Bài 2 trang 119 SGK Hình học 11

Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC...

Đề bài

Cho tứ diện S.ABCS.ABCSASA vuông góc với mặt phẳng (ABC)(ABC). Gọi H,KH,K lần lượt là trực tâm của tam giác ABCABCSBCSBC.

a) Chứng minh ba đường thẳng AH,SK,BCAH,SK,BC đồng quy.

b) Chứng minh rằng SCSC vuông góc với mặt phẳng (BHK)(BHK)HKHK vuông góc với mặt phẳng (SBC)(SBC).

c) Xác định đường vuông góc chung của BCBCSASA.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Gọi E=AHBCE=AHBC, chứng minh ba đường thẳng AH,SK,BCAH,SK,BC đồng quy tại E.E.

b) Trong (ABC)(ABC) gọi F=BHACF=BHAC, trong (SBC)(SBC) gọi D=BKSCD=BKSC. Khi đó (BHK)(BDF)(BHK)(BDF). Chứng minh SC(BDF)SC(BDF).

Chứng minh HKHK vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (SBC)(SBC).

c) Dựa vào định nghĩa đường vuông góc chung của hai đường thẳng cắt nhau.

Lời giải chi tiết

a) Trong (ABC)(ABC), gọi E=AHBCE=AHBC.

HH là trực tâm của tam giác ABCABC nên AEBCAEBC   (1)

SA(ABC)SABCSA(ABC)SABC                             (2)

Từ (1) và (2) suy ra BC(SAE)BC(SAE)BCSEBCSE.

KK là trực tâm của tam giác SBCSESBCSE đi qua KK AH,BC,SKAH,BC,SK đồng quy tại EE.

b) Trong (ABC)(ABC) gọi F=BHACF=BHAC, trong (SBC)(SBC) gọi D=BKSCD=BKSC. Khi đó (BHK)(BDF)(BHK)(BDF).

Ta có:

{BFACBFSA(SA(ABC))BF(SAC)BFSC

{SCBFSCBDSC(BDF)SC(BHK)

Ta có: 

SC(BHK)SCHKBC(SAE)BCHKHK(SBC)

Cách khác:

Có thể chứng minh HK(SBC) như sau:

{SC(BHK)SC(SBC)(SBC)(BHK){BC(SAE)BC(SBC)(SBC)(SAE){(SBC)(BHK)(SBC)(SAE)(BHK)(SAE)=HKHK(SBC)

c) {AESA(SA(ABC))AEBC(gt)AE là đường vuông góc chung của BCSA.

HocTot.Nam.Name.Vn

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.

close