Bài 12 trang 104 SGK Toán 8 tập 2

Đề bài

 $A,\, B,\, C$ và $D$ là những đỉnh của hình hộp chữ nhật cho ở hình 88.

 

Hãy điền số thích hợp vào các ô trống ở bảng sau:

AB	6	13	14
BC	15	16		34
CD	42		70	62
DA		45	75	75

Kết quả bài 12 minh họa công thức quan trọng sau:

 $DA = \sqrt{AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}}$

Lời giải chi tiết

Trước hết ta chứng minh hệ thức sau: $DA = \sqrt{AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}}$

Ta có :  $\triangle BCD$ vuông tại $C \Rightarrow  BD^2  = DC^2 + BC^2$

 $\triangle ABD$ vuông tại $B \Rightarrow  AD^2  = BD^2 + AB^2$

$\Rightarrow AD^2 = DC^2 +BC^2 + AB^2$

Suy ra:  $DA = \sqrt{AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}}$

Áp dụng hệ thức này ta sẽ tính được độ dài  một cạnh khi biết  ba độ dài kia.

Cột 1: $AB=6,BC=15, CD=42$

$DA = \sqrt {{6^2} + {{15}^2} + {{42}^2}}  = \sqrt {2025}$$\,= 45$

Cột 2: $AB=13,BC=16,DA=45$

$\eqalign{ & D{A^2} = A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} \cr & \Rightarrow C{D^2} = D{A^2} - A{B^2} - B{C^2} \cr & \Rightarrow CD = \sqrt {D{A^2} - A{B^2} - B{C^2}} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{{45}^2} - {{16}^2} - {{13}^2}} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {1600} = 40 \cr}$

Cột 3: $AB=14,CD=70,DA=75$

$\eqalign{ & D{A^2} = A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} \cr & \Rightarrow B{C^2} = D{A^2} - A{B^2} - C{D^2} \cr & \Rightarrow BC = \sqrt {D{A^2} - A{B^2} - C{D^2}} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{{75}^2} - {{14}^2} - {{70}^2}} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {529} = 23 \cr}$

Cột 4: $BC=34,CD=62,DA=75$

$\eqalign{ & D{A^2} = A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} \cr & \Rightarrow A{B^2} = D{A^2} - B{C^2} - C{D^2} \cr & \Rightarrow AB = \sqrt {D{A^2} - B{C^2} - C{D^2}} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{{75}^2} - {{34}^2} - {{62}^2}} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {625} = 25 \cr}$

Do đó ta có kết quả như bảng dưới đây:

AB	6	13	14	25
BC	15	16	23	34
CD	42	40	70	62
DA	45	45	75	75

HocTot.Nam.Name.Vn