Bài 3 trang 119 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$. Chứng minh rằng các khoảng cách từ các điểm $B, C, D, A', B', D'$ đến đường chéo $AC'$ đều bằng nhau. Tính khoảng cách đó.

Lời giải chi tiết

Gọi $K$ là hình chiếu của $B$ trên $AC'$. 

Ta có $AB \, \bot  \, \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow AB \,  \bot  \, BC' \Rightarrow \Delta ABC'$ vuông tại B.

Dễ thấy $BC'$ là đường chéo của hình vuông cạnh $a \Rightarrow BC' = a\sqrt 2 .$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC'$ có: 

$\dfrac{1}{BK^{2}}=\dfrac{1}{BA^{2}}+\dfrac{1}{BC^{2}}$ $=\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{(a\sqrt{2})^{2}}=\dfrac{3}{2a^{2}}$$\Rightarrow BK=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.$ 

Ta có:

$\Delta ABC' = \Delta C'CA = \Delta ADC'$$= \Delta AA'C' = \Delta C'B'A = \Delta C'D'A$

$(c.g.c)$

Do đó các chiều cao tương ứng của các tam giác này bằng nhau.

Vậy khoảng cách từ $B, C, D, A', B', D'$ tới $AC'$ đều bằng $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.

HocTot.Nam.Name.Vn