Tổng hợp 10 đề thi học kì 1 Toán 10 Cánh diều có đáp ánTổng hợp 10 đề thi học kì 1 Toán 10 có đáp án và lời giải chi tiết
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Đề 1 I. Phần trắc nghiệm (6 điểm) Câu 1: Tập \(S = \left\{ {\left. {q \in \mathbb{Q}} \right|25{q^4} - 9{q^2} = 0} \right\}\) có bao nhiêu phần tử? A. \(4\) B. \(1\) C. \(2\) D. \(3\) Câu 2: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tập xác định là \(\left[ { - 3;3} \right]\)và đồ thị của nó được biểu diễn bởi hình bên.
Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng (-3;-1) và (1;3). B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-3;-1) và (1;4). C. Hàm số đồng biến trên khoảng (-3;3). D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;0). Câu 3: Tìm tập xác định D của hàm số \(y = \frac{{3x - 1}}{{2x - 2}}\). A. \(D = \mathbb{R}\) B. \(D = \left( {1; + \infty } \right)\) C. \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\) D. \(D = \left[ {1; + \infty } \right)\) Câu 4: Hàm số \(y = {\rm{ \;}} - {x^2} + 2x + 3\) có đồ thị là hình nào trong các hình sau? A. Câu 5: Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{x - 1}}\). A. \({M_1}\left( {2;1} \right)\) B. \({M_2}\left( {1;1} \right)\) C. \({M_3}\left( {2;0} \right)\) D. \({M_4}\left( {0; - 2} \right)\) Câu 6: Bảng xét dấu nào sau đây là bảng xét dấu của tam thức \(f\left( x \right) = {x^2} + 12x + 36\)? A. Câu 7: Cho tứ giác ABCD. Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để \(\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {CD} \)? A. ABCD là vuông. B. ABDC là hình bình hành. C. AD và BC có cùng trung điểm. D. \(AB = CD\). Câu 8: Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt. Khi đó, \(\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {DC} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BC} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {AD} \) bằng véctơ nào sau đây? A. \(\vec 0\) B. \(\overrightarrow {BD} \) C. \(\overrightarrow {AC} \) D. \(2\overrightarrow {DC} \) Câu 9: Gọi \(M,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} AC\) của tam giác đều ABC. Hỏi đẳng thức nào dưới đây đúng? A. \(\overrightarrow {MA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MB} \) B. \(\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} = \overrightarrow {AC} \) C. \(\overrightarrow {MN} {\rm{\;}} = \overrightarrow {BC} \) D. \(\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {MN} } \right|\) Câu 10: Xác định hàm số bậc hai \(y = a{x^2} - x + c\) biết đồ thị hàm số đi qua A(1;-2) và B(2;3). A. \(y = 3{x^2} - x - 4\) B. \(y = {x^2} - 3x + 5\) C. \(y = 2{x^2} - x - 3\) D. \(y = {\rm{ \;}} - {x^2} - 4x + 3\) Câu 11: Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^2} - 4x + 5\) là: A. 0 B. -2 C. 2 D. 1 Câu 12: Các giá trị \(m\) làm cho biểu thức \(f\left( x \right) = {x^2} + 4x + m - 5\) luôn luôn dương là A. \(m < 9\) B. \(m \ge 9\) C. \(m > 9\) D. \(m \in \emptyset \) Câu 13: Tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {\frac{2}{{{x^2} + 5x - 6}}} \) là: A. \(\left( { - \infty ; - 6} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\) B. \(\left( { - 6;1} \right)\) C. \(\left( { - \infty ; - 6} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) D. \(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {6; + \infty } \right)\) Câu 14: Giải phương trình: \(\sqrt {{x^2} - 4x - 1} {\rm{\;}} = 2\). A. \(S = \left\{ {5; - 1} \right\}\). B. \(S = \left\{ { - 5;{\rm{\;}}1} \right\}\). C. \(S = \left\{ { - 5; - 1} \right\}\). D. \(S = \left\{ {5;{\rm{\;}}1} \right\}\). Câu 15: Cho tam giác ABC đều cạnh bằng \(1\), trọng tâm \(G\). Độ dài vectơ \(\overrightarrow {AG} \) bằng: A. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) B. \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\) C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{4}\) D. \(\frac{{\sqrt 3 }}{6}\) Câu 16: Cho ngũ giác ABCDE. Từ đỉnh của ngũ giác đã cho lập được bao nhiêu vecto A. \(5\). B. \(3\). C. \(6\). D. \(4\). Câu 17: Cho các vecto \(\vec a\) và \(\vec b\) thỏa mãn \(\left| {\vec a} \right| = 2\), \(\left| {\vec b} \right| = 1\) và \(\left( {\vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec b} \right) = {60^0}\). Tính góc giữa vecto \(\vec a\) và vecto \(\vec c = \vec a - \vec b\). A. \({30^0}\) B. \({45^0}\) C. \({60^0}\) D. \({90^0}\) Câu 18: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, BC = 5. Tính \(\left| {\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {CB} } \right|\) A. 4 B. 3 C. 5 D. 2 Câu 19: Cho hình bình hành ABCD có \(M\) là trung điểm của AC. Phân tích vectơ \(\overrightarrow {DM} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {CD} \) ta được: A. \(\overrightarrow {DM} {\rm{\;}} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {CD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {BC} )\) B. \(\overrightarrow {DM} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - \frac{1}{2}(\overrightarrow {CD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {BC} )\) C. \(\overrightarrow {DM} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - \frac{1}{2}(\overrightarrow {CD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {CB} )\) D. \(\overrightarrow {DM} {\rm{\;}} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {CD} {\rm{\;}} - \overrightarrow {BC} )\) Câu 20: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tích \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) bằng: A. \(2{a^2}\) B. \({a^2}\) C. \({a^2}\sqrt 2 \) D. \(0\) Câu 21: Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà khoa học đã thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có x con cá \(\left( {x \in {\mathbb{Z}^ + }} \right)\) thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng là \(480 - 2x{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {gam} \right)\). Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau mỗi vụ thu hoạch được nhiều cá nhất? A. 10 B. 12 C. 9 D. 24 Câu 22: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để bất phương trình \( - 2{x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + m - 2 \ge 0\) có nghiệm. A. \(m \in \mathbb{R}\) B. \(m \in \left( { - \infty ;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 0} \right) \cup \left( {2;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} + \infty } \right)\) C. \(m \in \left( { - \infty ;{\mkern 1mu} 0} \right] \cup \left[ {2;{\mkern 1mu} + \infty } \right)\) D. \(m \in \left[ {0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 2} \right]\) Câu 23: Tìm \(m\) để phương trình \(\sqrt {{x^2} + mx + 2} {\rm{\;}} = 2x + 1\) có 2 nghiệm phân biệt. A. \(m > \frac{9}{2}\) B. \( - \frac{1}{2} \le m \le \frac{9}{2}\) C. \( - \frac{1}{2} < m < \frac{9}{2}\) D. \(m \ge \frac{9}{2}\) Câu 24: Vịnh Vân Phong – tỉnh Khánh Hòa nổi tiếng vì có con đường đi bộ xuyên biển nối từ Hòn Quạ đến đảo Điệp Sơn. Một du khách muốn chèo thuyền kayak từ vị trí \(C\) trên Hòn Quạ đến vị trí \(B\) trên Bè thay vì đi bộ xuyên qua con đường qua vị trí \(A\) rồi mới đến vị trí \(B\) (coi con đường AC, AB, BC là các đường thẳng). Nếu người đó chèo thuyền với vận tốc không đổi là \(4\) km/h thì sẽ mất bao nhiêu thời gian biết \(AB = 0,4\) km, \(AC = 0,6\) km và góc giữa AB và AC là \({60^0}\)? A. 5 phút. B. 4, 2 phút. C. 6 phút D. 4,5 phút. Câu 25: Cho hình bình hành ABCD. Trên các đoạn thẳng\(DC,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} AB\) theo thứ tự lấy các điểm \(M,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} N\) sao cho \(DM = BN\). Gọi \(P\) là giao điểm của \(AM,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} DB\) và \(Q\) là giao điểm của \(CN,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} DB\). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \(\overrightarrow {AM} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {NC} \) B. \(\overrightarrow {DP} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {QB} \) C. Cả A, B đúng D. Cả A, B sai. Câu 26: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Điểm M thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MC} } \right|\) là: A. M là trung điểm AB B. M là trung điểm BC C. M nằm trên 1 đường tròn tâm C D. M thỏa mãn hình bình hành BAMC Câu 27: Cho tam giác ABC và giả sử \(M\) là điểm thỏa mãn đẳng thức \(x\overrightarrow {MA} {\rm{\;}} + y\overrightarrow {MB} {\rm{\;}} + z\overrightarrow {MC} {\rm{\;}} = \vec 0\) (trong đó \(x,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} z\) là các số thực). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Nếu \(x + y + z \ne 0\) thì tồn tại duy nhất điểm \(M\) thỏa mãn đẳng thức trên. B. Nếu \(x + y + z = 0\) thì tồn tại duy nhất điểm \(M\) thỏa mãn đẳng thức trên. C. Nếu ít nhất một trong ba số \(x,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} z\) khác \(0\) thì tồn tại duy nhất điểm \(M\) thỏa mãn đẳng thức trên. D. Nếu cả ba số \(x,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} z\) khác \(0\) thì tồn tại duy nhất điểm \(M\) thỏa mãn đẳng thức trên. Câu 28: Cho ba điểm \(O,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\) không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để tích vô hướng \(\left( {\overrightarrow {OA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {OB} } \right).\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} = 0\) là A. tam giác OAB đều. B. tam giác OAB cân tại O. C. tam giác OAB vuông tại O. D. tam giác OAB vuông cân tại O. Câu 29: Cho bất phương trình: \({x^2} + mx + {m^2} + 6m < 0\) .Để bất phương trình nghiệm đúng \(\forall x \in \left( {1;2} \right)\) thì giá trị nguyên nhỏ nhất của \(m\) là: A. \(m = {\rm{\;}} - 7\) B. \(m = {\rm{\;}} - 6\) C. \(m = 3\) D. \(m = {\rm{\;}} - 3\) Câu 30: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn là AC. Gọi E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(C\) trên AB,AD. Biểu thức nào sau đây là đúng? A. \(AB.AH + AD.AF = A{C^2}\) B. \(AB.AE + AD.AH = A{C^2}\) C. \(AB.AE + AD.AF = AC.AH\) D. \(AB.AE + AD.AF = A{C^2}\) II. Phần tự luận (4 điểm) Câu 1: Cho tam giác ABC đều, cạnh \(a\). Gọi \(H\) là trung điểm BC, \(I\) là trung điểm AH a) Chứng minh rằng: \(2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 .\) b) Tính \(\cos \angle BIA\) c) Tìm quỹ tích của điểm M thỏa mãn \(M{B^2} + M{C^2} + 2M{A^2} = \frac{3}{2}{a^2}\). Câu 2: Khi du lịch đến thành phố Xanh Lu-I (Mĩ), ta sẽ thấy một cái cổng lớn có hình parabol hướng bề lõm xuống dưới, đó là cổng Ac-xơ. Khoảng cách giữa hai chân cổng là 162m. Từ một điểm trên thân cổng người ta đo được khoảng cách tới mặt đất là \(43{\mkern 1mu} m\) và khoảng cách tới điểm chân cổng gần nhất là \(10{\mkern 1mu} m\). Chiều cao của cổng gần với số nào sau đây?
Câu 3: Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \(\left( {m - 5} \right){x^2} - 4mx + m - 2 = 0\) có nghiệm. ----- HẾT ----- Giải đề 1 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT I. Phần trắc nghiệm
Câu 1 (NB): Phương pháp: Liệt kê các phần tử của tập hợp. Cách giải: \(S = \left\{ {\left. {q \in \mathbb{Q}} \right|25{q^4} - 9{q^2} = 0} \right\}\). \(25{q^4} - 9{q^2} = 0 \Leftrightarrow {q^2}\left( {25{q^2} - 9} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{q^2} = 0}\\{25{q^2} - 9 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{q = 0}\\{q = \frac{3}{5}}\\{q = \frac{{ - 3}}{5}}\end{array}} \right..\) Vậy \(S\) có 3 phần tử. Chọn D. Câu 2 (NB): Phương pháp: Quan sát đồ thị, xác định khoảng đồng biến là khoảng ứng với đồ thị đi lên, khoảng nghịch biến là khoảng ứng với đồ thị đi xuống. Cách giải: Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 3;3} \right)\). Chọn C. Câu 3 (NB): Phương pháp: Hàm phân thức xác định khi mẫu thức khác 0. Cách giải: ĐKXĐ: \(2x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1\). Vậy TXĐ của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\). Chọn C. Câu 4 (NB): Phương pháp: Hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\) có tọa độ đỉnh \(\left( { - \frac{b}{{2a}};\frac{{ - \Delta }}{{4a}}} \right)\), có bề lõm hướng lên khi a > 0 và hướng xuống khi a < 0. Cách giải: Hàm số \(y = {\rm{ \;}} - {x^2} + 2x + 3\) có a = -1, b = 2, c = 3. Vì a < 0 nên bề lõm hướng xuống => Loại C. Đồ thị hàm số có tọa độ đỉnh (1;4) => Loại A và D. Chọn B. Câu 5 (NB): Phương pháp: Thay tọa độ các điểm ở các đáp án vào hàm số. Điểm nào thỏa mãn hàm số thì sẽ thuộc đồ thị hàm số. Cách giải: Thay tọa độ điểm \({M_1}\left( {2;1} \right)\) vào hàm số: \(1 = \frac{1}{{2 - 1}}\) (đúng) nên \({M_1}\) thuộc đồ thị hàm số. Chọn A. Câu 6 (NB): Phương pháp: - Xác định \(a,{\mkern 1mu} \Delta .\) Xét dấu của \(f\left( x \right)\) theo quy tắc xét dấu tam thức bậc hai. Cách giải: Ta có \({x^2} + 12x + 36 = 0\)\( \Leftrightarrow x = {\rm{ \;}} - 6\) và \(a = 1 > 0\). Nên ta có bảng xét dấu: Chọn C. Câu 7 (NB): Phương pháp: Sử dụng định nghĩa hai vecto bằng nhau. Cách giải: \(\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {CD} {\rm{ \;}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB\parallel CD}\\{AB = CD}\end{array}} \right. \Rightarrow ABDC\) là hình bình hành. Mặt khác, ABDC là hình bình hành \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB\parallel CD}\\{AB = CD}\end{array}} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {CD} \). Do đó, điều kiện cần và đủ để \(\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {CD} \) là ABDC là hình bình hành. Chọn B. Câu 8 (NB): Phương pháp: Nhóm \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} \); \(\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {AD} \), áp dụng quy tắc cộng vectơ. Cách giải: Ta có: \(\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {DC} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BC} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {AD} {\rm{ \;}} = \left( {\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BC} } \right) - \left( {\overrightarrow {AD} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {DC} } \right) = \overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} = \vec 0\). Chọn A. Câu 9 (NB): Phương pháp: Áp dụng các kiến thức về tam giác đều, đường trung bình trong tam giác. Cách giải:
Vì \(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{MA = MB}\\{\overrightarrow {MA} {\rm{\;}} \nearrow {\rm{\;}} \swarrow \overrightarrow {MB} }\end{array}} \right\} \Rightarrow \overrightarrow {MA} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - \overrightarrow {MB} \) nên đáp án A sai. Vì \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) không cùng phương nên đáp án B sai. Vì \(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{MN = \frac{1}{2}BC}\\{\overrightarrow {MN} {\rm{\;}} \nearrow {\rm{\;}} \nearrow \overrightarrow {BC} }\end{array}} \right\} \Rightarrow \overrightarrow {MA} {\rm{\;}} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \) nên đáp án C sai. Vì MN là đường trung bình của \(\Delta ABC\) nên \(\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {MN} } \right|\). Chọn D. Câu 10 (TH): Phương pháp: Thay tọa độ điểm A, B vào hàm số. Giải hệ phương trình tìm a, c và xác định hàm số bậc hai. Cách giải: Vì A, B thuộc đồ thị hàm số nên ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2 = a - 1 + c}\\{3 = 4a - 2 + c}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + c = {\rm{ \;}} - 1}\\{4a + c = 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2}\\{b = {\rm{ \;}} - 3}\end{array}} \right.\) Vậy hàm số bậc hai là \(y = 2{x^2} - x - 3\). Chọn C. Câu 11 (TH): Phương pháp: Khi a > 0, hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có GTNN bằng \( - \frac{\Delta }{{4a}}\) tại \(x = {\rm{ \;}} - \frac{b}{{2a}}\). Cách giải: Hàm số \(y = {x^2} - 4x + 5\) có a = 1, b = -4, c = 5. \( \Rightarrow \Delta {\rm{ \;}} = {\left( { - 4} \right)^2} - 4.1.5 = {\rm{ \;}} - 4\). Vậy hàm số có GTNN bằng \( - \frac{\Delta }{{4a}} = {\rm{ \;}} - \frac{{ - 4}}{{4.1}} = 1\) tại \(x = {\rm{ \;}} - \frac{b}{{2a}} = {\rm{ \;}} - \frac{{ - 4}}{{2.1}} = 2\). Chọn D. Câu 12 (TH): Phương pháp: Dùng quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai. Hoặc biến đổi về hằng đẳng thức rồi giải bất phương trình. Cách giải: \(f\left( x \right) = {x^2} + 4x + m - 5 = \left( {{x^2} + 4x + 4} \right) + m - 9 = {\left( {x + 2} \right)^2} + \left( {m - 9} \right)\). Ta có: \({\left( {x + 2} \right)^2} \ge 0,\forall x\). Để \(f\left( x \right) > 0,\forall x\) thì \(m - 9 > 0 \Leftrightarrow m > 9\). Chọn C. Câu 13 (TH): Phương pháp: Hàm số xác định khi \(\frac{2}{{{x^2} + 5x - 6}} \ge 0\) và \({x^2} + 5x - 6 \ne 0.\) Xét dấu các tam thức bậc 2 và kết luận nghiệm. Cách giải: Hàm số xác định khi \(\frac{2}{{{x^2} + 5x - 6}} \ge 0\) và \({x^2} + 5x - 6 \ne 0.\) \( \Leftrightarrow {x^2} + 5x - 6 > 0.\) Ta có \(a = 1 > 0\), \({x^2} + 5x - 6\) có hai nghiệm là \(x = 1;x = {\rm{ \;}} - 6\) Vậy \({x^2} + 5x - 6 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x < {\rm{ \;}} - 6}\\{x > 1}\end{array}} \right..\) Chọn C. Câu 14 (TH): Phương pháp: \(\sqrt {f\left( x \right)} {\rm{\;}} = a{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {a > 0} \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = {a^2}\) Cách giải: \(\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {{x^2} - 4x - 1} {\rm{\;}} = 2}\\{ \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 1 = 4}\\{ \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 5 = 0}\\{ \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)\left( {x + 1} \right) = 0}\\{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 5 = 0}\\{x + 1 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5}\\{x = {\rm{\;}} - 1}\end{array}} \right.}\end{array}\) Vậy \(S = \left\{ {5; - 1} \right\}\). Chọn A. Câu 15 (TH): Phương pháp: Gọi M là trung điểm BC, tính độ dài AM. Sử dụng tính chất của trọng tâm G \(\left( {AG = \frac{2}{3}AM} \right)\) để tính AG. Cách giải: Gọi M là trung điểm của BC. Tam giác ABC đều cạnh 1 suy ra \(AM = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\) Ta có: \(\left| {\overrightarrow {AG} } \right| = AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\). Chọn B. Câu 16 (TH): Phương pháp: Liệt kê các vecto có điểm cuối là A từ các điểm A, B, C, D, E. Cách giải:
