Bài 1 trang 23 SGK Hình học 11

LG a

Chứng minh rằng các điểm $A'(2;3), B'(5;4)$ và $C'(3;1)$ theo thứ tự là ảnh của $A, B$ và $C$ qua phép quay tâm $O$ góc $-90^{\circ}$

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa phép quay 

${Q_{\left( {O;\alpha } \right)}}\left( M \right) = M'$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} OM' = OM\\ \left( {OM,OM'} \right) = \alpha \end{array} \right.$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{l} \overrightarrow {OA} = \left( { - 3;2} \right);\;\overrightarrow {OA'} = \left( {2;3} \right).\\ OA = \sqrt {{{( - 3)}^2} + {2^2}} = \sqrt {{2^2} + {3^2}} = OA'\\ \overrightarrow {OA} \,.\,\overrightarrow {OA'} = \left( { - 3} \right).2 + 2.3 = 0\\ \Rightarrow \widehat {AOA'} = {90^o}\\ \Rightarrow \left( {OA;\;OA'} \right) = - \widehat {AOA'} = - {90^o}\\ \Rightarrow A' = {Q_{\left( {O; - {{90}^o}} \right)}}(A). \end{array}$

Tương tự ta cũng có ${Q_{\left( {O; - {{90}^0}} \right)}}\left( B \right) = B',$ ${Q_{\left( {O; - {{90}^0}} \right)}}\left( C \right) = C'$.

Chú ý:

Cách giải tham khảo (công thức mở rộng)

Sử dụng biểu thức tọa độ của phép quay: Ảnh của điểm $M(x;y)$ qua phép quay tâm $O$ góc quay $\alpha$ là điểm $M'(x';y')$ với $x';y'$ thỏa mãn hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x' = x\cos \alpha - y\sin \alpha \\y' = x\sin \alpha + y\cos \alpha \end{array} \right.$

(hình bên) 

Phép quay tâm góc $-90^0$ biến điểm $M(x;y)$ thành điểm $M'(x';y')$ với $\left\{ \begin{array}{l}x' = x\cos \left( { - {{90}^0}} \right) - y\sin \left( { - {{90}^0}} \right) = y\\y' = x\sin \left( { - {{90}^0}} \right) + y\cos \left( { - {{90}^0}} \right) = - x\end{array} \right.$

$\Rightarrow A'\left( {2;3} \right);\,\,B'\left( {5;4} \right);\,\,C'\left( {3;1} \right)$ lần lượt là ảnh của $A, B, C$ qua phép quay tâm $O,$ góc quay $-90^0$.

LG b

Gọi tam giác ${A_{1}}$${B_{1}}$${C_{1}}$ là ảnh của tam giác $ABC$ qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm $O$ góc $-90^{\circ}$ và phép đối xứng qua trục $Ox$. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ${A_{1}}^{}$${B_{1}}^{}$${C_{1}}^{}$ 

Phương pháp giải:

Thực hiện liên tiếp phép quay tâm $O$ góc quay $-90^0$ và phép đối xứng trục $Ox$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy.$

Lời giải chi tiết:

(Hình 1.26)

Gọi tam giác ${A_{1}}^{}$${B_{1}}^{}$${C_{1}}^{}$ là ảnh của tam giác $A'B'C'$ qua phép đối xứng trục $Ox$.

Khi đó,

$\begin{array}{l} {A_1} = {D_{Ox}}\left( {A'} \right) \Rightarrow {A_1}\left( {2; - 3} \right)\\ {B_1} = {D_{Ox}}\left( {B'} \right) \Rightarrow {B_1}\left( {5; - 4} \right)\\ {C_1} = {D_{Ox}}\left( {C'} \right) \Rightarrow {C_1}\left( {3; - 1} \right) \end{array}$

Vậy ${A_{1}}(2;-3), {B_{1}}^{}(5;-4), {C_{1}}^{}(3;-1).$

HocTot.Nam.Name.Vn