocTot.Nam.Name.Vn