Ta có 4 vectơ thỏa đề bài: \(\overrightarrow {BA} ,{\mkern 1mu} \overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {DA} ,{\mkern 1mu} \overrightarrow {EA} .\) Chọn D. Câu 17 (TH): Phương pháp: + Xác định \(\vec c\) và \(\left| {\vec c} \right|\). Tính \(\vec a.\vec c\). + Áp dụng công thức \(\cos \left( {\vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec c} \right) = \frac{{\vec a{\mkern 1mu} .{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec c}}{{\left| {\vec a} \right|{\mkern 1mu} .{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left| {\vec c} \right|}}\) để tìm \(\left( {\vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec c} \right)\). Cách giải: \(\left| {\vec a} \right| = 2\), \(\left| {\vec b} \right| = 1\) và \(\left( {\vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec b} \right) = {60^0}\). Ta có: \({\vec c^2} = {\left( {\vec a - \vec b} \right)^2}\)\( = {\vec a^2} + {\vec b^2} - 2\vec a\vec b\)\( = {\vec a^2} + {\vec b^2} - 2.\left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|.\cos \left( {\vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec b} \right)\)\( = {2^2} + {1^2} - 2.2.1.cos{60^0}\) \( = 3\) \( \Rightarrow \left| {\vec c} \right| = \sqrt 3 \) \(\vec a.\vec c = \vec a.\left( {\vec a - \vec b} \right)\)\( = {\vec a^2} - \vec a.\vec b\)\( = {\vec a^2} - \left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|.\cos \left( {\vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec b} \right)\)\( = {2^2} - 2.1.\cos {60^0} = 3\) Mà \(\cos \left( {\vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec c} \right) = \frac{{\vec a.\vec c}}{{\left| {\vec a} \right|.\left| {\vec c} \right|}}\)\( = \frac{3}{{2.\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) Vậy \(\cos \left( {\vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec c} \right)\)\( = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) \( \Rightarrow \angle \left( {\vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec c} \right) = {30^0}\) Chọn A. Câu 18 (TH): Phương pháp: Dùng tính chất vectơ và độ dài vectơ Cách giải: \(\begin{array}{*{20}{l}}{AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} {\rm{ \;}} = 4}\\{ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {CB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 4}\end{array}\) Chọn A. Câu 19 (TH): Phương pháp: Áp dụng định nghĩa tích của vecto với một số, quy tắc cộng vecto, quy tắc hình bình hành để phân tích vecto theo các vecto khác. Cách giải:
Vì ABCD là hình bình hành nên \(DB = 2DM\). \(\overrightarrow {DM} {\rm{\;}} = \frac{1}{2}\overrightarrow {DB} {\rm{\;}} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {DA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DC} } \right)\)\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CB} {\rm{\;}} - \overrightarrow {CD} } \right) = - \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} {\rm{\;}} - \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} \) Chọn B. Câu 20 (TH): Phương pháp: Sử dụng công thức \(\vec a.\vec b{\rm{\;}} = \left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|.\cos \left( {\vec a;\vec b} \right)\). Cách giải:
Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên AB = BC = a và AC là phân giác của góc BAD. \( \Rightarrow \angle BAC = {45^0} = \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right)\). Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABC ta có: \(\begin{array}{*{20}{l}}{A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}}\\{A{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}}\\{ \Rightarrow AC = a\sqrt 2 }\end{array}\) Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} {\rm{\;}} = AB.AC.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right)\) \( = a.a\sqrt 2 .\cos {45^0}\)\( = {a^2}\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2}\) \( = {a^2}\). Chọn B. Câu 21 (VD): Phương pháp: Lập hàm số bậc hai biểu thị khối lượng cá theo hoạch sau mỗi vụ theo ẩn x. Tìm GTLN của hàm số. Cách giải: Khối lượng cá thu hoạch sau mỗi vụ là: \(f\left( x \right) = x\left( {480 - 20x} \right) = {\rm{ \;}} - 20{x^2} + 480x{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {gam} \right)\). f(x) là hàm số bậc hai có a = -20, b = 480, c = 0 \( \Rightarrow \Delta {\rm{ \;}} = {480^2}\). => Giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - {{480}^2}}}{{4.\left( { - 20} \right)}} = {\rm{ \;}} - 2880\) đạt được tại \(x = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 480}}{{2.\left( { - 20} \right)}} = 12\). Vậy để sau mỗi vụ thu hoạch được nhiều cá nhất phải thả 12 con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ. Chọn B. Câu 22 (VD): Phương pháp: Xét các trường hợp: \(\Delta ' < 0\); \(\Delta ' = 0\); \(\Delta ' > 0\) Cách giải: Đặt \(f\left( x \right) = {\rm{\;}} - 2{x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + m - 2\). \(\Delta ' = {\left( {m - 2} \right)^2} + 2\left( {m - 2} \right) = {m^2} - 2m\) +) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = {\rm{\;}} - 2 < 0}\\{\Delta ' < 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = {\rm{\;}} - 2 < 0}\\{{m^2} - 2m < 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow 0 < m < 2\) \( \Rightarrow f\left( x \right) < 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \mathbb{R}\) Vậy bất phương trình \( - 2{x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + m - 2 \ge 0\) vô nghiệm. \( \Rightarrow \) Loại +) \(\Delta ' = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m = 0\)\( \Leftrightarrow m\left( {m - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 0}\\{m = 2}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow f\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2{x^2} - 4x - 2 = 0}\\{ - 2{x^2} = 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {\rm{\;}} - 1}\\{x = 0}\end{array}} \right.\) (thỏa mãn) Vậy bất phương trình \( - 2{x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + m - 2 \ge 0\) có nghiệm \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {\rm{\;}} - 1}\\{x = 0}\end{array}} \right.\). \( \Rightarrow \) Nhận \(m = 0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} m = 2\). +) \(\Delta ' > 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} - 2m > 0\)\( \Leftrightarrow m\left( {m - 2} \right) > 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 0}\\{m > 2}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow f\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_2}\) (giả sử \({x_1} < {x_2}\)) Bảng xét dấu: Dựa vào bảng xét dấu, ta có: \(f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow {x_1} \le x \le {x_2}\) \( \Rightarrow \) Nhận \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 0}\\{m > 2}\end{array}} \right.\) Kết hợp các trường hợp, ta được \(m \in \left( { - \infty ;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 0} \right] \cup \left[ {2;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} + \infty } \right)\). Vậy \(m \in \left( { - \infty ;{\mkern 1mu} 0} \right] \cup \left[ {2;{\mkern 1mu} + \infty } \right)\). Chọn C. Câu 23 (VD): Phương pháp: - Giải phương trình chứa căn \(\sqrt A {\rm{\;}} = B \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{B \ge 0}\\{A = {B^2}}\end{array}} \right.\). - Sử dụng định lí Vi-ét. Cách giải: Ta có: \(\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {{x^2} + mx + 2} {\rm{\;}} = 2x + 1}\\{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge {\rm{\;}} - \frac{1}{2}}\\{{x^2} + mx + 2 = 4{x^2} + 4x + 1}\end{array}} \right.}\\{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge {\rm{\;}} - \frac{1}{2}}\\{3{x^2} - \left( {m - 4} \right)x - 1 = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)}\end{array}} \right.}\end{array}\) Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} > {x_2} \ge {\rm{\;}} - \frac{1}{2}\). \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\{x_1} + {x_2} > - 1\\\left( {{x_1} + \frac{1}{2}} \right)\left( {{x_2} + \frac{1}{2}} \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 4} \right)^2} + 12 > 0\,\,(luon\,\,\,dung)\\\frac{{m - 4}}{3} > - 1\\\frac{{ - 1}}{3} + \frac{1}{2}.\frac{{m - 4}}{3} + \frac{1}{4} \ge 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 4 > - 3\\\frac{{m - 4}}{6} \ge \frac{1}{{12}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\m - 4 \ge \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge \frac{9}{2}.\) Vậy \(m \ge \frac{9}{2}\). Chọn D. Câu 24 (VD): Phương pháp: - Mô hình hoá bài toán. - Tính BC dựa vào định lí côsin trong tam giác ABC. - Tính thời gian chèo thuyền bằng công thức \(t = \frac{s}{v}\). Trong đó: t là thời gian; s là quãng đường; v là vận tốc. Cách giải: Áp dụng định lí Cô sin cho tam giác ABC ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A\) =0,28 km. Vậy thời gian du khách chèo thuyền từ \(C\) đến \(B\) là: \(t = \frac{{BC}}{v}\)\( = \frac{{0,28}}{4}\)\( = 0,07\) giờ \( = 4,2\) phút. Chọn B. Câu 25 (VD): Phương pháp: - Vẽ hình. - Xét xem \(\overrightarrow {AM} \)có bằng \(\overrightarrow {NC} \) không bằng cách xét ANCM có là hình bình hành không. - Xét xem DP có bằng QB không. Cách giải:
Ta có \(DM = BN \Rightarrow AN = MC\), mặt khác AN song song với MC do đó tứ giác ANCM là hình bình hành Suy ra \(\overrightarrow {AM} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {NC} \). Xét tam giác \(\Delta DMP\) và \(\Delta BNQ\) ta có \(DM = NB\) (giả thiết), \(\widehat {PDM} = \widehat {QBN}\) (so le trong) Mặt khác \(\widehat {DPM} = \widehat {APB}\) (đối đỉnh) và \(\widehat {APQ} = \widehat {NQB}\) (hai góc đồng vị) suy ra \(\widehat {DPM} = \widehat {NQB}\). Suy ra: \(\widehat {DMP} = \widehat {BNQ}\). Do đó \(\Delta DMP = \Delta BNQ\) (c.g.c) suy ra \(DP = QB\). Dễ thấy \(\overrightarrow {DP} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {QB} \) cùng hướng vì vậy \(\overrightarrow {DP} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {QB} \). Chọn C. Câu 26 (VD): Phương pháp: Dùng tính chất vectơ và độ dài vectơ Cách giải: \(\left| {\overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MC} } \right| \Rightarrow \left| {\overrightarrow {BA} } \right| = \left| {\overrightarrow {MC} } \right|\) => M nằm trên 1 đường tròn tâm C bán kính AB Chọn A. Câu 27 (VD): Phương pháp: Thu gọn các biểu thức vecto ở hai vế. Tìm quỹ tích điểm \(M\) dựa vào đẳng thức vecto vừa thu gọn. Cách giải: Theo bài ra, ta có: \({\mkern 1mu} x\overrightarrow {MA} {\rm{\;}} + y\overrightarrow {MB} {\rm{\;}} + z\overrightarrow {MC} {\rm{\;}} = \vec 0\) \( \Leftrightarrow x\overrightarrow {MA} {\rm{\;}} + y\left( {\overrightarrow {MA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AB} } \right) + z\left( {\overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AC} } \right) = \vec 0\) \( \Leftrightarrow x\overrightarrow {MA} {\rm{\;}} + y\overrightarrow {MA} {\rm{\;}} + y\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + z\overrightarrow {MA} {\rm{\;}} + z\overrightarrow {AC} {\rm{\;}} = \vec 0\) \( \Leftrightarrow \left( {x\overrightarrow {MA} {\rm{\;}} + y\overrightarrow {MA} {\rm{\;}} + z\overrightarrow {MA} } \right) + \left( {y\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + z\overrightarrow {AC} } \right) = \vec 0\) \( \Leftrightarrow \left( {x + y + z} \right)\overrightarrow {MA} {\rm{\;}} + \left( {y\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + z\overrightarrow {AC} } \right) = \vec 0\) \( \Leftrightarrow \left( {x + y + z} \right)\overrightarrow {MA} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - y\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} - z\overrightarrow {AC} \) Đặt \( - y\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} - z\overrightarrow {AC} {\rm{\;}} = \vec u\). Khi đó, ta có: \(\left( {x + y + z} \right)\overrightarrow {MA} {\rm{\;}} = \vec u\) Do đó, nếu \(x + y + z \ne 0\) thì tồn tại duy nhất điểm \(M\) thỏa mãn đẳng thức trên. Chọn A. Câu 28 (VD): Phương pháp: Từ \(\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} = \overrightarrow {OB} {\rm{\;}} - \overrightarrow {OA} \) chứng minh được \(OA = OB\). Từ đó, rút ra kết luận. Cách giải: Ta có: \(\left( {\overrightarrow {OA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {OB} } \right).\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {OB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {OA} } \right).\left( {\overrightarrow {OB} {\rm{\;}} - \overrightarrow {OA} } \right) = 0\) \( \Leftrightarrow O{B^2} - O{A^2} = 0\) \( \Leftrightarrow OA = OB\) \( \Rightarrow \Delta AOB\) cân tại \(O\). Vậy điều kiện cần và đủ để \(\left( {\overrightarrow {OA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {OB} } \right).\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} = 0\) là \(\Delta AOB\) cân tại \(O\). Chọn B. Câu 29 (VDC): Cách giải: Xét tam thức: \(f\left( x \right) = {x^2} + mx + {m^2} + 6m\) Để \(f\left( x \right) < 0\forall x \in \left( {1;2} \right) \Rightarrow {x_1} < 1 < 2 < {x_2}\) trong đó \({x_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_2}\) là hai nghiệm của tam thức. Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = {\rm{\;}} - m}\\{{x_1}{x_2} = {m^2} + 6m}\end{array}} \right.\) Từ đây ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\{x_1} < 1 < {x_2}\\{x_1} < 2 < {x_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) < 0\\\left( {{x_1} - 2} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4\left( {{m^2} + 6m} \right) > 0\\{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 < 0\\{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3{m^2} - 24m > 0\\{m^2} + 6m + m + 1 > 0\\{m^2} + 6m + 2m + 4 < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 8 < m < 0\\\frac{{ - 7 - 3\sqrt 5 }}{2} < m < \frac{{ - 7 + 3\sqrt 5 }}{2}\\ - 4 - 2\sqrt 3 < m < - 4 + 2\sqrt 3 \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \frac{{ - 7 - 3\sqrt 5 }}{2} < m < - 4 + 2\sqrt 3 \) Mà \(m\) nguyên nên \(m = {\rm{\;}} - 6\). Chọn B. Câu 30 (VDC): Phương pháp: +) Từ hai hình chiếu của \(C\) lên AB,AD, ta biến đổi các các đẳng thức theo đề bài để đưa ra đáp án đúng. Cách giải:
Vì E,F lần lượt là hình chiếu của \(C\) lên AB,AD nên ta có: \(\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AE} {\rm{\;}} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} }\\{\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AF} {\rm{\;}} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} }\end{array}\) Suy ra \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AE} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AF} {\rm{\;}} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB + } \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} {\rm{\;}} = {\overrightarrow {AC} ^2}\left( * \right)\) Do AC là đường chéo lớn nên \(\angle ABC \ge {90^o}\) và \(B\) nằm giữa hai điểm \(A\) và E. Suy ra \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AE} {\rm{\;}} = AB.AE\) Tương tự ta có \(D\) nằm giữa hai điểm \(A\) và F. Suy ra \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AF} {\rm{\;}} = AD.AF\) Vậy \(\left( * \right)\) trở thành: \(AB.AE + AD.AF = A{C^2}\) Chọn D. II. Phần tự luận (4 điểm) Câu 1 (TH): Phương pháp: a) Nhóm \(\overrightarrow {IB} \) và \(\overrightarrow {IC} \). b) Tính IA, IB. Tính \(\cos \angle BIA\)theo hệ quả định lí cosin trong tam giác BIA. c) Sử dụng: \(\overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {MI} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {IB} \), \(\overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {MI} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {IC} \),\(\overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {MI} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {IA} \) thay vào điều điện đề bài cho để tìm MI. Cách giải:
a) Chứng minh \(2\overrightarrow {IA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {IB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {IC} {\rm{ \;}} = \vec 0\). \(VT = \left( {\overrightarrow {IB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {IC} } \right) + 2\overrightarrow {IA} {\rm{ \;}} = 2\overrightarrow {IH} {\rm{ \;}} + 2\overrightarrow {IA} {\rm{ \;}} = 2\left( {\overrightarrow {IH} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {IA} } \right) = 2.\vec 0{\rm{ \;}} = \vec 0{\rm{ \;}} = VP\) (Đpcm). b) Tính \(\cos \angle BIA\). Ta có \(IH = IA = \frac{1}{2}AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\); \(IB = IC = \sqrt {B{H^2} + I{H^2}} {\rm{ \;}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{3{a^2}}}{{16}}} {\rm{ \;}} = \frac{{a\sqrt 7 }}{4}\). \(\cos \widehat {BIA} = \frac{{I{B^2} + I{A^2} - B{A^2}}}{{2IB.IA}} = \frac{{\frac{{7{a^2}}}{{16}} + \frac{{3{a^2}}}{{16}} - {a^2}}}{{2\frac{{a\sqrt 7 }}{4}\frac{{a\sqrt 3 }}{4}}} = {\rm{ \;}} - \frac{3}{{\sqrt {21} }}\). c) \(\begin{array}{*{20}{l}}{M{B^2} + M{C^2} + 2M{A^2} = {{\left( {\overrightarrow {MI} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {IB} } \right)}^2} + {{\left( {\overrightarrow {MI} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {IC} } \right)}^2} + 2{{\left( {\overrightarrow {MI} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {IA} } \right)}^2}}\\{ = 4M{I^2} + 2I{A^2} + I{B^2} + I{C^2} = 4M{I^2} + \frac{{20{a^2}}}{{16}}}\end{array}\) Suy ra \(MI = \frac{a}{2}\). Vậy điểm tập hợp các điểm \(M\) là đường tròn tâm \(I\) bán kính \(R = \frac{a}{2}\). Câu 2 (VD): Phương pháp: Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ. Giả sử Parabol có phương trình \(\left( P \right):{\mkern 1mu} y = a{x^2} + bx + c\). Tìm (P) biết P đi qua các điểm \(O\left( {0;0} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} M\left( {10;{\mkern 1mu} 43} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} N\left( {162;0} \right)\). Chiều cao của cổng là tung độ đỉnh của parabol. Cách giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho một chân cổng đi qua gốc \(O\) như hình vẽ trên, chân kia là điểm \(N\left( {162;{\mkern 1mu} 0} \right).\)Giả sử Parabol có phương trình \(\left( P \right):{\mkern 1mu} y = a{x^2} + bx + c\). Khi đó Parabol \(\left( P \right)\) đi qua các điểm \(O\left( {0;0} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} M\left( {10;{\mkern 1mu} 43} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} N\left( {162;0} \right)\) nên ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 0}\\{26244a + 162b + c = 0}\\{100a + 10b + c = 43}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = {\rm{ \;}} - \frac{{43}}{{1520}}}\\{b = \frac{{3483}}{{\begin{array}{*{20}{l}}{760}\\{c = 0}\end{array}}}}\end{array}} \right.\). Do đó \(\left( P \right):y = {\rm{ \;}} - \frac{{43}}{{1520}}{x^2} + \frac{{3483}}{{760}}x\). Khi đó chiều cao của cổng là \(h = y\left( {81} \right) = {\rm{ \;}} - \frac{\Delta }{{4a}} = \frac{{282123}}{{1520}} \approx 185,6\left( m \right).\) Câu 3 (VD): Phương pháp: Xét các trường hợp: \(a = 0\), \(a \ne 0\): Phương trình bậc hai có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta \; \ge 0\). Cách giải: Xét phương trình: \(\left( {m - 5} \right){x^2} - 4mx + m - 2 = 0\left( 1 \right)\) Trường hợp 1: \(m - 5 = 0 \Leftrightarrow m = 5\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành: \( - 20x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{{20}}\) \( \Rightarrow \) Với \(m = 5\) phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm duy nhất \(x = \frac{3}{{20}}\). Trường hợp 2: \(m - 5 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 5\) Phương trình \left( 1 \right) có nghiệm khi và chỉ khi: \(\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow {\left( { - 2m} \right)^2} - \left( {m - 5} \right)\left( {m - 2} \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow 4{m^2} - \left( {{m^2} - 7m + 10} \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow 3{m^2} - 7m - 10 \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge 1}\\{m \le \; - \frac{{10}}{3}}\end{array}} \right.\) Kết hợp với điều kiện \(m \ne 5\) ta có: \(m \in \left( { - \infty ;{\rm{\;}}\frac{{10}}{3}} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 5 \right\}\) Kết hợp cả hai trường hợp ta có: \(m \in \left( { - \infty ; - \frac{{10}}{3}} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\) hay \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le \; - \frac{{10}}{3}}\\{m \ge 1}\end{array}} \right.\).
