Bài 11 trang 128 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ và hai đường thẳng chéo nhau $a,b$ cắt $\left( \alpha  \right)$ tại $A$ và $B$. Gọi $d$ là đường thẳng thay đổi luôn luôn song song với $\left( \alpha  \right)$ và cắt $a$ tại $M$, cắt $b$ tại $N$. Qua điểm $N$ dựng đường thẳng song song với $a$ cắt $\left( \alpha  \right)$ tại điểm $C$.

a) Tứ giác $MNCA$ là hình gì?

b) Chứng minh rằng điểm $C$ luôn luôn chạy trên một đường thẳng cố định.

c) Xác định vị trí của đường thẳng $d$ để độ dài $MN$ nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

$\left. \begin{array}{l}d \subset \left( {AMNC} \right)\\d\parallel \left( \alpha  \right)\\\left( \alpha  \right) \cap \left( {AMNC} \right) = AC\end{array} \right\} \Rightarrow d\parallel AC \Rightarrow MN\parallel AC$

Mà $a\parallel NC \Rightarrow MA\parallel NC$

$\Rightarrow AMNC$ là hình bình hành.

b) Gọi $\left( \beta  \right)$ là mặt phẳng chứa $b$ và song song với $a$, $c = \left( \alpha  \right) \cap \left( \beta  \right)$

Ta có:

$\left. \begin{array}{l}NC\parallel a\\N \in b\end{array} \right\} \Rightarrow NC \subset \left( \beta  \right)$

$\Rightarrow C \in \left( \alpha  \right) \cap \left( \beta  \right) \Rightarrow C \in c$

Vậy điểm $C$ luôn luôn chạy trên đường thẳng $c$ là giao tuyến của $\left( \alpha  \right)$ và $\left( \beta  \right)$ cố định.

c) Trong mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$, kẻ $AH \bot c$

Vì $c$ cố định nên $AC \ge AH$

$AMNC$ là hình bình hành $\Rightarrow MN = AC$

Vậy $MN \ge AH$

Vậy $MN$ nhỏ nhất khi $C \equiv H$. Khi đó $d\parallel AH$.