Bài 2 trang 12 SGK Hình học 10

Đề bài

Cho hình bình hành $ABCD$ và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC}= \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD}.$

Lời giải chi tiết

Cách 1: Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép cộng vectơ:

$\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BA}$

$\overrightarrow{MC}= \overrightarrow{MD}+ \overrightarrow{DC}$

$\Rightarrow\overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{MC}$ $= \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {DC}$

$= (\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD})$ $+ (\overrightarrow{BA} +\overrightarrow{DC}$)

$ABCD$ là hình bình hành nên hai vec tơ $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{DC}$ là hai vec tơ đối nhau nên: $\overrightarrow{BA} +\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}$

Suy ra $\overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD}$.

Cách 2. Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép trừ vec tơ

$\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MA}$

$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{MD} - \overrightarrow{MC}$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}$ $= \overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MD}  - \overrightarrow {MC}$

$=  (\overrightarrow{MB} +\overrightarrow{MD})$$- (\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MC}).$

$ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ là hai vec tơ đối nhau, cho ta: $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{0}.$

Suy ra: $\overrightarrow 0  = \left( {\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MD} } \right) - \left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC} } \right)$

Vậy $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD}.$

Cách 3. Do tứ giác ABCD là hình bình hành nên ta có: $\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}+ \overrightarrow{MB}= \overrightarrow{DM} +\overrightarrow{MC}$

$\Leftrightarrow -\overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{MB}= - \overrightarrow{MD} +\overrightarrow{MC}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{MD}+ \overrightarrow{MB}= \overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MC}$

Đổi vế ta được điều phải chứng minh.

HocTot.Nam.Name.Vn