Đề 2 I. Phần trắc nghiệm Câu 1: Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - 4y + 12 \ge 0}\\{x + y - 5 \ge 0}\\{x + 1 > 0}\end{array}} \right.\)là miền chứa điểm nào trong các điểm sau? A. \(M\left( {1{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} - 3} \right)\) B. \(N\left( {4{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} 3} \right)\). C. \(P\left( { - 1{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} 5} \right)\). D. \(Q\left( { - 2{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} - 3} \right)\). Câu 2: Tìm tập xác định D của hàm số \(y = \frac{{3x - 1}}{{2x - 2}}\). A. \(D = \mathbb{R}\) B. \(D = \left( {1; + \infty } \right)\) C. \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\) D. \(D = \left[ {1; + \infty } \right)\) Câu 3: Cho hàm số\(y = {\mkern 1mu} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{2}{{x - 1}},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \in \left( { - \infty ;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 0} \right)}\\{\sqrt {x + 1} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \in \left[ {0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 2} \right]}\\{{x^2} - 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \in \left( {2;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 5} \right]}\end{array}} \right..{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \) Tính \(f(4),\) ta được kết quả: A. 2/3 B. 15 C. D. kết quả khác Câu 4: Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {a < 0} \right)\) có đồ thị (P). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\) B. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{b}{{2a}}} \right)\) C. Đồ thị luôn cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt D. Đồ thị có trục đối xứng là đường thẳng \(x = {\rm{ \;}} - \frac{b}{{2a}}\) Câu 5: Cho hàm số \(y = \left( {m - 4} \right){x^2} - 3x + 2\). Hàm số đã cho là hàm số bậc hai khi: A. m = 4 B. m > 4 C. m < 4 D. \(m \ne 4\) Câu 6: Cho tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (a \ne 0)\). Điều kiện cần và đủ để \(f(x) \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\) là: A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a < 0}\\{\Delta {\rm{ \;}} > 0}\end{array}} \right.\) B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a < 0}\\{\Delta {\rm{ \;}} > 0}\end{array}} \right.\) C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a > 0}\\{\Delta {\rm{ \;}} \ge 0}\end{array}} \right.\) D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a < 0}\\{\Delta {\rm{ \;}} \le 0}\end{array}} \right.\) Câu 7: Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Có duy nhất một vectơ cùng phương với mọi vectơ. B. Có ít nhất hai vectơ có cùng phương với mọi vectơ. C. Có vô số vectơ cùng phương với mọi vectơ. D. Không có vectơ nào cùng phương với mọi vectơ. Câu 8: Cho hình bình hành ABCD, giao điểm của hai đường chéo là \(O\). Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. \(\overrightarrow {CO} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {OB} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {BA} \) B. \(\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {BC} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {DB} \) C. \(\overrightarrow {DA} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {DB} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {OD} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {OC} \) D. \(\overrightarrow {DA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {DB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {DC} {\rm{ \;}} = \vec 0\) Câu 9: Cho ba điểm A,B,C phân biệt. Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức sai? A. \(\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BC} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {AC} \) B. \(\overrightarrow {CA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {BC} \) C. \(\overrightarrow {BA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {BC} \) D. \(\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {CB} \) Câu 10: Cho hình bình hành ABCD tâm \(O\). Đẳng thức nào sau đây sai? A. \(\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right|\) B. \(\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {DA} } \right|\) C. \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {CD} } \right|\) D. \(\left| {\overrightarrow {AO} } \right| = \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {CA} } \right|\) Câu 11: Cho \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vecto cùng hướng và đều khác vecto \(\vec 0\). Mệnh đề nào sau đây đúng? A. \(\vec a \cdot \vec b = \left| {\vec a} \right|{\mkern 1mu} \cdot \left| {\vec b} \right|\) B. \(\vec a \cdot \vec b = 0\) C. \(\vec a \cdot \vec b = {\rm{\;}} - 1\) D. \(\vec a \cdot \vec b = {\rm{\;}} - \left| {\vec a} \right|{\mkern 1mu} \cdot \left| {\vec b} \right|\) Câu 12: Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a > 0, b = 0, c > 0 B. a > 0, b < 0, c > 0 C. a > 0, b > 0, c > 0 D. a < 0, b > 0, c > 0 Câu 13: Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 5\) khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;2} \right)\), nghịch biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\). B. Hàm số đồng biến trên các khoảng\(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\). C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng\(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\). D. Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;2} \right)\), đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\). Câu 14: Tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {5 - 4x - {x^2}} \) là A. \(\left[ { - 5;1} \right]\) B. \(\left[ { - \frac{1}{5};1} \right]\) C. \(\left( { - \infty ; - 5} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\) D. \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{5}} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\) Câu 15: Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 2} {\rm{\;}} = x + 1\). Khi đó \({x_1} + {x_2}\) bằng A. \(0\). B. \(2\). C. \(1\). D. \( - 1\). Câu 16: Cho tam giác ABC đều cạnh \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm BC. Khẳng định nào sau đây đúng? A. \(\overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {MC} \) B. \(\overrightarrow {AM} {\rm{ \;}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) C. \(\overrightarrow {AM} {\rm{ \;}} = a\) D. \(\left| {\overrightarrow {AM} } \right| = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) Câu 17: Cho tam giác ABC và điểm \(M\) thỏa mãn điều kiện \(\overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \vec 0\). Mệnh đề nào sau đây sai? A. MABC là hình bình hành. B. \(\overrightarrow {AM} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {AC} \) C. \(\overrightarrow {BA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BC} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {BM} \) D. \(\overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {BC} \) Câu 18: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng \(a\). Khi đó \(\left| {\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AC} } \right|\) bằng: A. \(\frac{{a\sqrt 5 }}{2}\) B. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) C. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) D. \(a\sqrt 5 \) Câu 19: Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm \(D\) sao cho \(\overrightarrow {BD} {\rm{\;}} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \). Khi đó, vectơ \(\overrightarrow {AD} \) bằng A. \(\frac{2}{3}\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \) B. \(\frac{1}{3}\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \) C. \(\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \) D. \(\frac{5}{3}\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \) Câu 20: Cho tam giác ABC có \(AB = 2,\)\(BC = 4,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} CA = 3\). Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) và \(\cos A\). A. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} {\rm{\;}} = \frac{3}{2}\) và \(\cos A = \frac{1}{4}\) B. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - \frac{3}{2}\) và \(\cos A = {\rm{\;}} - \frac{1}{4}\) C. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - \frac{2}{3}\) và \(\cos A = {\rm{\;}} - \frac{1}{4}\) D. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} {\rm{\;}} = \frac{2}{3}\) và \(\cos A = \frac{1}{4}\) Câu 21: Cho hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + 3{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị (P), biết rằng đồ thị (P) có đỉnh S(-2;-1). Tính 2a – b? A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 Câu 22: Với giá trị nào của \(b\) thì tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - bx + 3\) có nghiệm? A. \(b \in \left[ { - {\mkern 1mu} 2\sqrt 3 ;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 2\sqrt 3 } \right]\) B. \(b \in \left( { - {\mkern 1mu} 2\sqrt 3 ;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 2\sqrt 3 } \right)\) C. \(b \in \left( { - {\mkern 1mu} \infty ;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} - {\mkern 1mu} 2\sqrt 3 } \right] \cup \left[ {2\sqrt 3 ;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} \infty } \right)\) D. \(b \in \left( { - {\mkern 1mu} \infty ;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} - {\mkern 1mu} 2\sqrt 3 } \right) \cup \left( {2\sqrt 3 ;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} \infty } \right)\) Câu 23: Tổng tất cả các giá trị nguyên của \(x\) để tam thức \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 7x - 9\) nhận giá trị âm là A. \(7\) B. \(8\) C. \(9\) D. 10 Câu 24: Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {5x - 1} = \sqrt {3x - 2} + \sqrt {x - 1} \) là A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 Câu 25: Cho tứ giác ABCD. Gọi \(M,N,P,Q\) lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Khẳng định nào sau đây là sai? A. \(\overrightarrow {MN} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {QP} \) B. \(\left| {\overrightarrow {QP} } \right| = \left| {\overrightarrow {MN} } \right|\) C. \(\overrightarrow {MQ} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {NP} \) D. \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|\) Câu 26: Cho tứ giác ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm giá trị của \(k\) thích hợp điển vào đẳng thức vec tơ\(\overrightarrow {MN} {\rm{ \;}} = k\left( {\overrightarrow {AD} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BC} } \right)\). A. \(k = 3\) B. \(k = \frac{1}{2}\) C. \(k = 2.\) D. \(k = \frac{1}{3}\) Câu 27: Tam giác ABC có \(AB = AC = a\), \(\angle BAC = {120^0}\). Độ dài vectơ \(\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AC} \) là A. \(a\sqrt 3 \) B. \(a\) C. \(a\sqrt 2 \) D. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) Câu 28: Cho tam giác ABC có \(BC = a,\)\(CA = b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} AB = c\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh BC. Tính \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} \). A. \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} {\rm{\;}} = \frac{{{b^2} - {c^2}}}{2}\) B. \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} {\rm{\;}} = \frac{{{c^2} + {b^2}}}{2}\) C. \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} {\rm{\;}} = \frac{{{c^2} + {b^2} + {a^2}}}{3}\) D. \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} {\rm{\;}} = \frac{{{c^2} + {b^2} - {a^2}}}{2}\) Câu 29: Hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 4x + 3 > 0}\\{3{x^2} - 10x + 3 \le 0}\\{4{x^2} - x - 3 > 0}\end{array}} \right.\) có nghiệm là: A. Vô nghiệm B. \( - \frac{3}{4} < x < \frac{1}{3}\) C. \(\frac{1}{3} < x < 1\) D. \(1 < x < 3\) Câu 30: Một con lắc đơn đang đứng yên tại vị trí cân bằng \(M\). Thực tập viên tác dụng một lực \(\vec F\) lên con lắc đưa nó đến vị trí \(I\) và giữ yên như hình vẽ.
Biết rằng con lắc đang chịu tác động của lực căng dây \(\vec T\) có cường độ 30N, trọng lực \(\vec P\) và lực tác dụng \(\vec F\). Hãy xác định cường độ của lực \(\vec F\)? A. \(30\sqrt 3 {\mkern 1mu} \left( N \right)\) B. \(30{\mkern 1mu} \left( N \right)\) C. \(15{\mkern 1mu} \left( N \right)\) D. \(15\sqrt 2 {\mkern 1mu} \left( N \right)\) II. Phần tự luận Câu 1: Cho \(\Delta ABC,\) \(I\) là trung điểm BC và \(D,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} E\) thỏa mãn\(\;\overrightarrow {BD} {\rm{\;}} = \overrightarrow {DE} {\rm{\;}} = \overrightarrow {EC} \) a) Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AC} {\rm{\;}} = \overrightarrow {AD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AE} \) b) Tính: \(\overrightarrow {AS} {\rm{\;}} = \overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AC} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AE} \) theo \(\overrightarrow {AI} .\) Từ đó suy ra \(A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} S,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} I\) thẳng hàng. Câu 2: Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xe honda Future Fi với chi phí mua vào một chiếc là 27 triệu và bán ra với giá là 31 triệu đồng. Với giá bán này thì số lượng xe mà khách hàng sẽ mua trong một năm là 600 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm 1 triệu đồng mỗi chiếc xe thì số lượng xe bán ra trong một năm là sẽ tăng thêm 200 chiếc. Vậy doanh nghiệp phải định giá bản mới là bao nhiêu để sau khi đã thực hiện giảm giá, lợi nhuận thu được sẽ là cao nhất. Câu 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của a để phương trình \({x^2} - 6ax + 9{a^2} - 2a + 2 = 0\) có hai nghiệm lớn hơn 3. ----- HẾT ----- Giải đề 2 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT I. Phần trắc nghiệm
Câu 1 (NB): Phương pháp: Thay tọa độ từng điểm vào hệ bất phương trình. Cách giải: Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - 4y + 12 \ge 0}\\{x + y - 5 \ge 0}\\{x + 1 > 0}\end{array}} \right.\), kiểm tra đáp án thấy \(N\left( {4{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} 3} \right)\) thoả mãn. Chọn B. Câu 2 (NB): Phương pháp: Hàm phân thức xác định khi mẫu thức khác 0. Cách giải: ĐKXĐ: \(2x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1\). Vậy TXĐ của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\). Chọn C. Câu 3 (NB): Cách giải: \(f(4) = {4^2} - 1 = {\rm{\;}}15\) Chọn B. Câu 4 (NB): Phương pháp: Đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có trục đối xứng là đường thẳng \(x = {\rm{ \;}} - \frac{b}{{2a}}\). Với a < 0: Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ; - \frac{b}{{2a}}} \right)\) và nghịch biến trên \(\left( { - \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\). Cách giải: Vì a < 0 nên hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ; - \frac{b}{{2a}}} \right)\) và nghịch biến trên \(\left( { - \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\). Do đó A và B sai. Đồ thị có trục đối xứng là đường thẳng \(x = {\rm{ \;}} - \frac{b}{{2a}}\) nên D đúng. Chưa đủ dữ kiện để xác định số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành nên C sai. Chọn D. Câu 5 (NB): Phương pháp: Hàm số bậc hai có dạng \(y = a{x^2} + bx + c{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {a \ne 0} \right)\). Cách giải: Hàm số \(y = \left( {m - 4} \right){x^2} - 3x + 2\) là hàm số bậc hai khi \(m - 4 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 4\). Chọn D. Câu 6 (NB): Phương pháp: Áp dụng quy tắc dấu của tam thức bậc hai. Cách giải: \(f(x) = a{x^2} + bx + c{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (a \ne 0)\), \(f(x) \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a < 0}\\{\Delta {\rm{ \;}} \le 0}\end{array}} \right.\). Chọn D. Câu 7 (NB): Phương pháp: Vectơ-không cùng phương với mọi vectơ. Cách giải: Vectơ-không cùng phương với mọi vectơ. Chọn A. Câu 8 (NB): Phương pháp: Xét từng đáp án. Sử dụng công thức hình bình hành, các tính chất của phép cộng vectơ Cách giải: Ta có: \(\overrightarrow {DA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {DB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {DC} {\rm{ \;}} = \left( {\overrightarrow {DA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {DC} } \right) + \overrightarrow {DB} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {DB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {DB} {\rm{ \;}} = 2\overrightarrow {DB} {\rm{ \;}} \ne \vec 0\). Chọn D. Câu 9 (NB): Phương pháp: Sử dụng quy tắc cộng vectơ. Cách giải: Với ba điểm A,B,C phân biệt ta có: \(\overrightarrow {CA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {CB} \). Vậy đáp án B sai Chọn B. Câu 10 (NB): Phương pháp: Áp dụng tính chất của hình bình hành. Cách giải:
Vì ABCD là hình bình hành nên \(AB = DC,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} AD = BC,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} AO = \frac{1}{2}AC\). Do vậy các đáp án đúng là: \(\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {DA} } \right|\), \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {CD} } \right|\), \(\left| {\overrightarrow {AO} } \right| = \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {CA} } \right|\) \(\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right|\) là đáp án sai vì AC và BD là hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên \(AC \ne BD\). Chọn A. Câu 11 (NB): Phương pháp: Áp dụng công thức: \(\vec a.\vec b = \left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|.\cos \left( {\vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec b} \right)\) Hai vecto cùng hướng thì góc giữa hai vecto bằng \({0^0}\). Cách giải: Ta có: \(\vec a \cdot \vec b = \)\(\left| {\vec a} \right|{\mkern 1mu} \cdot \left| {\vec b} \right| \cdot \cos \left( {\vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec b} \right)\) Do \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vecto cùng hướng nên \(\left( {\vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec b} \right) = {0^^\circ }\)\( \Rightarrow \cos \left( {\vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec b} \right) = 1\). \( \Rightarrow \vec a \cdot \vec b = \left| {\vec a} \right|{\mkern 1mu} \cdot \left| {\vec b} \right|\) Vậy \(\vec a \cdot \vec b = \left| {\vec a} \right|{\mkern 1mu} \cdot \left| {\vec b} \right|\). Chọn A. Câu 12 (TH): Phương pháp: Hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\) với a > 0 có bề lõm hướng lên và với a < 0 có bề lõm hướng xuống. Giao với trục tung tại điểm nằm trên trục hoành thì c > 0 và nằm dưới trục hoành thì c < 0. Đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ âm nên phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có 2 nghiệm âm. Cách giải: Đồ thị hàm số có bề lõm hướng lên nên a > 0 => Loại D. Đồ thị cắt trục tung tại điểm nằm trên trục hoành nên c > 0. Đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ âm nên phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có 2 nghiệm âm. \( \Rightarrow \frac{{ - b}}{a} < 0 \Leftrightarrow {\rm{ \;}} - b < 0 \Leftrightarrow b > 0\) => Loại A và B. Chọn C. Câu 13 (TH): Phương pháp: Với \(a > 0\), hàm số bậc hai đồng biến trên \(\left( {\frac{{ - b}}{{2a}}; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;\frac{{ - b}}{{2a}}} \right)\) Cách giải: Đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 5\) có \({x_I} = \frac{{ - b}}{{2a}} = 2\) và có \(a = 1 > 0\) Suy ra hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;2} \right)\), đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\). Chọn D. Câu 14 (TH): Phương pháp: Hàm số \(y = \sqrt {f(x)} \) xác định khi \(f\left( x \right) \ge 0.\) Xét dấu hàm số \(f\left( x \right) = 5 - 4x - {x^2}\), để giải \(f\left( x \right) \ge 0.\) Cách giải: Hàm số xác định khi \(5{x^2} - 4x - 1 \ge 0\). Ta có \(a = {\rm{ \;}} - 1 < 0;\Delta {\rm{ \;}} > 0.\) \(f\left( x \right)\) có hai nghiệm phân biệt \(x = 1;x = {\rm{ \;}} - 5.\) Vậy \( - 5 \le x \le 1\). Chọn A. Câu 15 (TH): Phương pháp: Giải phương trình \(\sqrt A {\rm{\;}} = B \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{B \ge 0}\\{A = {B^2}}\end{array}} \right.\) Cách giải: \(\sqrt {2{x^2} - 2} = x + 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\2{x^2} - 2 = {\left( {x + 1} \right)^2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\2{x^2} - 2 = {x^2} + 2x + 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\{x^2} - 2x - 3 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = - 1\end{array} \right.\) Khi đó \({x_1} + {x_2} = 3 + \left( { - 1} \right) = 2\). Chọn B. Câu 16 (TH): Phương pháp: - Kiểm tra đáp án A bằng cách xác định hướng và độ dài của hai vecto \(\overrightarrow {MB} ;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {MC} .\) - Kiểm tra các đáp án B, C, D bằng cách tính độ dài đoạn thẳng AM. Cách giải: Tam giác đều ABC cạnh a, có độ dài đường trung tuyến AM là: \(A{M^2} = \frac{{A{C^2} + A{B^2}}}{2} - \frac{{B{C^2}}}{4} = \frac{{{a^2} + {a^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{3a}}{4}.\) \( \Rightarrow AM = \frac{{\sqrt 3 a}}{2}\)\( \Rightarrow \overrightarrow {\left| {AM} \right|} {\rm{ \;}} = \frac{{\sqrt 3 a}}{2}.\) Chọn D. Câu 17 (TH): Phương pháp: Biến đổi \(\overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \vec 0\) về hai vectơ bằng nhau. Xác định vị trí điểm M dựa vào điều kiện vừa tìm được. Cách giải:
Ta có \(\overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \vec 0\)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \vec 0{\rm{ \;}} \Leftrightarrow \overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {AB} \) \( \Rightarrow \) MABC là hình bình hành. Chọn A. Câu 18 (TH): Phương pháp: Gọi M là trung điểm BC. Sử dụng tính chất trung điểm. Cách giải:
Gọi \(M\) là trung điểm BC. Ta có: \(\left| {\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {AM} } \right| = 2AM = 2\sqrt {A{B^2} + B{M^2}} {\rm{ \;}} = 2\sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} {\rm{ \;}} = a\sqrt 5 \). Chọn D. Câu 19 (TH): Phương pháp: Áp dụng định nghĩa tích của vecto với một số, quy tắc cộng vecto để phân tích vecto. Cách giải:
Ta có: \(\overrightarrow {AD} {\rm{\;}} = \overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {BD} {\rm{\;}} = \overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \) \({\mkern 1mu} = \overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AC} } \right)\)\( = \overrightarrow {AB} {\rm{\;}} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)\({\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \) \( \Rightarrow \overrightarrow {AD} {\rm{\;}} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \) Chọn A. Câu 20 (TH): Phương pháp: Áp dụng: + \({\left( {\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} - \overrightarrow {AC} } \right)^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) và quy tắc cộng vecto. + \(\cos A = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}\) Cách giải: Tam giác ABC:\(AB = 2,\)\(BC = 4,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} CA = 3\). Ta có: \({\left( {\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} - \overrightarrow {AC} } \right)^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)\( = \frac{{{{\overrightarrow {AB} }^2} + {{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\left( {\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} - \overrightarrow {AC} } \right)}^2}}}{2}\)\( = \frac{{{{\overrightarrow {AB} }^2} + {{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\overrightarrow {BC} }^2}}}{2}\)\( = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{2}\)\( = \frac{{{2^2} + {3^2} - {4^2}}}{2} = \frac{{ - 3}}{2}\) Lại có: \(\cos A = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{AB.AC}}\)\( = \frac{{ - \frac{3}{2}}}{{2.3}} = \frac{{ - 1}}{4}\) Chọn B. Câu 21 (VD): Phương pháp: Từ tọa độ đỉnh suy ra 2 phương trình, giải hệ tìm a, b. Cách giải: Vì S(-2;-1) là đỉnh của (P) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{ - b}}{{2a}} = {\rm{ \;}} - 2}\\{ - 1 = 4a - 2b + 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4a - b = 0}\\{4a - 2b = {\rm{ \;}} - 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1}\\{b = 4}\end{array}} \right.\). Vậy 2a – b = 2.1 – 4 = -2. Chọn A. Câu 22 (VD): Phương pháp: \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm\( \Leftrightarrow \Delta {\rm{ \;}} \ge 0\) Cách giải: Xét \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - bx + 3 = 0\) \(\left( 1 \right)\) Để tam thức bậc hai \(f\left( x \right)\) có nghiệm thì \(\left( 1 \right)\)có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta {\rm{ \;}} \ge 0\)\( \Leftrightarrow {b^2} - 12 \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{b \ge 2\sqrt 3 }\\{b \le {\rm{ \;}} - 2\sqrt 3 }\end{array}} \right.\). \( \Rightarrow b \in \left( { - {\mkern 1mu} \infty ;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} - {\mkern 1mu} 2\sqrt 3 } \right] \cup \left[ {2\sqrt 3 ;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} \infty } \right)\) Chọn C. Câu 23 (VD): Phương pháp: Tìm các nghiệm của \(f\left( x \right)\), lập bảng xét dấu và kết luận. Cách giải: Giải: \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 7x - 9 = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {2x - 9} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {\rm{ \;}} - 1}\\{x = \frac{9}{2}}\end{array}} \right.\) Dựa vào bảng xét dấu ta có: \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 7x - 9 < 0\)\( \Leftrightarrow {\rm{ \;}} - 1 < x < \frac{9}{2}\) Mà \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 2;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 3;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 4} \right\}\) Tổng tất cả các số nguyên \(x\) thỏa mãn là: \(0 + {\mkern 1mu} 1 + 2 + 3 + 4 = 10\) Chọn D. Câu 24 (VD): Phương pháp: Bước 1: Tìm tập xác định (\(\sqrt A \) xác định khi và chỉ khi \(A \ge 0\)) Bước 2: Giải phương trình bằng phương pháp bình phương 2 vế. Cách giải: \(\sqrt {5x - 1} {\rm{\;}} = \sqrt {3x - 2} {\rm{\;}} + \sqrt {x - 1} \) TXĐ: \(D = \left[ {1; + \infty } \right]\) \(\begin{array}{l}\sqrt {5x - 1} = \sqrt {3x - 2} + \sqrt {x - 1} \\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {5x - 1} } \right)^2} = {\left( {\sqrt {3x - 2} + \sqrt {x - 1} } \right)^2}\\ \Leftrightarrow 5x - 1 = 3x - 2 + x - 1 + 2\sqrt {\left( {3x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)} \\ \Leftrightarrow x + 2 = 2\sqrt {3{x^2} - 5x + 2} \end{array}\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2 \ge 0\\{\left( {x + 2} \right)^2} = 4\left( {3{x^2} - 5x + 2} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 2\\{x^2} + 4x + 4 = 12{x^2} - 20x + 8\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 2\\11{x^2} - 24x + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 2\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = \frac{2}{{11}}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\,\,\left( {Tm} \right)\\x = \frac{2}{{11}}\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\) Vậy phương trình có 1 nghiệm \(x = 2\) Chọn C. Câu 25 (VD): Phương pháp: - Vẽ hình, xác định các vectơ liên quan. - Hình MNPQ là hình gì? - Dựa vào tính chất hình MNPQ và MN là đường trung bình của tam ABC để chọn đáp án đúng. Cách giải:
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MN\parallel PQ}\\{MN = PQ}\end{array}} \right.\) (do cùng song song và bằng \(\frac{1}{2}AC\)). Do đó MNPQ là hình bình hành. Suy ra \(\overrightarrow {MN} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {QP} \); \(\left| {\overrightarrow {QP} } \right| = \left| {\overrightarrow {MN} } \right|\); \(\overrightarrow {MQ} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {NP} \). Ta có: MN là đường trung bình tam giác ABC Suy ra \(MN = \frac{1}{2}AC \Rightarrow \overrightarrow {MN} {\rm{ \;}} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \) Chọn D. Câu 26 (VD): Phương pháp: Biểu diễn \(\overrightarrow {MN} \) qua các vectơ \(\overrightarrow {MA} ,{\mkern 1mu} \overrightarrow {AD} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {DN} \). Biểu diễn \(\overrightarrow {MN} \) qua các vectơ \(\overrightarrow {MB} ,{\mkern 1mu} \overrightarrow {BC} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {CN} \). Cộng hai biểu thức trên và biểu diễn \(\overrightarrow {MN} \) qua \(\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {BC} .\) Cách giải: Ta có: \(\overrightarrow {MN} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AD} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {DN} \) (1) \(\overrightarrow {MN} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BC} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {CN} \) (2) Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được \(2\overrightarrow {MN} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {AD} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BC} \) \( \Rightarrow \overrightarrow {MN} {\rm{ \;}} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BC} } \right) \Rightarrow k = \frac{1}{2}\). Chọn B. Câu 27 (VD): Phương pháp: Áp dụng quy tắc cộng vecto, quy tắc hình bình hành để tìm vecto tổng. Tính độ dài vecto vừa tìm được. Cách giải:
Ta có: \(\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AC} {\rm{\;}} = 2\overrightarrow {AM} \) \(\left| {\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {AM} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {AM} } \right| = 2.a.\cos {60^0} = a\) Chọn B. Câu 28 (VD): Phương pháp: Nếu \(M\) là trung điểm của cạnh BC thì \(\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AC} {\rm{\;}} = 2\overrightarrow {AM} \). Cách giải:
Vì \(M\) là trung điểm của BC nên \(\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AC} {\rm{\;}} = 2\overrightarrow {AM} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {AM} {\rm{\;}} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AC} } \right)\) Ta có: \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} \)\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {BC} \)\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AC} } \right).\left( {\overrightarrow {AC} {\rm{\;}} - \overrightarrow {AB} } \right)\) \( = \frac{1}{2}\left( {{{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\overrightarrow {AB} }^2}} \right)\)\( = \frac{1}{2}\left( {A{C^2} - A{B^2}} \right)\)\( = \frac{{{b^2} - {c^2}}}{2}\) Vậy \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} {\rm{\;}} = \frac{{{b^2} - {c^2}}}{2}\). Chọn A. Câu 29 (VDC): Phương pháp: Giải từng bất phương trình sau đó lấy giao các tập hợp nghiệm. Cách giải: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 4x + 3 > 0}\\{3{x^2} - 10x + 3 \le 0}\\{4{x^2} - x - 3 > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x < 1 \vee x > 3}\\{\frac{1}{3} \le x \le 3}\\{x < {\rm{\;}} - \frac{3}{4} \vee x > 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x \in \emptyset \) Chọn A. Câu 30 (VDC): Phương pháp: Giả sử \(\vec P{\rm{ \;}} = \overrightarrow {IA} \); \(\vec F{\rm{ \;}} = \overrightarrow {IB} \) có hợp lực \(\overrightarrow {{F_T}} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {IC} \), lực căng dây \(\vec T{\rm{ \;}} = \overrightarrow {IN} \). Đặt \(x > 0\) là cường độ lực \(\vec F\), \(x > 0\), đơn vị: \(N\). Tính góc \(\angle ICB\), \(\angle CIA\). Tính IC dựa và tam giác IAC vuông tại A. Vì con lắc đứng yên nên \(IC = \left| {\overrightarrow {IC} } \right| = \left| {\vec T} \right|\). Từ đó tìm x. Cách giải: Giả sử \(\vec P{\rm{ \;}} = \overrightarrow {IA} \); \(\vec F{\rm{ \;}} = \overrightarrow {IB} \) có hợp lực \(\overrightarrow {{F_T}} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {IC} \), lực căng dây \(\vec T{\rm{ \;}} = \overrightarrow {IN} \). Đặt \(x,x > 0\) là cường độ của lực \(\vec F\), đơn vị \(N\).
