Bài 2 trang 132 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Cho hàm số

$f(x) = \left\{ \matrix{ \sqrt x + 1 \text{ nếu   }x\ge 0 \hfill \cr  2x\text{ nếu   }x < 0 \hfill \cr} \right.$

Và các dãy số $(u_n)$ với $u_n= \dfrac{1}{n}$, $(v_n)$ với $v_n= -\dfrac{1}{n}$.

Tính $\lim u_n$, $\lim v_n$, $\lim f (u_n)$ và $\lim f(v_n)$

Từ đó có kết luận gì về giới hạn của hàm số đã cho khi $x → 0$?

Lời giải chi tiết

$\begin{array}{l} \lim {u_n} = \lim \dfrac{1}{n} = 0\\ \lim {v_n} = \lim \left( { - \dfrac{1}{n}} \right) = 0\\ {u_n} = \dfrac{1}{n} > 0 \Rightarrow f\left( {{u_n}} \right) = \sqrt {\dfrac{1}{n}} + 1\\ \Rightarrow \lim f\left( {{u_n}} \right) = \lim \left( {\sqrt {\dfrac{1}{n}}  + 1} \right) = 1\\ {v_n} = - \dfrac{1}{n} < 0 \Rightarrow f\left( {{v_n}} \right) = - \dfrac{2}{n}\\ \Rightarrow \lim f\left( {{v_n}} \right) = \lim \left( { - \dfrac{2}{n}} \right)= 0 \end{array}$

Do $\lim f\left( {{u_n}} \right) = 1$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = 1$.

$\lim f\left( {{v_n}} \right) = 0$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = 0$.

Do đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right)$ nên không tồn tại giới hạn của hàm số tại $x = 0$.

Vậy hàm số đã cho không có giới hạn khi $x \to 0$.

HocTot.Nam.Name.Vn