Bài 29 trang 67 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho $G$ là trọng tâm của tam giác đều $ABC.$ Chứng minh rằng:

                   $GA = GB = GC.$

Hướng dẫn: Áp dụng định lí ở bài tập $26.$

Lời giải chi tiết

Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC, AC, AB.$

Vì $∆ABC$ là tam giác đều nên $AB = AC = BC.$ 

Xét $∆ABC$ có $AB = AC$ nên $∆ABC$ cân tại $A$.

$\Rightarrow  BN = CP$ (hai trung tuyến ứng với hai cạnh bên của tam giác cân thì bằng nhau theo định lí ở bài tập $26$)

Mà $GB = \dfrac{2}{3}BN;\,\,GC = \dfrac{2}{3}CP$

$\Rightarrow GB = GC$   (1)

Xét $∆ABC$ có $BA = BC$ nên $∆ABC$ cân tại $B$.

$\Rightarrow   CP = AM$  (hai trung tuyến ứng với hai cạnh bên của tam giác cân thì bằng nhau theo định lí ở bài tập $26$)

Mà $GA = \dfrac{2}{3}AM;\,\,GC = \dfrac{2}{3}CP$

$\Rightarrow GC = GA$   (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: $GA = GB = GC$ (điều phải chứng minh).