Dễ thấy \(\widehat {IOM} = \widehat {ICB}\) (so le trong) suy ra \(\widehat {ICB} = {30^^\circ }\). Mà \(\widehat {ICB} = \widehat {CIA}\) nên \(\widehat {CIA} = {30^^\circ }\). Ta có \(AC = IB = x \Rightarrow IC = \frac{{AC}}{{{\rm{sin3}}{0^^\circ }}} = 2x\). Do con lắc đứng yên tại \(I\)nên lực căng dây \(\vec T\) có cùng cường độ với hợp lực \(\overrightarrow {{F_T}} \). Nên \(2x = 30 \Leftrightarrow x = 15\). Vậy cường độ của lực tác dụng \(\vec F\) bằng 15N. Chọn C. II. Phần tự luận Câu 1 (TH): Phương pháp: a) Cho \(I\) là trung điểm của AB ta có: \(\overrightarrow {IA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {IB} {\rm{\;}} = \vec 0.\) b) Biểu diễn \(\overrightarrow {AS} \) theo vecto \(\overrightarrow {AI} \) rồi suy ra \(A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} S,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} I\) thẳng hàng. Cách giải:
a) Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AC} {\rm{\;}} = \overrightarrow {AD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AE} \) Ta có: \(\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AC} {\rm{\;}} = 2\overrightarrow {AI} \) (I là trung điểm của BC) Vì \(BD = DE = EC,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} I\) là trung điểm BC \( \Rightarrow I\) là trung điểm DE \(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow \overrightarrow {AD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AE} {\rm{\;}} = 2\overrightarrow {AI} }\\{ \Rightarrow \overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AC} {\rm{\;}} = \overrightarrow {AD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AE} \;\left( { = 2\overrightarrow {AI} } \right)}\end{array}\) b) Tính: \(\overrightarrow {AS} {\rm{\;}} = \overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AC} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AE} \) theo \(\overrightarrow {AI} .\) Từ đó suy ra \(A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} S,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} I\) thẳng hàng. \(\overrightarrow {AS} {\rm{\;}} = \overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AC} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AE} \) \(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow \overrightarrow {AS} {\rm{\;}} = \left( {\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AC} } \right) + \left( {\overrightarrow {AD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AE} } \right)}\\{ \Rightarrow \overrightarrow {AS} {\rm{\;}} = 2\overrightarrow {AI} {\rm{\;}} + 2\overrightarrow {AI} }\\{ \Rightarrow \overrightarrow {AS} {\rm{\;}} = 4\overrightarrow {AI} }\end{array}\) \( \Rightarrow \) \(A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} S,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} I\) thẳng hàng. Câu 2 (VD): Phương pháp: - Gọi x đồng là số tiền mà doanh nghiệp A dự định giảm giá; \(0 \le x \le 4\). - Lập phương trình tính lợi nhuận khi bán một chiếc xe. - Tính số xe mà doanh nghiệp bán được trong một năm. - Lập hàm số biểu thị lợi nhuận doanh nghiệp thu được trong một năm. - Xét sự biến thiên hàm số trên \([0;4]\) và tìm giá trị lớn nhất của nó. - Kết luận bài toán. Cách giải: Gọi x đồng là số tiền mà doanh nghiệp A dự định giảm giá; \(0 \le x \le 4\). Khi đó: Lợi nhuận thu được khi bán một chiếc xe là \(31 - x - 27 = 4 - x\) (đồng). Số xe mà doanh nghiệp sẽ bán được trong một năm là: \(600 + 200x\) (chiếc). Lợi nhuận mà doanh nghiệp thu được trong một năm là: \(f\left( x \right) = \left( {4 - x} \right)\left( {600 + 200x} \right) = {\rm{ \;}} - 200{x^2} + 200x + 2400.\) Xét hàm số \(f\left( x \right) = {\rm{ \;}} - 200{x^2} + 200x + 2400\) trên đoạn \([0;4]\) có bảng biến thiên sau:
Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{[0;4]} f\left( x \right) = 2450 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}.\) Vậy giá mới của chiếc xe là 30,5 triệu đồng thì lợi nhuận thu được là cao nhất. Câu 3 (VDC): Phương pháp: Điều kiện tương đương là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta ' > 0}\\{{x_1} + {x_2} > 6}\\{\left( {{x_1} - 3} \right)\left( {{x_2} - 3} \right) > 0}\end{array}} \right.\) Giải điều kiện dựa vào định lí Vi-ét. Cách giải: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} > {x_2} > 3\). Điều kiện để phương trình có hai nghiệm lớn hơn 3 là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta ' > 0}\\{{x_1} + {x_2} > 6}\\{\left( {{x_1} - 3} \right)\left( {{x_2} - 3} \right) > 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a - 2 > 0}\\{6a > 6}\\{{x_1}{x_2} - 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 9 > 0}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a > 1}\\{9{a^2} - 2a + 2 - 3.6a + 9 > 0}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a > 1}\\{9{a^2} - 20a + 11 > 0}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a > 1}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a > \frac{{11}}{9}}\\{a < 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow a > \frac{{11}}{9}\). Do a nguyên và nhỏ nhất nên a = 2. Đề 3 Phần I: Trắc nghiệm (6 điểm). Câu 1: Cho đồ thị hàm số \(y = {x^3}\) như hình bên: Khẳng định nào sau đây sai? A. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\). B. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\). C. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\). D. Hàm số đồng biến tại gốc tọa độ O. Câu 2: Hàm số \(y = \frac{{9x - 1}}{{x + 6}}\) xác định khi nào? A. \(9x - 1 \ge 0\). B. \(x + 6 \ge 0\). C. \(9x - 1 \ne 0\). D. \(x + 6 \ne 0\). Câu 3: Đồ thị hàm số \(y = 3{x^2} + 4x - 1\) nhận đường thẳng nào dưới đây làm trục đối xứng? A. \(x = \frac{4}{3}\) B. \(y = \frac{2}{3}\) C. \(x = {\rm{ \;}} - \frac{2}{3}\) D. \(x = {\rm{ \;}} - \frac{1}{3}\) Câu 4: Hàm số \(y = 2{x^2} + 16x - 25\) đồng biến trên khoảng: A. \(\left( { - \infty ; - 4} \right).\) B. \(\left( { - \infty ;8} \right).\) C. \(\left( { - 6; + \infty } \right).\) D. \(\left( { - 4; + \infty } \right).\) Câu 5: Cho \(\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} \ne \vec 0\) và một điểm \(C\), có bao nhiêu điểm \(D\) thỏa mãn \(\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {CD} .\) A. \(1\) B. \(2\) C. \(0\) D. Vô số. Câu 6: Cho lục giác đều ABCDEF tâm \(O\). Số các vectơ khác vectơ không, cùng phương với \(\overrightarrow {OC} \) có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là: A. \(4\) B. \(6\) C. \(7\) D. \(9\). Câu 7: Cho ba điểm \(M,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} N,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} P\) phân biệt. Đẳng thức nào sau đây sai? A. \(\overrightarrow {PM} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MN} {\rm{\;}} = \overrightarrow {PN} .\) B. \(\overrightarrow {MP} {\rm{\;}} - \overrightarrow {MN} {\rm{\;}} = \overrightarrow {NP} .\) C. \(\overrightarrow {NM} {\rm{\;}} - \overrightarrow {NP} {\rm{\;}} = \overrightarrow {PM} .\) D. \(\overrightarrow {NM} {\rm{\;}} + \overrightarrow {PM} {\rm{\;}} = \overrightarrow {NP} .\) Câu 8: Cho đoạn thẳng MN lấy điểm \(P\) sao cho \(\overrightarrow {MN} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - 3\overrightarrow {MP} \). Điểm \(P\) được xác định bởi hình vẽ nào sau đây? A. Câu 9: Cho hai vector \(\vec a,\vec b\) thỏa \(\left| {\vec a} \right| = 2,\left| {\vec b} \right| = 3,\left( {\vec a;\vec b} \right) = {120^0}\). Tính tích vô hướng \(\vec a.\vec b\). A. \( - 3\). B. \(3\). C. \( - 3\sqrt 3 \). D. \(3\sqrt 3 \). Câu 10: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{2\sqrt {x + 2} {\rm{ \;}} - 3}}{{x - 1}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ge 2}\\{{x^2} + 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x < 2}\end{array}} \right.\). Tính \(P = f\left( 2 \right) + f\left( { - 2} \right)\). A. \(P = \frac{8}{3}\) B. \(P = 4\) C. \(P = 6\) D. \(P = \frac{5}{3}\) Câu 11: Bảng biến thiên sau là của hàm số nào? A. \(y = {x^2} + 2x - 1\) B. \(y = {x^2} - 2x + 2\) C. \(y = 2{x^2} - 4x + 4\) D. \(y = {\rm{ \;}} - 3{x^2} + 6x - 1\) Câu 12: Đường thẳng \(d:y = x + 3\) cắt parabol \(\left( P \right):y = 3{x^2} + 10x + 3\) tại hai điểm có hoành độ lần lượt là A. \(x = {\rm{\;}} - \frac{1}{3},{\mkern 1mu} x = 3\). B. \(x = {\rm{\;}} - \frac{1}{3},{\mkern 1mu} x = {\rm{\;}} - 3\). C. \(x = {\rm{\;}} - 3,{\mkern 1mu} x = 3\). D. \(x = {\rm{\;}} - 3,{\mkern 1mu} x = 0\). Câu 13: Một vật được ném lên trên cao và độ cao của nó so với mặt đất được cho bởi công thức \(h\left( t \right) = 3 + 10t - 2{t^2}\left( m \right)\), với \(t\) là thời gian tính bằng giây \(\left( s \right)\) kể từ lúc bắt đầu ném. Độ cao cực đại mà vật đó có thể đạt được so với mặt đất bằng bao nhiêu mét? A. \(\frac{{31}}{2}\) B. \(\frac{{33}}{2}\) C. 15 D. 16 Câu 14: Cho \(f\left( x \right) = m{x^2} - 2x - 1\). Xác định \(m\) để \(f\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). A. \(m < {\rm{ \;}} - 1\) B. \(m < 0\) C. \( - 1 < m < 0\) D. \(m < 1\) và \(m \ne 0\). Câu 15: Trong các tập hợp sau đây, tập nào có chứa phần tử không phải là nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 8x + 7 \ge 0\)? A. \(\left( { - \infty ;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 0} \right]\) B. \(\left[ {8;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} + \infty } \right)\) C. \(\left( { - \infty ;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1} \right]\) D. \(\left[ {6;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} + \infty } \right)\) Câu 16: Giải phương trình sau \(\sqrt {x + 7} {\rm{\;}} = x + 1\) A. \(x = 1.\) B. \(x = 2.\) C. \(x = - 3.\) D. \(x = 3.\) Câu 17: Cho hình thoi ABCD tâm \(O\), cạnh bằng \(a\), và góc \(A\) bằng \({60^0}\). Kết luận nào đúng? A. \(\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = a\) B. \(\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) C. \(\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) D. \(\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \left| {\overrightarrow {OB} } \right|\) Câu 18: Cho tam giác ABC.Tập hợp các điểm \(M\)thỏa mãn\(\left| {\overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {BM} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {BA} } \right|\)là? A. đường thẳng AB. B. trung trực đoạn BC. C. đường tròn tâm A, bán kính BC. D. đường thẳng qua \(A\) và song song vơi BC. Câu 19: Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến. Gọi I là trung điểm của AM. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \) B. \(\overrightarrow {IA} {\rm{\;}} + 2\overrightarrow {IB} {\rm{\;}} + 2\overrightarrow {IC} {\rm{\;}} = \vec 0\) C. \(2\overrightarrow {IA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {IB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {IC} {\rm{\;}} = \vec 0\) D. \(2\overrightarrow {IA} {\rm{\;}} - \overrightarrow {IB} {\rm{\;}} - \overrightarrow {IC} {\rm{\;}} = \vec 0\) Câu 20: Cho đoạn thẳng AB và \(M\) là một điểm nằm trên đoạn AB sao cho \(AM = \frac{1}{5}AB\). Giá trị của \(k\) để có đẳng thức \(\overrightarrow {AM} {\rm{\;}} = k.\overrightarrow {AB} \) là: A. \(k = {\rm{\;}} - \frac{1}{5}\) B. \(k = \frac{1}{5}\) C. \(k = 5\) D. \(k = {\rm{\;}} - 5\) Câu 21: Cho hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) khác \(\vec 0\). Xác định góc \(\alpha \) giữa hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) biết \(\vec a.\vec b{\rm{\;}} = {\rm{\;}} - \left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|\). A. \(\alpha {\rm{\;}} = {0^0}\). B. \(\alpha {\rm{\;}} = {45^0}\). C. \(\alpha {\rm{\;}} = {90^0}\). D. \(\alpha {\rm{\;}} = {180^0}\). Câu 22: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} - 2x + m - 2}}\) xác định trên \(\mathbb{R}\). A. \(m > 3\) B. \(m \ge 3\) C. \(m < 3\) D. \(m \le 3\) Câu 23: Parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) đi qua A(0;-1), B(1;-1), C(-1;1) có phương trình là: A. \(y = {x^2} - x + 1\) B. \(y = {x^2} - x - 1\) C. \(y = {x^2} + x - 1\) D. \(y = {x^2} + x + 1\) Câu 24: Giá trị dương lớn nhất để hàm số \(y = \sqrt {5 - 4x - {x^2}} \) xác định là A. \(1\) B. \(2\) C. \(3\) D. \(4\) Câu 25: Cho tam giác ABC nhọn, có H là trực tâm. \(\Delta BHC\) nội tiếp \(\left( {I,R} \right)\). Gọi M là trung điểm BC. Khẳng định nào sau đây là đúng A. \(\overrightarrow {MB} ,\overrightarrow {MC} \)cùng hướng. B. \(\overrightarrow {HA} ,\overrightarrow {IM} \)cùng hướng. C. \(\overrightarrow {MB} ,\overrightarrow {BC} \)cùng hướng. D. Cả A, B, C đều sai. Câu 26: Cho hình bình hành ABCD, \(\vec u{\rm{ \;}} = \overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BD} \). Khẳng định nào sau đây đúng? A. \(\vec u\) cùng hướng với \(\overrightarrow {AB} \) B. \(\vec u\) cùng hướng với \(\overrightarrow {AD} \) C. \(\vec u\) ngược hướng với \(\overrightarrow {AB} \) D. \(\vec u\) ngược hướng với \(\overrightarrow {AD} \) Câu 27: Cho tam giác ABC, có \(M \in BC\) sao cho \(\overrightarrow {MB} {\rm{\;}} = 3\overrightarrow {MC} \). Hãy phân tích \(\overrightarrow {AM} \) theo hai vectơ \(\vec u = \overrightarrow {AB} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec v = \overrightarrow {AC} \). A. \(\overrightarrow {AM} {\rm{\;}} = \frac{1}{2}\vec u + \frac{3}{2}\vec v\) B. \(\overrightarrow {AM} {\rm{\;}} = \frac{{ - 1}}{2}\vec u + \frac{3}{2}\vec v\) C. \(\overrightarrow {AM} {\rm{\;}} = \frac{{ - 1}}{2}\vec u - \frac{3}{2}\vec v\) D. \(\overrightarrow {AM} {\rm{\;}} = \frac{1}{2}\vec u - \frac{3}{2}\vec v\) Câu 28: Cho hình bình hành ABCD có \(AB = 8cm\), \(AD = 12cm\) , góc \(\angle ABC\) nhọn và diện tích tam giác ABC bằng \(27{\mkern 1mu} c{m^2}\) Khi đó \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right)\) bằng A. \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {\rm{\;}} - \frac{{5\sqrt 7 }}{{16}}\) B. \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{5\sqrt 7 }}{{16}}\) C. \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{2\sqrt 7 }}{{16}}\) D. \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {\rm{\;}} - \frac{{2\sqrt 7 }}{{16}}\) Câu 29: Cho tam giác ABC đều, cạnh bằng \(a\), điểm \(M\) thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} {\rm{\;}} = \frac{{{a^2}}}{4}\). Bán kính đường tròn đó là A. \(R = a\) B. \(R = \frac{a}{4}\) C. \(R = \frac{a}{2}\) D. \(R = \frac{{3a}}{2}\) Câu 30: Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} a \ne 0,\) biết hàm số đạt giá trị lớn nhất trên \(\mathbb{R}\) bằng 4 khi \(x = {\rm{\;}} - 1\) và tổng bình phương các nghiệm của phương trình \(y = 0\) bằng 10. Hàm số đã cho là hàm số nào sau đây? A. \(y = {x^2} + 2x - 3\). B. \(y = {\rm{\;}} - 2{x^2} - 4x + 2\). C. \(y = {\rm{\;}} - {x^2} - 2x + 1\). D. \(y = {\rm{\;}} - {x^2} - 2x + 3\). Phần II: Tự luận (4 điểm) Câu 1: Khi quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt độ cao nào đó rồi rơi xuống đất. Biết rằng quỹ đạo của quả là một cung parabol trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oth, trong đó \(t\) là thời gian kể từ khi quả bóng được đá lên; \(h\) là độ cao của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá lên từ độ cao 1,2m. Sau đó 1 giây, nó đạt độ cao 8,5m và 2 giây sau khi đá lên, nó ở độ cao 6m. Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị độ cao \(h\) theo thời gian \(t\) và có phần đồ thị trùng với quỹ đạo của quả bóng trong tình huống trên. Câu 2: Cho hình bình hành ABCD và hai điểm \(E,{\mkern 1mu} F\) được xác định bởi các hệ thức sau: \(\;2\overrightarrow {CE} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {EB} {\rm{ \;}} = \vec 0{\mkern 1mu} \), \({\mkern 1mu} 3{\mkern 1mu} \overrightarrow {DF} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BD} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \vec 0.\) a) Chứng minh A, E, F thẳng hàng. b) M là điểm thỏa mãn \(2\;\overrightarrow {AM} {\rm{ \;}} = 3\;\overrightarrow {AF} \). Chứng minh \(M\) là trung điểm CD Câu 3: Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) với a, b, c là các hệ số, \(\left( {a > 0} \right)\). Biết rằng \(f(x)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2; + \infty } \right)\), hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{{6{a^2}}}{{5{a^2} + 2ab + {b^2}}}\). ----- HẾT ----- Giải đề 3 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT I. Phần trắc nghiệm
Câu 1 (NB): Phương pháp: Quan sát đồ thị, xác định khoảng đồng biến là khoảng ứng với đồ thị đi lên, khoảng nghịch biến là khoảng ứng với đồ thị đi xuống. Cách giải: Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) nên các đáp án A, B, C đúng. Chọn D. Câu 2 (NB): Phương pháp: Ta có: \(\frac{A}{B}\) xác định khi và chỉ khi \(B \ne 0\). Cách giải: Hàm số \(y = \frac{{9x - 1}}{{x + 6}}\) xác định khi và chỉ khi \(x + 6 \ne 0\). Chọn D. Câu 3 (NB): Phương pháp: Đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có trục đối xứng \(x = {\rm{ \;}} - \frac{b}{{2a}}\). Cách giải: Hàm số \(y = 3{x^2} + 4x - 1\) có các hệ số a = 3, b = 4, c = – 1. Vậy đồ thị hàm số có trục đối xứng \(x = {\rm{ \;}} - \frac{b}{{2a}} = {\rm{ \;}} - \frac{4}{{2.3}} = {\rm{ \;}} - \frac{2}{3}\). Chọn C. Câu 4 (NB): Phương pháp: Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {a > 0} \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {\frac{{ - b}}{{2a}}; + \infty } \right)\). Cách giải: Hàm số \(y = 2{x^2} + 16x - 25\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 4; + \infty } \right)\). Chọn D. Câu 5 (NB): Phương pháp: Sử dụng định nghĩa hai vecto bằng nhau. Cách giải: \(\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {CD} {\rm{ \;}} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB//CD}\\{AB = CD}\end{array}} \right.\) Mà \(\overrightarrow {AB} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {CD} \) cùng hướng Nên có duy nhất một điểm D để \(\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {CD} .\) Chọn A. Câu 6 (NB): Phương pháp: ABCDEF là lục giác đều nên DE, AB, CO song song với nhau. Sử dụng định nghĩa hai vecto cùng phương. Cách giải:
