Bài 2 trang 88 SGK Toán 11 tập 2 – Cánh Diều

Đề bài

Cho hình chóp S.ABC. Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC).

a)     Xác định hình chiếu của các đường thẳng SA, SB, SC trên mặt phẳng (ABC)

b)    Giả sử \(BC \bot SA, CA \bot SB\). Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC và \(AB \bot SC\)

Lời giải chi tiết

a)      

+ H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC)

+ A là hình chiếu của A trên mặt phẳng (ABC)

\( \Rightarrow \) HA là hình chiếu của SA trên mặt phẳng (ABC)

+ H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC)

+ B là hình chiếu của B trên mặt phẳng (ABC)

\( \Rightarrow \) HB là hình chiếu của SB trên mặt phẳng (ABC)

+ H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC)

+ C là hình chiếu của C trên mặt phẳng (ABC)

\( \Rightarrow \) HC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABC)

b, Do H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) \( \Rightarrow SH \bot (ABC)\).

Mà  \(AB,AC,BC \subset (ABC) \Rightarrow SH \bot AB,SH \bot AC,SH \bot BC\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot BC\\SH \bot BC\\SA \cap SH = S\\SA,SH \subset (SAH)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SAH) \Rightarrow BC \bot AH\,(1)\)

Tương tự \(\left\{ \begin{array}{l}SC \bot AB\\SH \bot AB\\SC \cap SH = S\\SC,SH \subset (SCH)\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot (SCH) \Rightarrow AB \bot CH\,(2)\)

TỪ (1) và (2) \( \Rightarrow \) H là trực tâm của tam giác ABC.

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot (SCH)\\SC \subset (SCH)\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot SC\)