Các vectơ khác vectơ không, cùng phương với \(\overrightarrow {OC} \) có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là: \(\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {BA} ,\;\overrightarrow {DE} ,\;\overrightarrow {ED} ,\;\overrightarrow {FC} ,\;\overrightarrow {CF} \). Chọn B. Câu 7 (NB): Phương pháp: Quy tắc cộng, trừ vectơ cơ bản. Cách giải: \(\overrightarrow {NM} {\rm{\;}} + \overrightarrow {PM} {\rm{\;}} = \overrightarrow {NP} \) là đẳng thức sai. Chọn D. Câu 8 (NB): Phương pháp: Áp dụng tính chất của phép nhân vecto với một số. Cách giải: Ta có: \(\overrightarrow {MN} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - 3\overrightarrow {MP} \) \( \Rightarrow \overrightarrow {MN} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {MP} \) là hai vecto ngược chiều hay \(M\) nằm giữa \(N,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} P\) và \(MN = 3MP\) Trong các đáp án, chỉ có đáp án B đúng. Chọn B. Câu 9 (NB): Phương pháp: \(\vec a.\vec b{\rm{\;}} = \left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|.\cos \left( {\vec a,\vec b} \right)\) Cách giải: Ta có: \(\vec a\vec b = \left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|.\cos \left( {\vec a;\vec b} \right) = 2.3.\cos {120^0} = {\rm{\;}} - 3\). Chọn A. Câu 10 (TH): Phương pháp: Tính giá trị hàm số tại 1 điểm. Cách giải: \(\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( 2 \right) = \frac{{2\sqrt {2 + 2} {\rm{ \;}} - 3}}{{2 - 1}} = 1}\\{f\left( { - 2} \right) = {{\left( { - 2} \right)}^2} + 1 = 5}\end{array}\) Vậy \(P = f\left( 2 \right) + f\left( { - 2} \right) = 1 + 5 = 6\). Chọn C. Câu 11 (TH): Phương pháp: Dựa vào BBT nhận xét đỉnh của đồ thị hàm số và tọa độ đỉnh của đồ thị hàm số. Cách giải: Đồ thị hàm số có bề lõm hướng lên nên a > 0 => Loại đáp án D. Đồ thị hàm số có đỉnh I(1;2) nên loại A và B. Chọn C. Câu 12 (TH): Phương pháp: Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số. Cách giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(d\): \(3{x^2} + 10x + 3 = x + 3\) \( \Leftrightarrow 3{x^2} + 9x = 0\) \( \Leftrightarrow 3x\left( {x + 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x + 3 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = {\rm{\;}} - 3}\end{array}} \right.\) Chọn D. Câu 13 (TH): Phương pháp: Hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\) với \(a < 0\) đạt GTLN tại \(x = {\rm{\;}} - \frac{b}{{2a}}\). Cách giải: Ta có \(h\left( t \right) = 3 + 10t - 2{t^2}\) có đồ thị là parabol có bề lõm hướng xuống, đạt GTLN tại \(t = \frac{{ - 10}}{{2.\left( { - 2} \right)}} = \frac{5}{2}\). Vậy \(\max h\left( t \right) = h\left( {\frac{5}{2}} \right) = \frac{{31}}{2}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( m \right)\). Chọn A. Câu 14 (TH): Phương pháp: Xét hai trường hợp: \(a = 0\) và \(a \ne 0\). Trong trường hợp \(a \ne 0\), \(f\left( x \right)\) là tam thức bậc hai, tìm \(m\) để \(f\left( x \right) < 0\)với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Cách giải: TH1. \(m = 0\). Khi đó: \(f\left( x \right) = {\rm{ \;}} - 2x - 1 < 0\)\( \Leftrightarrow x > - \frac{1}{2}\). Suy ra \(m = 0\) không thỏa yêu cầu bài toán. TH2. \(m \ne 0\) \(f\left( x \right) < 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 0}\\{\Delta ' < 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 0}\\{1 + m < 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m < {\rm{ \;}} - 1\) (thoả mãn điều kiện). Chọn A. Câu 15 (TH): Phương pháp: Tìm các nghiệm của biểu thức \({x^2} - 8x + 7\), lập bảng xét dấu và kết luận. Áp dụng định nghĩa: Tập hợp \(A\) là tập hợp con của tập hợp \(B\) nếu tất cả các phần tử của \(A\) đều nằm trong \(B\). Cách giải: Giải: \(f\left( x \right) = {x^2} - 8x + 7 = 0{\mkern 1mu} \)\( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 7} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = 7}\end{array}} \right.\) Bảng xét dấu: Tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ;1} \right] \cup {\mkern 1mu} \left[ {7; + \infty } \right)\). Vì \(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{6 \in \left[ {6;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} + \infty } \right)}\\{6 \notin S}\end{array}} \right\} \Rightarrow \)\(\left[ {6; + \infty } \right)\) là tập có chứa phần tử không phải là nghiệm của bất phương trình. Chọn D. Câu 16 (TH): Phương pháp: Giải phương trình \(\sqrt {f\left( x \right)} {\rm{\;}} = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{g\left( x \right) \ge 0}\\{f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right)}\end{array}} \right.\) Cách giải: \(\sqrt {x + 7} = x + 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 > 0\\x + 7 = {\left( {x + 1} \right)^2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\x + 7 = {x^2} + 2x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\{x^2} + x - 6 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\\left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\) Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = 2.\) Chọn B. Câu 17 (TH): Phương pháp: Tam giác ABD là tam giác đều cạnh a. Tính độ dài OA. Cách giải:
Ta có tam giác ABD là tam giác đều cạnh \(a\) nên \(\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = OA = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Chọn A. Câu 18 (TH): Phương pháp: Tìm các vectơ hiệu \(\overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {MC} \), \(\overrightarrow {BM} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {BA} \). Suy ra hai đoạn thẳng bằng nhau và xác định vị trí M. Cách giải: Ta có \(\left| {\overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {BM} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {BA} } \right| \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AM} } \right| \Rightarrow AM = BC\) Mà \(A,\;B,\;C\) cố định \( \Rightarrow \) Tập hợp điểm \(M\) là đường tròn tâm \(A\), bán kính BC. Chọn C. Câu 19 (TH): Phương pháp: Sử dụng các đẳng thức vectơ liên quan đến trung điểm: - Nếu I là trung điểm của AB thì \(\overrightarrow {IA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {IB} {\rm{\;}} = \vec 0\). - Với mọi điểm M, I là trung điểm của AB thì \(\overrightarrow {MA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MB} {\rm{\;}} = 2\overrightarrow {MI} \). Cách giải:
Vì I là trung điểm của AM nên \(\overrightarrow {IA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {IM} {\rm{\;}} = \vec 0\). Mà M là trung điểm của BC nên \(\overrightarrow {IB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {IC} {\rm{\;}} = 2\overrightarrow {IM} \). Do đó \(\overrightarrow {IB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {IC} {\rm{\;}} = - 2\overrightarrow {IA} \) hay \(2\overrightarrow {IA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {IB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {IC} {\rm{\;}} = \vec 0\). Chọn C. Câu 20 (TH): Phương pháp: Áp dụng định nghĩa tích của một vecto với một số. Cách giải:
Ta có: \(AM = \frac{1}{5}AB \Rightarrow \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{5}\) Theo đề bài, ta có: \(\overrightarrow {AM} {\rm{\;}} = k.\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AM} } \right| = \left| k \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \Rightarrow \left| k \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {AM} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = \frac{1}{5}\) Mà \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng nên \(k = \frac{1}{5}\). Chọn B. Câu 21 (TH): Phương pháp: Sử dụng công thức \(\vec a.\vec b{\rm{\;}} = \left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|\cos \left( {\vec a;\vec b} \right)\). Cách giải: Ta có: \(\vec a.\vec b{\rm{\;}} = \left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|\cos \left( {\vec a;\vec b} \right) = {\rm{\;}} - \left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right| \Rightarrow \cos \left( {\vec a;\vec b} \right) = {\rm{\;}} - 1\). Vậy góc \(\alpha \) giữa hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) là \(\alpha {\rm{\;}} = {180^0}\). Chọn D. Câu 22 (VD): Phương pháp: Hàm số \(\frac{1}{{f\left( x \right)}}\) xác định \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ne 0.\) Cách giải: Hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} - 2x + m - 2}}\) xác định trên \(\mathbb{R}\) \(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + m - 2 \ne 0\forall x \in \mathbb{R}}\\{ \Leftrightarrow {{\left( {x - 1} \right)}^2} + m - 3 \ne 0\forall x \in \mathbb{R}}\\{ \Leftrightarrow {{\left( {x - 1} \right)}^2} \ne {\rm{\;}} - \left( {m - 3} \right){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \mathbb{R}}\\{ \Leftrightarrow {\rm{\;}} - \left( {m - 3} \right) < 0}\\{ \Leftrightarrow m - 3 > 0}\\{ \Leftrightarrow m > 3}\end{array}\) Chú ý khi giải: Các em có thể làm theo cách 2: Hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} - 2x + m - 2}}\) xác định trên \(\mathbb{R}\) \(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + m - 2 \ne 0\forall x \in \mathbb{R}}\\{ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + m - 2 = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} vo{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} nghiem}\\{ \Leftrightarrow \Delta ' < 0}\\{ \Leftrightarrow 1 - m + 2 < 0}\\{ \Leftrightarrow m > 3.}\end{array}\) Chọn A. Câu 23 (VD): Phương pháp: Thay tọa độ các điểm A, B, C vào hàm số, lập hệ phương trình và giải tìm a, b, c. Cách giải: Vì A, B, C thuộc đồ thị hàm số nên ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1 = c}\\{ - 1 = a + b + c}\\{1 = a - b + c}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1}\\{b = {\rm{ \;}} - 1}\\{c = {\rm{ \;}} - 1}\end{array}} \right.\). Vậy \(y = {x^2} - x - 1\). Chọn B. Câu 24 (VD): Phương pháp: Hàm số \(y = \sqrt {f\left( x \right)} \) xác định \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0\). Cách giải: Hàm số \(y = \sqrt {5 - 4x - {x^2}} \) xác định khi và chỉ khi \(5 - 4x - {x^2} \ge 0\). Giải \(5 - 4x - {x^2} = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 5} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = {\rm{ \;}} - 5}\end{array}} \right.\). Ta có bảng xét dấu: Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy \(5 - 4x - {x^2} \ge 0\)\( \Leftrightarrow x \in \left[ { - 5;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1} \right]\). Vậy giá trị dương lớn nhất để hàm số \(y = \sqrt {5 - 4x - {x^2}} \) xác định là \(x = 1\). Chọn A. Câu 25 (VD): Phương pháp: - Vẽ hình. - Từ M là trung điểm BC. Xác định tính đúng sai của A và C. - Chứng minh \(IM//AH.\) Suy ra \(\overrightarrow {HA} ,\overrightarrow {IM} \) cùng hướng. Cách giải:
Vì \(MB = MC\) suy ra \(IM \bot BC\) Mà H là trực tâm của tam giác ABC nên \(AH \bot BC\). Suy ra \(IM//AH.\) Từ đó, \(\overrightarrow {HA} ,\overrightarrow {IM} \) cùng hướng. Chọn B. Câu 26 (VD): Phương pháp: Cách 1: Gọi \(O = AC \cap BD\), biểu diễn vectơ \(\vec u\) qua điểm O, và xác định hướng của \(\vec u\). Cách 2: Sử dụng quy tắc hình bình hành, biểu diễn \(\overrightarrow {AC} \), \(\overrightarrow {BD} \), thay vào vectơ \(\vec u\). Cách giải: Cách1:
Gọi \(O = AC \cap BD\). Khi đó: \(\vec u{\rm{ \;}} = \overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {{\rm{BD}}} {\rm{ \;}} = 2\overrightarrow {OC} {\rm{ \;}} + 2\overrightarrow {OD} {\rm{ \;}} = 2\left( {\overrightarrow {OD} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {OC} } \right) = 2\overrightarrow {OI} \) (Với \(I\) là điểm thỏa mãn tứ giác ODIC là hình bình hành như hình vẽ). Khi đó ta có \(\overrightarrow u \) cùng hướng với \(\overrightarrow {AD} \). Cách 2:
Ta có: \(\vec u{\rm{ \;}} = \overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BD} {\rm{ \;}} = \left( {\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AD} } \right) + \left( {\overrightarrow {BA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AD} } \right) = 2\overrightarrow {AD} \). Vậy \(\vec u\) cùng hướng với \(\overrightarrow {AD} \). Chọn B. Câu 27 (VD): Phương pháp: Sử dụng phương pháp phân tích một vecto theo hai vecto không cùng phương. Cách giải: Theo đề bài, ta có hình vẽ: \(\overrightarrow {MB} {\rm{\;}} = 3\overrightarrow {MC} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MB} {\rm{\;}} = 3\left( {\overrightarrow {MB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {BC} } \right) = 3\overrightarrow {MB} {\rm{\;}} + 3\overrightarrow {BC} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MB} {\rm{\;}} = \frac{3}{2}\overrightarrow {CB} \) \( \Rightarrow \overrightarrow {AM} {\rm{\;}} = \overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {BM} {\rm{\;}} = \overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{3}{2}\overrightarrow {BC} \) \( \Rightarrow \overrightarrow {AM} {\rm{\;}} = \overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{3}{2}\left( {\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AC} } \right)\)\({\mkern 1mu} = \overrightarrow {AB} {\rm{\;}} - \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{3}{2}\overrightarrow {AC} \)\( = \frac{{ - 1}}{2}\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{3}{2}\overrightarrow {AC} \) Mà \(\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} = \vec u,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {AC} {\rm{\;}} = \vec v\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AM} {\rm{\;}} = \frac{{ - 1}}{2}\vec u + \frac{3}{2}\vec v\). Chọn B. Câu 28 (VD): Phương pháp: Áp dụng công thức diện tích tam giác \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC.\sin B\)\( \Rightarrow \cos B\) Và tính \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right)\)\( = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right)\)\( = \cos BAD\) Cách giải:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC.\sin ABC = \frac{1}{2}.8.12.\sin ABC = 27}\\{ \Rightarrow \sin ABC = \frac{9}{{16}}}\\{ \Rightarrow \cos ABC = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{9}{{16}}} \right)}^2}} }\end{array}\) \( \Rightarrow \cos ABC = \frac{{5\sqrt 7 }}{{16}}\) ( vì \(\angle ABC\)nhọn ) \(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right)}\\{ = \cos BAD{\mkern 1mu} = \cos \left( {{{180}^^\circ }{\rm{\;}} - \angle ABC} \right)}\\{ = {\rm{\;}} - \cos ABC = {\rm{\;}} - \frac{{5\sqrt 7 }}{{16}}}\end{array}\) Chọn A. Câu 29 (VDC): Phương pháp: Áp dụng: Trong tam giác đều, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác cũng là trọng tâm của tam giác đó. Cách giải: Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác ABC, ta có: \(\overrightarrow {GA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {GB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {GC} {\rm{\;}} = \vec 0\), \(GA = GB = GC = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) và \(\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GB} {\rm{\;}} = \overrightarrow {GB} .\overrightarrow {GC} {\rm{\;}} = \overrightarrow {GC} .\overrightarrow {GA} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - \frac{{{a^2}}}{6}\) Vì \(\Delta ABC\) đều nên \(G\) cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có: \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} {\rm{\;}} = \)\(\left( {\overrightarrow {MG} {\rm{\;}} + \overrightarrow {GA} } \right).\left( {\overrightarrow {MG} {\rm{\;}} + \overrightarrow {GB} } \right)\)\( = {\overrightarrow {MG} ^2} + \overrightarrow {MG} .\left( {\overrightarrow {GA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {GB} } \right) + \overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GB} \) \(\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} {\rm{\;}} = \)\(\left( {\overrightarrow {MG} {\rm{\;}} + \overrightarrow {GB} } \right).\left( {\overrightarrow {MG} {\rm{\;}} + \overrightarrow {GC} } \right)\)\( = {\overrightarrow {MG} ^2} + \overrightarrow {MG} .\left( {\overrightarrow {GB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {GC} } \right) + \overrightarrow {GB} .\overrightarrow {GC} \) \(\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} {\rm{\;}} = \)\(\left( {\overrightarrow {MG} {\rm{\;}} + \overrightarrow {GC} } \right).\left( {\overrightarrow {MG} {\rm{\;}} + \overrightarrow {GCA} } \right)\)\( = {\overrightarrow {MG} ^2} + \overrightarrow {MG} .\left( {\overrightarrow {GC} {\rm{\;}} + \overrightarrow {GA} } \right) + \overrightarrow {GC} .\overrightarrow {GA} \) \( \Rightarrow \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} \)\( = 3M{G^2} + 3.\left( { - \frac{{{a^2}}}{6}} \right)\)\( = 3M{G^2} - \frac{{{a^2}}}{2}\) Mà \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} {\rm{\;}} = \frac{{{a^2}}}{4}\) suy ra \(\frac{{{a^2}}}{4} = 3M{G^2} - \frac{{{a^2}}}{2}\)\( \Rightarrow MG = \frac{a}{2}\). Suy ra, điểm \(M\) nằm trên đường tròn tâm \(G\) bán kính \(\frac{a}{2}\). Chọn C. Câu 30 (VDC): Phương pháp: Vì hàm số đạt giá trị lớn nhất trên \(\mathbb{R}\) bằng 4 khi \(x = {\rm{\;}} - 1\) nên ta có đỉnh \(I\left( { - 1;4} \right)\) được hệ 2 phương trình 3 ẩn \(a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c.\) Sử dụng giả thiết tổng bình phương các nghiệm của phương trình \(y = 0\) bằng 10 tức \(x_1^2 + x_2^2 = 10\). Áp dụng định lý Vi-et được phương trình thứ 3 ẩn \(a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c.\) Ta giải hệ 3 phương trình 3 ẩn được \(a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c\) cần tìm. Cách giải: Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} a \ne 0\) là hàm số bậc 2 nên có đỉnh \(I\left( {\frac{{ - b}}{{2a}};\frac{{ - \Delta }}{{4a}}} \right)\) Vì hàm số đạt giá trị lớn nhất trên \(\mathbb{R}\) bằng 4 khi \(x = {\rm{\;}} - 1\) nên đồ thị hàm số có đỉnh \(I\left( { - 1;4} \right)\) và \(a < 0.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{ - b}}{{2a}} = {\rm{\;}} - 1}\\{f\left( { - 1} \right) = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 2a}\\{a - b + c = 4}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 2a}\\{a - 2a + c = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 2a}\\{c = 4 + a}\end{array}} \right.\) Xét phương trình: \(y = 0\) \( \Leftrightarrow a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm \({x_1};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_2}\) \( \Leftrightarrow \Delta {\rm{\;}} > 0 \Leftrightarrow {b^2} - 4ac > 0.\) Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = {\rm{\;}} - \frac{b}{a}}\\{{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}}\end{array}} \right..\) Theo đề bài ta có: \(x_1^2 + x_2^2 = 10 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10\) \(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow {{\left( { - \frac{b}{a}} \right)}^2} - \frac{{2c}}{a} = 10}\\{ \Leftrightarrow {{\left( { - \frac{{2a}}{a}} \right)}^2} - \frac{{2c}}{a} = 10}\\{ \Leftrightarrow 4a - 2c = 10a}\\{ \Leftrightarrow 6a + 2c = 0}\\{ \Leftrightarrow 6a + 2\left( {4 + a} \right) = 0}\\{ \Leftrightarrow 6a + 2a + 8 = 0}\\{ \Leftrightarrow a = {\rm{\;}} - 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {tm} \right)}\\{ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = {\rm{\;}} - 2}\\{c = 3}\end{array}} \right..}\\{ \Rightarrow y = {\rm{\;}} - {x^2} - 2x + 3.}\end{array}\) Chọn D. Phần II: Tự luận Câu 1 (VD): Phương pháp: Chọn hệ trục toạ độ. Giả sửa (P) có phương trình \(y = a{t^2} + bt + c,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {a \ne 0} \right).\) Các điểm A, B, C tương ứng tại các thời điểm t là 0; 1; 2 thuộc (P) nên ta có các phương trình theo ẩn a, b, c. Giải hệ phương trình ẩn a, b, c ta tìm được Parabol. Cách giải: Tại \(t = 0 \Rightarrow h = 1,2;\)\(t = 1 \Rightarrow h = 8,5;\)\(t = 2 \Rightarrow h = 6.\)
Chọn hệ trục Oth như hình, (P) có phương trình \(y = a{t^2} + bt + c\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\). Giả sử tại thời điểm t'thì quả bóng đạt độ cao lớn nhất h'. Theo đề bài ta có: tại \(t = 0 \Rightarrow h = 1,2\) nên \(A\left( {0;1,2} \right) \in (P).\) tại \(t = 1 \Rightarrow h = 8,5\) nên \(B\left( {1;8,5} \right) \in (P).\) tại \(t = 2 \Rightarrow h = 6\) nên \(B\left( {2;6} \right) \in (P).\) Thay toạ độ 3 điểm A, B, C vào (P) ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 1,2}\\{a + b + c = 8,5}\\{4a + 2b + c = 6}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 1,2}\\{a = {\rm{ \;}} - 4,9}\\{b = 12,2}\end{array}} \right.\) Vậy hàm số bậc hai cần tìm có dạng: \(y = {\rm{ \;}} - 4,9{t^2} + 12,2t + 1,2\) Câu 2 (TH): Phương pháp: a) Từ hệ thức đề bài cho, xác định vị trí điểm E, F. Tách biểu thức \(\overrightarrow {AF} {\rm{\;}} = \overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {BF} \) rồi biến đổi đưa về dạng \(\overrightarrow {AE} {\rm{\;}} = k\overrightarrow {AF} \). Từ đó suy ra A, E, F thẳng hàng. b) Chứng minh M là trung điểm AE. Chứng minh ACED là hình hình hành. Suy ra M là trung điểm CD. Cách giải:
a) Ta có \(\;2\overrightarrow {CE} {\rm{\;}} + \overrightarrow {EB} {\rm{\;}} = \vec 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \Leftrightarrow 2\overrightarrow {CE} {\rm{\;}} + \overrightarrow {EC} {\rm{\;}} + \overrightarrow {CB} {\rm{\;}} = \vec 0{\rm{\;}} \Leftrightarrow \overrightarrow {CE} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - \overrightarrow {CB} \), suy ra \(C\) là trung điểm EB. \(3{\mkern 1mu} \overrightarrow {DF} {\rm{\;}} + \overrightarrow {BD} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \vec 0{\rm{\;}} \Leftrightarrow \overrightarrow {DF} {\rm{\;}} = \frac{1}{3}\overrightarrow {DB} {\rm{\;}} \Rightarrow F \in BC\) sao cho \(DF = \frac{1}{3}DB\). \(\overrightarrow {AF} {\rm{\;}} = \overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {BF} {\rm{\;}} = \overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BD} {\rm{\;}} = \overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AD} {\rm{\;}} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} \). Mặt khác \(\overrightarrow {AE} {\rm{\;}} = \overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {BE} {\rm{\;}} = \overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + 2\overrightarrow {BC} {\rm{\;}} = \overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + 2\overrightarrow {AD} {\rm{\;}} = 3\overrightarrow {AF} \) \( \Rightarrow \overrightarrow {AE} {\rm{\;}} = 3\overrightarrow {AF} \) Vậy \(A,E,F\) thẳng hàng. b) \(2\;\overrightarrow {AM} = 3\;\overrightarrow {AF} \Rightarrow 2\;\overrightarrow {AM} = \;\overrightarrow {AE} \Rightarrow \)\(M\) là trung điểm \(AE\). Mặt khác \(ACED\) là hình bình hành (vì \(AD||CE,\;AD = CE\)) nên \(M\) cũng là trung điểm của \(CD\). Câu 3 (VDC): Phương pháp: Từ \(a > 0\) và \(f(x)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2; + \infty } \right)\) xác định bất đẳng thức của \(\frac{b}{a}\). Chia cả tử và mẫu của P cho \({a^2}\) đưa về ẩn \(\frac{b}{a}\) và tìm GTLN. Cách giải: Do \(a > 0\) nên \(f(x)\) đồng biến trên \(\left( { - \frac{b}{{2a}};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} + \infty } \right)\). Từ đây ta có: \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( { - 2; + \infty } \right)\) \( \Leftrightarrow \) \(\frac{{ - b}}{{2a}} \le {\rm{\;}} - 2 \Leftrightarrow \frac{b}{a} \ge 4\). Ta có \(P = \frac{{6{a^2}}}{{5{a^2} + 2ab + {b^2}}} = \frac{6}{{{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2} + 2\left( {\frac{b}{a}} \right) + 5}} = \frac{6}{{{t^2} + 2t + 5}}\), với \(t = \frac{b}{a} \ge 4\). Có \({t^2} + 2t + 5 = {\left( {t + 1} \right)^2} + 4 \ge 29\), \(\forall t \ge 4\). Dấu bằng xảy ra khi \(t = 4\). Do đó \(maxP = \frac{6}{{29}}\), đạt được khi \(\frac{b}{a} = 4\). Đề 4 I. Phần trắc nghiệm (5 điểm – 25 câu) Câu 1: Cho mệnh đề chứa biến với\(x\) là số thực. Mệnh đề nào sau đây là đúng: A. \(P\left( 3 \right)\). B. \(P\left( 4 \right)\). C. \(P\left( 1 \right)\). D. \(P\left( 5 \right)\). Câu 2: Cho mệnh đề “\(\forall x \in R,{x^2} - x + 7 < 0\)”. Hỏi mệnh đề nào là mệnh đề phủ định của mệnh đề trên? A. \(\exists x \in R,{x^2} - x + 7 \ge 0\). B. \(\forall x \in R,{x^2} - x + 7 > 0\). C. \(\forall x \in R,{x^2} - x + 7 < 0\) . D. \(\cancel{\exists }x \in R,{x^2} - x + 7 < 0\). Câu 3: Cho hai tập hợp \(A = \left\{ {1;2;3} \right\}\) và \(B = \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}.\) Có tất cả bao nhiêu tập \(X\) thỏa \(A \subset X \subset B?\) A. \(4.\) B. \(5.\) C. \(6.\) D. \(8.\) Câu 4: Hãy liệt kê các phần tử của tập \(X = \left\{ {x \in \mathbb{Q}\left| {\left( {{x^2} - x - 6} \right)\left( {{x^2} - 5} \right) = 0} \right.} \right\}.\) A. \(X = \left\{ {\sqrt 5 ;3} \right\}.\) B. \(X = \left\{ { - \sqrt 5 ; - 2;\sqrt 5 ;3} \right\}.\) C. \(X = \left\{ { - 2;3} \right\}.\) D. \(X = \left\{ { - \sqrt 5 ;\sqrt 5 } \right\}.\) Câu 5: Cho hai tập hợp \(A = \left\{ {0;1;2;3;4} \right\},\;B = \left\{ {2;3;4;5;6} \right\}\). Tìm \(X = \left( {A\backslash B} \right) \cap \left( {B\backslash A} \right).\) A. \(X = \left\{ {0;1;5;6} \right\}.\) B. \(X = \left\{ {1;2} \right\}.\) C. \(X = \left\{ 5 \right\}.\) D. \(X = \emptyset .\) Câu 6: Biểu diễn trên trục số các tập hợp \(\left[ { - 7,3} \right]\backslash \left[ { - 4,0} \right]\) là hình nào dưới đây. A. B. C. D. Câu 7: Miền nghiệm của bất phương trình: \(3x + 2\left( {y + 3} \right) > 4\left( {x + 1} \right) - y + 3\) là nửa mặt phẳng chứa điểm: A. \(\left( {3;0} \right).\) B. \(\left( {3;1} \right).\) C. \(\left( {2;1} \right).\) D. \(\left( {0;0} \right).\) Câu 8: Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 2 \ge 0\\2x + y + 1 \le 0\end{array} \right.\). Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình? A. \(M\left( {0;1} \right).\) B. \(N\left( {-1;1} \right).\) C. \(P\left( {1;3} \right).\) D. \(Q\left( {-1;0} \right).\) Câu 9: Tìm tập xác định \({\rm{D}}\) của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} + 3x - 4}}.\) A. \({\rm{D}} = \left\{ {1; - 4} \right\}.\) B. \({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {1; - 4} \right\}.\) C. \({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {1;4} \right\}.\) D. \({\rm{D}} = \mathbb{R}.\) Câu 10: Tìm tập xác định \({\rm{D}}\) của hàm số \(y = \frac{{\sqrt {6 - 3x} + \sqrt {x + 2} }}{{5x}}.\) A. \({\rm{D}} = \left[ { - 2;2} \right].\) B. \({\rm{D}} = \left( { - 2;2} \right)\backslash \left\{ 0 \right\}.\) C. \({\rm{D}} = \left[ { - 2;2} \right]\backslash \left\{ 0 \right\}.\) D. \({\rm{D}} = \mathbb{R}.\) Câu 11: Cho hàm số \(f\left( x \right) = 4 - 3x\). Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;\frac{4}{3}} \right)\). B. Hàm số nghịch biến trên \(\left( {\frac{4}{3}; + \infty } \right)\). C. Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\). D. Hàm số đồng biến trên \(\left( {\frac{3}{4}; + \infty } \right)\). Câu 12: Cho hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x - 2} - 2}}{{x - 6}}\). Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số: A. \((6;0)\). B. \((2; - 0,5)\). C. \((2;0,5)\). D. \((0;6)\). Câu 13: Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = x - 2\sqrt {x - 3} \) là: A. – 2 B. – 1 C. 0 D. 2 Câu 14: Tọa độ đỉnh của parabol \(y = - 2{x^2} - 4x + 6\) là A. \(I\left( { - 1;8} \right)\). B. \(I\left( {1;0} \right)\). C. \(I\left( {2; - 10} \right)\). D. \(I\left( { - 1;6} \right)\). Câu 15: Tính giá trị biểu thức \(P = \sin {30^ \circ }\cos {60^ \circ } + \sin {60^ \circ }\cos {30^ \circ }.\) A. \(P = 1.\) B. \(P = 0.\) C. \(P = \sqrt 3 .\) D. \(P = - \sqrt 3 .\) Câu 16: Tam giác \(ABC\) có \(\widehat B = 60^\circ ,\;\widehat C = 45^\circ \) và \(AB = 5\). Tính độ dài cạnh \(AC\). A. \(AC = \frac{{5\sqrt 6 }}{2}.\) B. \(AC = 5\sqrt 3 .\) C. \(AC = 5\sqrt 2 .\) D. \(AC = 10.\) Câu 17: Tam giác \(ABC\) có \(AB = 4,\;BC = 6,\;AC = 2\sqrt 7 \). Điểm \(M\) thuộc đoạn \(BC\) sao cho \(MC = 2MB\). Tính độ dài cạnh \(AM\). A. \(AM = 4\sqrt 2 .\) B. \(AM = 3.\) C. \(AM = 2\sqrt 3 .\) D. \(AM = 3\sqrt 2 .\) Câu 18: Tam giác ABC có \(\angle A = {45^0},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c = 6,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \angle B = {75^0}\). Độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng: A. \(8\sqrt 3 \) B. \(2\sqrt 3 \) C. \(6\sqrt 3 \) D. \(4\sqrt 3 \) Câu 19: Cho tam giác ABC có trung tuyến BM và trọng tâm \(G\). Đặt \(\overrightarrow {BC} {\rm{\;}} = \vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {BA} {\rm{\;}} = b\). Hãy phân tích vectơ \(\overrightarrow {BG} \) theo \(\vec a\) và \(\vec b\). A. \(\overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{1}{3}\vec a + \frac{1}{3}\vec b\) B. \(\overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{2}{3}\vec a + \frac{2}{3}\vec b\) C. \(\overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{1}{3}\vec a + \frac{2}{3}\vec b\) D. \(\overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{2}{3}\vec a + \frac{1}{3}\vec b\) Câu 20: Cho tam giác \(ABC\) với \(M,\;N,\;P\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\;CA,\;AB\). Khẳng định nào sau đây sai? A. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 .\) B. \(\overrightarrow {AP} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {CN} = \overrightarrow 0 .\) C. \(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {PM} = \overrightarrow 0 .\) D. \(\overrightarrow {PB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MP} .\) Câu 21: Gọi \(O\) là tâm hình vuông \(ABCD\). Tính \(\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC} \). A. \(\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {BC} .\) B. \(\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {DA} .\) C. \(\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OA} .\) D. \(\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {AB} .\) Câu 22: Tam giác \(ABC\) có \(AB = AC = a\) và \(\widehat {BAC} = 120^\circ \). Tính \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right|.\) A. \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = a\sqrt 3 .\) B. \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = a.\) C. \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \frac{a}{2}.\) D. \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = 2a.\) Câu 23: Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a.\) Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} .\) A. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = {a^2}.\) B. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = {a^2}\sqrt 2 .\) C. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}{a^2}.\) D. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}{a^2}.\) Câu 24: Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a.\) Tính \(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {DA} } \right|.\) A. \(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {DA} } \right| = 0.\) B. \(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {DA} } \right| = a.\) C. \(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {DA} } \right| = a\sqrt 2 .\) D. \(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {DA} } \right| = 2a.\) II. Tự luận (4 điểm) Câu 1: Trong lớp 10C có 40 học sinh trong đó có 20 em thích môn Toán, 18 em thích môn Anh và 12 em không thích môn nào. Tính số học sinh thích cả hai môn Toán và Anh. Câu 2: a. Xác định parabol \(\left( P \right):y = 2{x^2} + bx + c,\) biết rằng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {0;4} \right)\) và có trục đối xứng \(x = 1.\) b. Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên. Câu 3: Để đo chiều cao ngọn tháp, người ta đánh dấu hai điểm A, B trên mặt đất sao cho ba điểm A, B và chân tháp thẳng hàng; AB = 100 m. Tại A và B người ta xác định được góc nhìn tháp (như hình vẽ) lần lượt là \({63^ \circ }\) và \({48^ \circ }\). Tính chiều cao của tháp. Câu 4. Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là điểm trên cạnh AC sao cho NC=2NA. Gọi K là trung điểm của MN. a) Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {AK} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} \) b) Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {KD} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \). ----- HẾT ----- Giải đề 4 HƯỚNG DẪN CHI TIẾT I. Phần trắc nghiệm (6 điểm – 30 câu)
Câu 1 (TH): Cách giải: \(P\left( 3 \right):\) là mệnh đề sai. \(P\left( 4 \right):\) là mệnh đề sai. \(P\left( 1 \right):\) là mệnh đề sai. \(P\left( 5 \right):\) là mệnh đề đúng. Chọn D. Câu 2 (TH): Phương pháp: Phủ định của \(\forall \) là \(\exists \), phủ định của < là \( \ge \) Cách giải: Phủ định của \(\forall x \in R,{x^2} - x + 7 < 0\) là \(\exists x \in R,{x^2} - x + 7 \ge 0\). Chọn A. Câu 3 (NB): Phương pháp: \(X \subset Y \Leftrightarrow \forall x \in X \Rightarrow x \in Y\) Cách giải: Ta có \(A \subset X\) nên \(X\) có ít nhất \(3\) phần tử \(\left\{ {1;2;3} \right\}.\) Ta có \(X \subset B\) nên \(X\) phải \(X\) có nhiều nhất \(5\) phần tử và các phần tử thuộc \(X\) cũng thuộc \(B.\) Do đó các tập \(X\) thỏa mãn là có \(4\) tập thỏa mãn. Chọn A. Câu 4 (TH): Phương pháp: Giải phương trình \(\left( {{x^2} - x - 6} \right)\left( {{x^2} - 5} \right) = 0\) và lấy các nghiệm hữu tỉ. Cách giải: Ta có \(\left( {{x^2} - x - 6} \right)\left( {{x^2} - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - x - 6 = 0\\{x^2} - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 \in \mathbb{Q}\\x = - 2 \in \mathbb{Q}\\x = \sqrt 5 \notin \mathbb{Q}\\x = - \sqrt 5 \notin \mathbb{Q}\end{array} \right.\). Do đó \(X = \left\{ { - 2;3} \right\}\). Chọn C. Câu 5 (TH): Phương pháp: Áp dụng định nghĩa tìm các phép toán trên tập hợp. Cách giải: Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}A\backslash B = \left\{ {0;1} \right\}\\B\backslash A = \left\{ {5;6} \right\}\end{array} \right. \Rightarrow \left( {A\backslash B} \right) \cap \left( {B\backslash A} \right) = \emptyset \). Chọn D. Câu 6 (TH): - Phương pháp: Biểu diễn các tập hợp trên trục số và áp dụng định nghĩa các phép toán trên tập hợp. Cách giải: \([ - 7;3]{\rm{\backslash }}[ - 4;0] = [ - 7; - 4) \cup (0;3]\) Chọn B. Câu 7 (NB): Phương pháp: Thay tọa độ các điểm vào bất phương trình và kiểm tra tính đúng sai. Cách giải: Ta có \(3x + 2\left( {y + 3} \right) > 4\left( {x + 1} \right) - y + 3\, \Leftrightarrow \, - x + 3y - 1 > 0\). Vì \( - 2 + 3.1 - 1 > 0\) là mệnh đề đúng nên miền nghiệm của bất phương trình trên chứa điểm có tọa độ \(B\). Chọn C. Câu 8 (TH): Phương pháp: Thay tọa độ các điểm vào bất phương trình và kiểm tra tính đúng sai Cách giải: Ta thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình. Với \(M\left( {0;1} \right) \Rightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}0 + 3.1 - 2 \ge 0\\2.0 + 1 + 1 \le 0\end{array} \right.\). Bất phương trình thứ hai sai nên A sai. Với \(N\left( {--1;1} \right) \Rightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l} - 1 + 3.1 - 2 \ge 0\\2.\left( { - 1} \right) + 1 + 1 \le 0\end{array} \right.\): Đúng. Chọn B. Câu 9 (NB): Phương pháp: Hàm phân thức xác định khi mẫu thức khác 0. Cách giải: Hàm số xác định khi và chỉ khi \({x^2} + 3x - 4 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne - 4\end{array} \right.\) Vậy TXĐ của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {1; - 4} \right\}\). Chọn B. Câu 10 (TH): Phương pháp: Căn bậc 2 xác định khi biểu thức trong căn không âm. Cách giải: ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}6 - 3x \ge 0\\x + 2 \ge 0\\x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\x \ge - 2\\x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 \le x \le 2\\x \ne 0\end{array} \right.\). Vậy TXĐ của hàm số là \({\rm{D}} = \left[ { - 2;2} \right]{\rm{\backslash }}\{ 0\} .\). Chọn C. Câu 11 (TH): Cách giải: TXĐ: \({\rm{D}} = \mathbb{R}\). Với mọi \({x_1},{x_2} \in \mathbb{R}\) và \({x_1} < {x_2}\), ta có \(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \left( {4 - 3{x_1}} \right) - \left( {4 - 3{x_2}} \right) = - 3\left( {{x_1} - {x_2}} \right) > 0.\) Suy ra \(f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\). Do đó, hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\). Mà \(\left( {\frac{4}{3}; + \infty } \right) \subset \mathbb{R}\) nên hàm số cũng nghịch biến trên \(\left( {\frac{4}{3}; + \infty } \right)\). Chọn B. Câu 12 (TH): Phương pháp: Thay tọa độ các điểm ở các đáp án vào hàm số. Điểm nào thỏa mãn hàm số thì sẽ thuộc đồ thị hàm số. Cách giải: Thay \(x = 2\) vào hàm số ta được: \(y = \frac{{\sqrt {2 - 2} - 2}}{{2 - 6}} = \frac{{ - 2}}{{ - 4}} = 0,5\) nên điểm \((2;0,5)\) thuộc đồ thị hàm số. Chọn C. Câu 13 (VD): Phương pháp: Phân tích biêu thức về dạng có hằng đẳng thức Cách giải: \(D = [3; + \infty )\) \(y = x - 2\sqrt {x - 3} = \left( {x - 3 - 2\sqrt {x - 3} + 1} \right) + 2 = {\left( {\sqrt {x - 3} - 1} \right)^2} + 2 \ge 2\) khi x = 4. Chọn D. Câu 14 (NB): Phương pháp: Cho hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\) \(\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị \(\left( P \right)\), đỉnh của \(\left( P \right)\) là \(I\left( { - \frac{b}{{2a}};\; - \;\frac{\Delta }{{4a}}} \right)\) Cách giải: Tọa độ đỉnh của parabol \(y = - 2{x^2} - 4x + 6\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{ - 4}}{{2.\left( { - 2} \right)}} = - 1\\y = - 2.{\left( { - 1} \right)^2} - 4.\left( { - 1} \right) + 6 = 8\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 1;8} \right)\). Chọn A. Câu 15 (NB): Phương pháp: Dùng bảng các giá trị lượng giác đặc biệt. Cách giải: Tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, ta được \(\sin {30^ \circ } = \cos {60^ \circ } = \frac{1}{2};\sin {60^ \circ } = \cos {30^ \circ } = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\) \( \Rightarrow P = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 1\) Chọn A. Chọn D. Câu 16 (NB): Phương pháp: Dùng định lý cosin \({b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B\) Cách giải: Theo định lí hàm sin, ta có \(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} \Leftrightarrow \frac{5}{{\sin {{45}^ \circ }}} = \frac{{AC}}{{\sin {{60}^ \circ }}} \Rightarrow AC = \frac{{5\sqrt 6 }}{2}\) Chọn A. Câu 17 (TH): Phương pháp: Dùng định lý cosin \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\) Cách giải:
Theo định lí hàm cosin, ta có: \(\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2AB.BC}} = \frac{{{4^2} + {6^2} - {{\left( {2\sqrt 7 } \right)}^2}}}{{2.4.6}} = \frac{1}{2}\) Do \(MC = 2MB \Rightarrow BM = \frac{1}{3}BC = 2\) Theo định lí hàm cosin, ta có \(\begin{array}{l}A{M^2} = A{B^2} + B{M^2} - 2.AB.BM.\cos B\\ = {4^2} + {2^2} - 2.4.2.\frac{1}{2} = 12\\ \Rightarrow AM = 2\sqrt 3 \end{array}\) Chọn C. Câu 18 (TH): Phương pháp: Tính \(\angle C = {180^0} - \left( {\angle A + \angle B} \right)\). Sử dụng định lí sin: \(\frac{c}{{\sin C}} = 2R\). Cách giải: Ta có: \(\angle C = {180^0} - \left( {\angle A + \angle B} \right) = {60^0}\). Áp dụng định lí sin ta có: \(\frac{c}{{\sin C}} = 2R \Rightarrow R = \frac{c}{{2\sin C}} = \frac{6}{{2\sin {{60}^0}}} = 2\sqrt 3 \). Chọn B. Câu 19 (TH): Phương pháp: Áp dụng quy tắc cộng vecto, quy tắc hình bình hành để biểu diễn véctơ. Cách giải:
\(\overrightarrow {BM} {\rm{\;}} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \) \( \Rightarrow \overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BM} {\rm{\;}} = \frac{2}{3} \cdot \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \) Mặt khác, \(\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} = \vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {BC} {\rm{\;}} = \vec b\) nên ta có: \(\overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{1}{3}\vec a + \frac{1}{3}\vec b\) Vậy \(\overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{1}{3}\vec a + \frac{1}{3}\vec b\). Chọn A. Câu 20 (TH): Phương pháp: Dùng quy tắc cộng, trừ hai vecto Cách giải: Xét các đáp án: Đáp án A. Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 .\) Đáp án B. Ta có \(\overrightarrow {AP} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {CN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} \) \( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 .\) Đáp án C. Ta có \(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {PM} = \overrightarrow {MM} = \overrightarrow 0 .\) Đáp án D. Ta có \(\overrightarrow {PB} + \overrightarrow {MC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {PM} = - \overrightarrow {MP} .\) Chọn D. Câu 21 (VD): Phương pháp: Dùng quy tắc cộng, trừ hai vecto Cách giải: Ta có \(\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {DA} \). Chọn B. Câu 22 (VD): Phương pháp: Nếu M là trung điểm của AB thì với mọi điểm O là luôn có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OM} \) Cách giải: Gọi \(M\) là trung điểm \(BC \Rightarrow AM \bot BC.\) Trong tam giác vuông \(AMB\), ta có \(AM = AB.\sin \widehat {ABM} = a.\sin {30^0} = \frac{a}{2}.\)
Ta có \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {AM} } \right| = 2AM = a.\) Chọn B. Câu 23: Phương pháp: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right)\) Cách giải: Ta có \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC} = {45^ \circ }\) nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos {45^ \circ } = a.a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = {a^2}\) Chọn A. Câu 24 (TH): Phương pháp: Cách giải: Ta có \(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {DA} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = a\sqrt 2 .\) Chọn C. II. Phần tự luận (4 điểm) Câu 1 (VD): Phương pháp: Dùng các phép toán trên tập hợp Cách giải: Gọi tập hợp các học sinh thích môn Toán là A. Khi đó n(A)=20 Gọi tập hợp các học sinh thích môn Anh là B. Khi đó n(B)=18 Số học sinh học thích môn Toán hoặc thích môn Anh là \(n\left( {A \cup B} \right)\) là 40 – 12 = 28 học sinh Vậy số học sinh thích môn cả 2 môn Toán, Anh là \(n\left( {A \cap B} \right) = n\left( A \right) + n\left( B \right) - n\left( {A \cup B} \right) = 20 + 18 - 28 = 10\) Vậy có tất cả 10 học sinh vừa thích môn Toán vừa thích môn Anh. Câu 2 (VD): Phương pháp: a) Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\) có trục đối xứng \(x = - \frac{b}{{2a}}\). b) Sự biến thiên * Vẽ đồ thị + Đỉnh I\(\left( { - \frac{b}{{2a}};\frac{{ - \Delta }}{{4a}}} \right)\) + Trục đối xứng \(x = - \frac{b}{{2a}}\) + Giao với các trục (nếu có) + Lấy các điểm thuộc đồ thị (đối xứng nhau qua trục đối xứng). Cách giải: a. Hàm số \(\left( P \right):y = 2{x^2} + bx + c,\) có \(a = 2\) Ta có \(M(0;4) \in (P)\) suy ra \(4 = {2.0^2} + b.0 + c \Leftrightarrow c = 4\) Mà (P) có trục đối xứng \(x = 1\). Do đó \( - \frac{b}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow b = - 2a = - 2.2 = - 4\) Vậy hàm số có dạng \(y = 2{x^2} - 4x + 4\) b. \(y = 2{x^2} - 4x + 4\) Đỉnh S có tọa độ \(x = - \frac{{ - 4}}{{2.2}} = 1\), \(y = {2.1^2} - 4.1 + 4 = 2\) Vì hàm số có a = 2 > 0 nên ta có bảng biến thiên
Vậy hàm số đồng biến trên \((1; + \infty )\), nghịch biến trên \(( - \infty ;1)\). * Đồ thị: Trong mặt phẳng Oxy đồ thị của \(y = 2{x^2} - 4x + 4\)là parabol (P) có: Đỉnh I (1;2) Trục đối xứng là x = 1 Bề lõm quay lên trên Cắt trục tung tại điểm A(0,4) Lấy điểm B(2;4) đối xứng với A qua trục đối xứng.
Câu 3 (TH): Phương pháp: Áp dụng định lí sin. Cách giải: Gọi D là đỉnh tháp, C là điểm chính giữa của chân tháp. Khi đó chiều cao của tháp là CD. Ta có: \(\widehat {CAD} = {63^o},\widehat {CBD} = {48^o} \Rightarrow \widehat {DAB} = {180^o} - \widehat {CAD} = {180^o} - {63^o} = {117^o}\) Xét tam giác DAB ta có: \(AB = 100,\widehat A = {117^o},\widehat B = {48^o}\)\( \Rightarrow \widehat {ADB} = {180^ \circ } - {117^ \circ } - {48^ \circ } = {15^ \circ }\) Áp dụng định lí sin ta được: \(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {ADB}}} = \frac{{DB}}{{\sin \widehat {DAB}}} \Leftrightarrow \frac{{100}}{{\sin {{15}^ \circ }}} = \frac{{DB}}{{\sin {{117}^ \circ }}}\) \( \Rightarrow DB = \sin {117^ \circ }.\frac{{100}}{{\sin {{15}^ \circ }}}\) Lại có: \(\Delta DCB\) vuông tại C, suy ra \(CD = DB.\sin B\) \( \Leftrightarrow CD = \sin {117^ \circ }.\frac{{100}}{{\sin {{15}^ \circ }}}.\sin {48^ \circ } \approx 256\) Vậy tháp đó cao khoảng 256m. Câu 4 (VD): Phương pháp: Nếu M là trung điểm của AB thì với mọi điểm O ta luôn có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OM} \) Cách giải: a) Ta có: \(\overrightarrow {AK} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} )\) (vì \(K\) là trung điểm của \(\left. {MN} \right)\) Mà M là trung điểm AB, suy ra \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \) Lại có: \(NA = \frac{1}{2}NC \Rightarrow AN = \frac{1}{3}AC \Rightarrow \overrightarrow {AN} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \) \( \Rightarrow \overrightarrow {AK} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right)\) \( = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} \) b) Ta có: \(\overrightarrow {KD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {KB} + \overrightarrow {KC} )\) (do D là trung điểm BC) \( = \frac{1}{2}(\overrightarrow {KA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {KA} + \overrightarrow {AC} ) = \overrightarrow {KA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \) \( = - \overrightarrow {AK} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \) \( = - \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \) (đpcm) Đề 5 Phần 1: Trắc nghiệm (25 câu – 5 điểm) Câu 1: (ID: 592114) Câu nào sau đây không phải là mệnh đề? A. Bạn bao nhiêu tuổi? B. Hôm nay là chủ nhật. C. Trái đất hình tròn. D. \(4 \ne 5\) Câu 2: (ID: 592018) Cho hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) khác \(\vec 0\). Xác định góc \(\alpha \) giữa hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) khi \(2\vec a.\vec b{\rm{ \;}} = {\rm{ \;}} - \left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|\). A. \(\alpha {\rm{ \;}} = {180^0}.\) B. \(\alpha {\rm{ \;}} = {120^0}.\) C. \(\alpha {\rm{ \;}} = {90^0}.\) D. \(\alpha {\rm{ \;}} = {60^0}.\) Câu 3: (ID: 592116) Cho tam giác ABC có M, N, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Khi đó vectơ \(\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BM} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {NA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BQ} \) bằng vectơ nào sau đây? A. \(\overrightarrow {CB} .\) B. \(\overrightarrow {BA} .\) C. \(\vec 0.\) D. \(\overrightarrow {BC} .\) Câu 4: (ID: 592117) Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 8 và \(\angle BAC = {120^0}\). Độ dài cạnh BC bằng: A. 10. B. \(2\sqrt {13} .\) C. 12. D. \(2\sqrt {37} .\) Câu 5: (ID: 592118) Cặp số (x;y) nào là sau đây là một nghiệm của bất phương trình x – y + 3 > 0. A. (x;y) = (0;4). B. (x;y) = (2;5). C. (x;y) = (1;3). D. (x;y) = (1;4). Câu 6: (ID: 592119) Cho hình bình hành ABCD. Nếu viết được \(\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AD} {\rm{ \;}} = k\overrightarrow {AC} \) thì k bằng A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. Câu 7: (ID: 592120) Gọi a, b, c, r, R, S lần lượt là độ dài ba cạnh, bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp và diện tích của tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng A. \(S = p.R\) với \(p = \frac{{a + b + c}}{2}.\) B. \(S = \frac{{abc}}{{4R}}\). C. \(S = \frac{1}{2}\sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \) với \(p = \frac{{a + b + c}}{2}.\) D. \(S = \frac{1}{2}ab\cos C\). Câu 8: Tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {{x^2} - 3x + 2} + \frac{1}{{\sqrt {x + 3} }}\) là A. \(\left( { - 3; + \infty } \right)\). B. \(\left( { - 3;1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\). C. \(\left( { - 3;1} \right] \cup \left( {2; + \infty } \right)\). D. \(\left( { - 3;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\). Câu 9: (ID: 590741) Cho hai tập hợp \(P = \left[ { - 4;5} \right)\) và \(Q = \left( { - 3; + \infty } \right)\). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \(P\backslash Q = \left[ { - 4; - 3} \right].\) B. \(P \cap Q = \left( { - 3;5} \right].\) C. \(P \cup Q = \left[ { - 4;5} \right).\) D. \({C_\mathbb{R}}P = \left( { - \infty ; - 4} \right] \cup \left[ {5; + \infty } \right).\) Câu 10: (ID: 592122) Cho các tập hợp A, B, C được minh họa bằng biểu đồ Ven như hình vẽ. Phần tô màu xám trong hình là biểu diễn của tập hợp nào sau đây?
A. \(A \cap B \cap C.\) B. \(\left( {A\backslash C} \right) \cup \left( {A\backslash B} \right).\) C. \(\left( {A \cup B} \right)\backslash C.\) D. \(\left( {A \cap B} \right)\backslash C.\) Câu 11: (ID: 592123) Khoảng cách từ điểm A đến điểm B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 52016’. Biết CA = 200m, BC = 180m. Tính khoảng cách từ A đến B (làm tròn đến hàng đơn vị). A. 165m. B. 166m. C. 169m. D. 168m. Câu 12: (ID: 590916) Biết \(\sin x = \frac{1}{2}\). Giá trị của biểu thức \(P = {\sin ^2}x - {\cos ^2}x\) là A. \(\frac{1}{2}\) B. \( - \frac{1}{2}\) C. \( - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) D. \( - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) Câu 13: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{4}{{x + 1}}\). Khi đó: A. \(f\left( x \right)\) tăng trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và giảm trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\). B. \(f\left( x \right)\) tăng trên hai khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\). C. \(f\left( x \right)\) giảm trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và giảm trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\). D. \(f\left( x \right)\) giảm trên hai khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
Câu 14: (ID: 592124) Giá trị của biểu thức \(A = {\sin ^2}{51^0} + {\sin ^2}{55^0} + {\sin ^2}{39^0} + {\sin ^2}{35^0}\) là: A. 3. B. 4. C. 1. D. 2. Câu 15: (ID: 592125) Cho ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {MA} \), \(\overrightarrow {{F_2}} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {MB} \), \(\overrightarrow {{F_3}} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {MC} \) cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ của \(\overrightarrow {{F_1}} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {{F_2}} \) đều bằng 100N và \(\angle AMB = {60^0}\). Khi đó cường độ lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) là: A. \(50\sqrt 2 N\). B. \(50\sqrt 3 N\). C. \(25\sqrt 3 N\). D. \(100\sqrt 3 N\). Câu 16: Tọa độ đỉnh của parabol \(y = - 2{x^2} - 4x + 6\) là A. \(I\left( { - 1;8} \right)\). B. \(I\left( {1;0} \right)\). C. \(I\left( {2; - 10} \right)\). D. \(I\left( { - 1;6} \right)\). Câu 17: (ID: 591056) Trong đợt hội diễn văn nghệ chào mừng 20/11, lớp 10A đăng kí tham gia 3 tiết mục là hát tốp ca, múa và diễn kịch. Trong danh sách đăng kí, có 7 học sinh đăng kí tiết mục hát tốp ca, 6 học sinh đăng kí tiết mục múa, 8 học sinh đăng kí diễn kịch; trong đó có 3 học sinh đăng kí cả tiết mục hát tốp ca và tiết mục múa, 4 học sinh đăng kí cả tiết mục hát tốp ca và diễn kịch, 2 học sinh đăng kí cả tiết mục múa và diễn kịch, 1 học sinh đăng kí cả 3 tiết mục. Hỏi lớp 10A có tất cả bao nhiêu học sinh đăng kí tham gia hội diễn văn nghệ? A. 14. B. 13. C. 21. D. 11. Câu 18: (ID: 591999) Cho hình chữ nhật ABCD biết AB = 4a, AD = 3a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Tính độ dài \(\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {OD} \). A. 7a. B. \(\frac{7}{2}a.\) C. \(\frac{5}{2}a.\) D. 5a. Câu 19: Biết đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\), \(\left( {a,\,b,\,c\, \in \mathbb{R};\,a \ne 0} \right)\) đi qua điểm \(A\left( {2;1} \right)\) và có đỉnh \(I\left( {1\,;\, - 1} \right)\). Tính giá trị biểu thức \(T = {a^3} + {b^2} - 2c\). A. \(T = 22\). B. \(T = 9\). C. \(T = 6\). D. \(T = 1\).
Câu 20: Cho parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị như hình dưới
Phương trình của parabol này là A. \(y = - {x^2} + x - 1\). B. \(y = 2{x^2} + 4x - 1\). C. \(y = {x^2} - 2x - 1\). D. \(y = 2{x^2} - 4x - 1\). Câu 21: (ID: 590911) Đường thẳng \( - x + 3y > 2\) chia mặt phẳng tọa độ thành các miền như hình vẽ. Xác định miền nghiệm của \( - x + 3y > 2\).
A. Nửa mặt phẳng có bờ là d cùng phía gốc tọa độ O và có lấy đường thẳng d. B. Nửa mặt phẳng có bờ là d khác phía gốc tọa độ O và có lấy đường thẳng d. C. Nửa mặt phẳng có bờ là d cùng phía gốc tọa độ O và không lấy đường thẳng d. D. Nửa mặt phẳng có bờ là d khác phía gốc tọa độ O và không lấy đường thẳng d. Câu 22: (ID: 590913) Điểm nào dưới đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2y > {\rm{ \;}} - 4}\\{3x - y < 5}\\{x + 1 > 0}\end{array}} \right.\). A. \(\left( { - 2, - 3} \right)\) B. \(\left( {2, - 3} \right)\) C. \(\left( {4,0} \right)\) D. \(\left( {0,2} \right)\) Câu 23: (ID: 590761) Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức b + c = 2a. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. \(\cos B + \cos C = 2\cos A.\) B. \(\sin B + \sin C = 2\sin A.\) C. \(\sin B + \sin C = \frac{1}{2}\sin A.\) D. \(\sin B + \cos C = 2\sin A.\) Câu 24: (ID: 591057) Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 4 và điểm M thỏa mãn \(\overrightarrow {BM} {\rm{ \;}} = {\rm{ \;}} - \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {BM} .\overrightarrow {BA} \). A. \(\overrightarrow {BM} .\overrightarrow {BA} {\rm{ \;}} = 4.\) B. \(\overrightarrow {BM} .\overrightarrow {BA} {\rm{ \;}} = {\rm{ \;}} - 4\sqrt 3 .\) C. \(\overrightarrow {BM} .\overrightarrow {BA} {\rm{ \;}} = 4\sqrt 3 .\) D. \(\overrightarrow {BM} .\overrightarrow {BA} {\rm{ \;}} = {\rm{ \;}} - 4.\) Câu 25: Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có bảng biến thiên dưới đây. Đáp án nào sau đây là đúng? A. \(y = {x^2} + 2x - 2.\) B. \(y = {x^2} - 2x - 2.\) C. \(y = {x^2}{\rm{ + 3}}x - 2.\) D. \(y = - {x^2} - 2x - 2.\)
Phần 2: Tự luận (5 điểm) Câu 1: (ID: 592127) Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm thỏa mãn \(3\overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \vec 0\) và G là trọng tâm của tam giác ABC. a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MG} {\rm{ \;}} = \frac{1}{{12}}\overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} - \frac{5}{{12}}\overrightarrow {AB} \). b) Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng AC và MG. Tính tỉ số \(\frac{{KA}}{{KC}}.\) Câu 2: a) Xác định parabol \((P):y = a{x^2} + bx + c\), biết rằng \((P)\) có đỉnh \(I(2; - 1)\) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -3. b) Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (P) tìm được.
Câu 3: (ID: 592128) Cho tam giác ABC có BC = 3 thỏa mãn \(4\sin A\tan A = \sin B\sin C\). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính giá trị biểu thức \(S = G{B^2} + G{C^2} + 9G{A^2}\).
----- HẾT ----- Giải đề 5 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Phần 1: Trắc nghiệm (25 câu – 5 điểm)
Câu 1 (NB): Phương pháp: Mệnh đề là câu khẳng định có tính đúng hoặc sai. Cách giải: Bạn bao nhiêu tuổi? là câu nghi vấn nên không phải là mệnh đề. Chọn A. Câu 2 (TH): Phương pháp: Sử dụng định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ: \(\vec a.\vec b{\rm{ \;}} = \left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|.\cos \left( {\vec a,\vec b} \right)\). Cách giải: Ta có: \(\begin{array}{l}\vec a.\vec b = \left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|.\cos \left( {\vec a,\vec b} \right)\\ \Leftrightarrow 2\vec a.\vec b = 2\left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|.\cos \left( {\vec a,\vec b} \right)\\ \Leftrightarrow - \left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right| = 2\left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|.\cos \left( {\vec a,\vec b} \right)\\ \Leftrightarrow \left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|\left[ {1 + 2\cos \left( {\vec a,\vec b} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \cos \left( {\vec a,\vec b} \right) = - \frac{1}{2}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {do{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec a \ne \vec 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec b \ne \vec 0} \right)\end{array}\) \( \Leftrightarrow \left( {\vec a,\vec b} \right) = {120^0}.\) Chọn B. Câu 3 (TH): Phương pháp: Sử dụng quy tắc ba điểm. Sử dụng hai vectơ bằng nhau. Cách giải:
Ta có: \(\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BM} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {NA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BQ} }\\{ = \overrightarrow {AM} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {NA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BQ} }\\{ = \overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BQ} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {NA} }\\{ = \overrightarrow {MQ} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {NA} }\\{ = \overrightarrow {BN} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {NA} }\\{ = \overrightarrow {BA} }\end{array}\) Chọn B. Câu 4 (NB): Phương pháp: Sử dụng định lí cosin trong tam giác: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos \angle BAC.\) Cách giải: Ta có: \(\begin{array}{*{20}{l}}{B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos \angle BAC.}\\{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = {6^2} + {8^2} - 2.6.8.\cos {{120}^0}}\\{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = 148}\\{ \Rightarrow BC = \sqrt {148} {\rm{ \;}} = 2\sqrt {37} .}\end{array}\) Chọn D. Câu 5 (NB): Phương pháp: Cặp số nào thỏa mãn bất phương trình là nghiệm của bất phương trình. Cách giải: Thay cặp số (x;y) = (0;4) vào bất phương trình: 0 – 4 + 3 > 0 => Sai. Thay cặp số (x;y) = (2;5) vào bất phương trình: 2 – 5 + 3 > 0 => Sai. Thay cặp số (x;y) = (1;3) vào bất phương trình: 1 – 3 + 3 > 0 => Đúng. Thay cặp số (x;y) = (1;4) vào bất phương trình: 1 – 4 + 3 > 0 => Sai. Chọn C. Câu 6 (TH): Phương pháp: Sử dụng quy tắc hình bình hành. Cách giải: Theo quy tắc hình bình hành ta có: \(\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AD} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {AC} }\\{ \Rightarrow \overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AD} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} = 2\overrightarrow {AC} }\\{ \Rightarrow k = 2.}\end{array}\) Chọn C. Câu 7 (NB): Phương pháp: Sử dụng các công thức tính diện tích tam giác: \(S = \frac{{abc}}{{4R}}\), \(S = \frac{1}{2}ab\sin C\), \(S = \frac{1}{2}\sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \), \(S = p.R\) với \(p = \frac{{a + b + c}}{2}.\) Cách giải: \(S = \frac{1}{2}ab\sin C\) nên đáp án D sai. Chọn D. Câu 8 (TH): Phương pháp: \(\sqrt {f(x)} \) xác định khi \(f(x) \ge 0\) \(\frac{1}{{g(x)}}\) xác định khi \(g(x) \ne 0\) Cách giải: Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 2 \ge 0\\x + 3 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\\x > - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \left( { - 3;1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\). Chọn B. Câu 9 (TH): Phương pháp: Biểu diễn các tập hợp trên trục số và thực hiện các phép toán trên tập hợp. Cách giải: \(P\backslash Q = \left[ { - 4; - 3} \right] \Rightarrow A\) đúng. \(P \cap Q = \left( { - 3;5} \right) \Rightarrow B\) sai. \(P \cup Q = \left[ { - 4; + \infty } \right) \Rightarrow C\) sai. \({C_\mathbb{R}}P = \mathbb{R}\backslash P = \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left[ {5; + \infty } \right) \Rightarrow D\) sai. Chọn A. Câu 10 (TH): Phương pháp: Sử dụng khái niệm các phép toán trên tập hợp. Cách giải: Phần tô đậm trong hình vẽ biểu diễn cho tập hợp \(\left( {A \cap B} \right)\backslash C.\) Chọn D. Câu 11 (TH): Phương pháp: Sử dụng định lí Cosin trong tam giác ABC ta có: \(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2AC.BC.\cos C.\) Cách giải: Áp dụng định lí Cosin trong tam giác ABC ta có: \(\begin{array}{*{20}{l}}{A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2AC.BC.\cos C}\\{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = {{200}^2} + {{180}^2} - 2.200.180.\cos {{52}^0}16' \approx 28337}\\{ \Rightarrow AB \approx 168{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( m \right)}\end{array}\) Chọn D. Câu 12 (TH): Phương pháp: Dùng công thức \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\) để tính cos x Cách giải: \(\begin{array}{*{20}{l}}{\sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin {x^2} = \frac{1}{4} \Rightarrow {{\cos }^2}x = 1 - {{\sin }^2}x = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}}\\{ \Rightarrow {{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = \frac{{ - 1}}{2}}\end{array}\) Chọn B. Câu 13 (VD): Cách giải: TXĐ: \(D = \mathbb{R}{\rm{\backslash \{ }} - 1\} \). Xét \({x_1};\,{x_2}\, \in \,D\)và\({x_1} < {x_2} \Leftrightarrow {x_1} - {x_2} < 0\) Khi đó với hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{4}{{x + 1}}\) \( \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{4}{{{x_1} + 1}} - \frac{4}{{{x_2} + 1}} = 4.\frac{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}}\) Trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)\( \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = 4.\frac{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}} > 0\)nên hàm số nghịch biến. Trên \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)\( \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = 4.\frac{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}} > 0\)nên hàm số nghịch biến. Vậy \(y = \left| {x + 1} \right| - \left| {1 - x} \right|\)không là hàm số chẵn. Chọn C. Câu 14 (TH): Phương pháp: Nếu \(\alpha {\rm{ \;}} + \beta {\rm{ \;}} = {90^0}\) thì \(\sin \alpha {\rm{ \;}} = \cos \beta \). Cách giải: Ta có: \(\begin{array}{*{20}{l}}{A = {{\sin }^2}{{51}^0} + {{\sin }^2}{{55}^0} + {{\sin }^2}{{39}^0} + {{\sin }^2}{{35}^0}}\\{A = \left( {{{\sin }^2}51 + {{\sin }^2}{{39}^0}} \right) + \left( {{{\sin }^2}{{55}^0} + {{\sin }^2}{{35}^0}} \right)}\\{A = \left( {{{\sin }^2}51 + {{\sin }^2}\left( {{{90}^0} - {{51}^0}} \right)} \right) + \left( {{{\sin }^2}{{55}^0} + {{\sin }^2}\left( {{{90}^0} - {{55}^0}} \right)} \right)}\\{A = \left( {{{\sin }^2}51 + {{\cos }^2}{{51}^0}} \right) + \left( {{{\sin }^2}{{55}^0} + {{\cos }^2}{{55}^0}} \right)}\\{A = 1 + 1 = 2.}\end{array}\) Chọn D. Câu 15 (TH): Phương pháp: Vì M đứng yên nên \(\overrightarrow {{F_1}} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {{F_2}} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {{F_3}} {\rm{ \;}} = \vec 0{\rm{ \;}} \Rightarrow \overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \vec 0\). Sử dụng quy tắc hình bình hành. Cách giải: Vì M đứng yên nên \(\overrightarrow {{F_1}} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {{F_2}} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {{F_3}} {\rm{ \;}} = \vec 0{\rm{ \;}} \Rightarrow \overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \vec 0\). Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: \(\overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {MD} \), với D là đỉnh thứ tư của hình bình hành AMBD như hình vẽ.
\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow \overrightarrow {MD} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \vec 0{\rm{ \;}} \Rightarrow \overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = {\rm{ \;}} - \overrightarrow {MD} }\\{ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {MC} } \right| = \left| { - \overrightarrow {MD} } \right| = MD}\end{array}\) Vì MA = MB = 100, \(\angle AMB = {60^0}\) nên tam giác AMB đều \( \Rightarrow MD = 100\sqrt 3 \). Vậy \(\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 100\sqrt 3 N.\) Chọn D. Câu 16 (TH): Phương pháp: Tọa độ đỉnh của parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) là \(I\left( { - \frac{b}{{2a}};\frac{{ - \Delta }}{{4a}}} \right)\) Cách giải: Tọa độ đỉnh của parabol \(y = - 2{x^2} - 4x + 6\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{ - 4}}{{2.\left( { - 2} \right)}} = - 1\\y = - 2.{\left( { - 1} \right)^2} - 4.\left( { - 1} \right) + 6 = 8\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 1;8} \right)\). Chọn A. Câu 17 (VD): Phương pháp: Sử dụng công thức \(n\left( {A \cup B \cup C} \right) = n\left( A \right) + n\left( B \right) + n\left( C \right) - n\left( {A \cap B} \right) - n\left( {B \cap C} \right) - n\left( {C \cap A} \right) + n\left( {A \cap B \cap C} \right)\). Cách giải: Gọi A là tập hợp các bạn đăng kí tiết mục tốp ca \( \Rightarrow n\left( A \right) = 7.\) B là tập hợp các bạn đăng kí tiết mục múa \( \Rightarrow n\left( B \right) = 6.\) C là tập hợp các bạn đăng kí tiết mục diễn kịch \( \Rightarrow n\left( C \right) = 8.\) \( \Rightarrow A \cap B:\) tập hợp các bạn đăng kí cả 2 tiết mục tốp ca và múa \( \Rightarrow n\left( {A \cap B} \right) = 3.\) \(A \cap C\): tập hợp các bạn đăng kí cả 2 tiết mục tốp ca và diễn kịch \( \Rightarrow n\left( {A \cap C} \right) = 4.\) \(B \cap C\): tập hợp các bạn đăng kí cả 2 tiết mục múa và diễn kịch \( \Rightarrow n\left( {B \cap C} \right) = 2.\) \(A \cap B \cap C\): tập hợp các bạn đăng kí cả 3 tiết mục tốp ca, múa và diễn kịch \( \Rightarrow n\left( {A \cap B \cap C} \right) = 1.\) \(A \cup B \cup C\): tập hợp các bạn đăng kí ít nhất 1 tiết mục. Ta có: \(n\left( {A \cup B \cup C} \right) = n\left( A \right) + n\left( B \right) + n\left( C \right) - n\left( {A \cap B} \right) - n\left( {B \cap C} \right) - n\left( {C \cap A} \right) + n\left( {A \cap B \cap C} \right)\) \( \Rightarrow n\left( {A \cup B \cup C} \right) = 7 + 6 + 8 - 3 - 4 - 2 + 1 = 13.\) Chọn B. Câu 18 (TH): Phương pháp: Sử dụng hai vectơ bằng nhau, đưa về hai vectơ chung điểm đầu và cuối, sử dụng quy tắc ba điểm. Cách giải:
Ta có: \(\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {OD} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {OD} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {OD} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {DC} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {OC} \). \( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {OD} } \right| = \left| {\overrightarrow {OC} } \right| = OC\). Áp dụng định lí Pytago ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} {\rm{ \;}} = \sqrt {{{\left( {4a} \right)}^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}} {\rm{ \;}} = 5a \Rightarrow OC = \frac{1}{2}AC = \frac{5}{2}a.\) Vậy \(\left| {\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {OD} } \right| = OC = \frac{5}{2}a.\) Chọn C. Câu 19 (TH): Phương pháp: Tọa độ đỉnh của parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) là \(I\left( { - \frac{b}{{2a}};\frac{{ - \Delta }}{{4a}}} \right)\) Cách giải: Đồ thị hàm số \(y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c\) đi qua điểm \(A\left( {2;1} \right)\) và có đỉnh \(I\left( {1\,;\, - 1} \right)\) nên có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}4a + 2b + c = 1\\ - \frac{b}{{2a}} = 1\\a + b + c = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a + 2b + c = 1\\b = - 2a\\a + b + c = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 1\\b = - 2a\\ - a + c = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 1\\b = - 4\\a = 2\end{array} \right.\). Vậy \(T = {a^3} + {b^2} - 2c = 22\). Chọn A. Câu 20 (TH): Phương pháp: Tọa độ đỉnh của parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) là \(I\left( { - \frac{b}{{2a}};\frac{{ - \Delta }}{{4a}}} \right)\) Cách giải: Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0\,\,;\,\, - 1} \right)\) nên \(c = - 1\). Tọa độ đỉnh \(I\left( {1\,\,;\, - 3} \right)\), ta có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 1\\a{.1^2} + b.1 - 1 = - 3\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b = 0\\a + b = - 2\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 4\end{array} \right.\). Vậy parabol cần tìm là: \(y = 2{x^2} - 4x - 1\). Chọn D. Câu 21 (NB): Phương pháp: Chọn điểm bất kì thỏa mãn bất phương trình để chọn miền nghiệm Cách giải: Vì O(0,0) không thuộc miền nghiệm nên nửa mặt phẳng có bờ là d khác phía gốc tọa độ O và không lấy đường thẳng d Chọn D. Câu 22 (NB): Phương pháp: Vẽ đồ thị hoặc thử các đáp án Cách giải: \(\left( {0,2} \right)\) thỏa mãn 3 phương trình trong hệ phương trình nên chọn D Chọn D. Câu 23 (TH): Phương pháp: Sử dụng định lí Sin trong tam giác \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\). Cách giải: Sử dụng định lí Sin trong tam giác \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2R\sin A}\\{b = 2R\sin B}\\{c = 2R\sin C}\end{array}} \right.\). Theo giả thiết ta có: \(\begin{array}{*{20}{l}}{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b + c = 2a}\\{ \Leftrightarrow 2R\sin B + 2R\sin C = 2.2R\sin A}\\{ \Leftrightarrow \sin B + \sin C = 2\sin A.}\end{array}\) Chọn B. Câu 24 (TH): Phương pháp: Sử dụng công thức \(\overrightarrow {BM} .\overrightarrow {BA} {\rm{ \;}} = BM.BA.\cos \left( {\overrightarrow {BM} ,\overrightarrow {BA} } \right).\) Cách giải: Ta có: \(\overrightarrow {BM} .\overrightarrow {BA} {\rm{ \;}} = {\rm{ \;}} - \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BA} {\rm{ \;}} = {\rm{ \;}} - \frac{1}{2}BC.BA.\cos \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BA} } \right).\) Vì tam giác ABC đều nên \(\cos \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BA} } \right) = \angle ABC = {60^0}\). \( \Rightarrow \overrightarrow {BM} .\overrightarrow {BA} = - \frac{1}{2}.4.4.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = {\rm{ \;}} - 4\sqrt 3 .\) Chọn B. Câu 25 (TH): Phương pháp: Tọa độ đỉnh của parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) là \(I\left( { - \frac{b}{{2a}};\frac{{ - \Delta }}{{4a}}} \right)\) Cách giải: Từ BBT ta có \(a > 0\) nên loại đáp án D. Đỉnh \(I\left( {1; - 3} \right)\) nên \( - \frac{b}{{2{\rm{a}}}} = 1\) Đáp án A. \(y = {x^2} + 2x - 2\) có \(a = 1,b = 2 \Rightarrow \frac{{ - b}}{{2a}} = - 1\) (Loại) Đáp án B. \(y = {x^2} - 2x - 2\) có \(a = 1,b = - 2 \Rightarrow \frac{{ - b}}{{2a}} = 1\) (TM) Đáp án C. \(y = {x^2} + 3x - 2\) có \(a = 1,b = 3 \Rightarrow \frac{{ - b}}{{2a}} = - \frac{3}{2}\) (Loại) Chọn B.
Phần 2: Tự luận (5 điểm) Câu 1 (VD): Phương pháp: a) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh M là trung điểm của BI. Sử dụng quy tắc ba điểm, công thức trung điểm. b) Sử dụng điều kiện để hai vectơ cùng phương. Cách giải:
a) Gọi I là trung điểm của BC. Ta có: \(3\overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \vec 0{\rm{ \;}} \Rightarrow 3MB = MC \Rightarrow MB = \frac{1}{4}BC = \frac{1}{2}BI\). => M là trung điểm của BI. Khi đó ta có: \(\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {MG} = \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IG} = \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AI} }\\{ = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) - \frac{1}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)}\\{ = \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} }\\{ = \frac{1}{{12}}\overrightarrow {AC} - \frac{5}{{12}}\overrightarrow {AB} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {dpcm} \right).}\end{array}\) b) Đặt \(\overrightarrow {AK} {\rm{ \;}} = x\overrightarrow {AC} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {x > 0} \right)\), ta có: \(\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {GK} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {AK} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {AG} {\rm{ \;}} = x\overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AI} }\\{ = x\overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} - \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AC} } \right) = \left( {x - \frac{1}{3}} \right)\overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} }\end{array}\) Vì M, G, K thẳng hàng nên \(\frac{{x - \frac{1}{3}}}{{\frac{1}{{12}}}} = \frac{{ - \frac{1}{3}}}{{ - \frac{5}{{12}}}} \Leftrightarrow x = \frac{2}{5}.\) Vậy \(\overrightarrow {AK} {\rm{\;}} = \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} \) nên \(AK = \frac{2}{5}AC \Rightarrow \frac{{KA}}{{KC}} = \frac{2}{3}.\) Câu 2 (VD): Phương pháp: a) Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\) có đỉnh \(\left( { - \frac{b}{{2a}};\frac{{ - \Delta }}{{4a}}} \right)\). b) Sự biến thiên * Vẽ đồ thị + Đỉnh I\(\left( { - \frac{b}{{2a}};\frac{{ - \Delta }}{{4a}}} \right)\) + Trục đối xứng \(x = - \frac{b}{{2a}}\) + Giao với các trục (nếu có) + Lấy các điểm thuộc đồ thị (đối xứng nhau qua trục đối xứng). Cách giải: a) Ta có: (P) giao với Oy tại điểm có tung độ bằng -3 hay điểm (0;-3). Suy ra \(a.0 + b.0 + c = - 3 \Leftrightarrow c = - 3\) Vì (P) có đỉnh I(2;-1) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = 2\\a{.2^2} + b.2 + ( - 3) = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - b = 4a\\4a + 2b - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{2}\\b = 2\end{array} \right.\) Vậy parabol (P) là \(y = - \frac{1}{2}{x^2} + 2x - 3\) b) Hàm số \(y = - \frac{1}{2}{x^2} + 2x - 3\) có \(a = - \frac{1}{2} < 0\), đỉnh I(2;-1) nên có bảng biến thiên: Hàm số đồng biến trên \(( - \infty ;2)\) và nghịch biến trên khoảng \((2; + \infty )\) * Vẽ đồ thị Đỉnh I(2;-1) Trục đối xứng \(x = 2\) Cắt trục tung tại A(0;-3) và không cắt Ox Lấy B(4;-3) thuộc (P), đối xứng với A(0;-3) qua trục đối xứng Lấy \(C\left( {1; - \frac{3}{2}} \right),D\left( {3; - \frac{3}{2}} \right)\) thuộc (P). Câu 3 (VDC): Phương pháp: Ta thường dùng các chữ cái in hoa để kí hiệu tập hợp và chữ cái in thường để kí hiệu phần tử thuộc tập hợp. Cách giải: Ta có \(\begin{array}{l}S = G{B^2} + G{C^2} + 9G{A^2}\\{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = {\left( {\frac{2}{3}{m_b}} \right)^2} + {\left( {\frac{2}{3}{m_c}} \right)^2} + 9.{\left( {\frac{2}{3}{m_a}} \right)^2}\\{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \frac{4}{9}{m_b}^2 + \frac{4}{9}{m_c}^2 + 4{m_a}^2\\{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \frac{4}{9}.\left( {\frac{{2{a^2} + 2{c^2} - {b^2}}}{4} + \frac{{2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}}}{4}} \right) + 4.\frac{{2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}}}{4}\\{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \frac{4}{9}.\frac{{4{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{4} + 2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}\end{array}\) \(\begin{array}{l}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \frac{{4{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{9} + 2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}\\{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \frac{{19}}{9}\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - \frac{5}{9}{a^2}\end{array}\) Theo giả thiết ta có: \(4\sin A\tan A = \sin B\sin C \Leftrightarrow 4{\sin ^2}A = \sin B\sin C\cos A{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)\) Áp dụng định lí sin trong tam giác ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sin A = \frac{a}{{2R}}}\\{\sin B = \frac{b}{{2R}}}\\{\sin C = \frac{c}{{2R}}}\end{array}} \right.\) Thay vào (*) ta có: \(\begin{array}{*{20}{l}}{\left( * \right) \Leftrightarrow 4{{\left( {\frac{a}{{2R}}} \right)}^2} = \frac{b}{{2R}}.\frac{c}{{2R}}\cos A}\\{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \Leftrightarrow 4.\frac{{{a^2}}}{{4{R^2}}} = \frac{{bc}}{{4{R^2}}}\cos A}\\{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \Leftrightarrow 4{a^2} = bc\cos A}\end{array}\) Lại theo định lí cosin trong tam giác ABC ta có: \(\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A}\\{ \Rightarrow bc\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2}}\end{array}\) Khi đó ta có: \(\begin{array}{*{20}{l}}{\left( * \right) \Leftrightarrow 4{a^2} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2}}\\{ \Leftrightarrow 8{a^2} = {b^2} + {c^2} - {a^2}}\\{ \Leftrightarrow 9{a^2} = {b^2} + {c^2}}\end{array}\) Do đó: \(S = \frac{{19}}{9}\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - \frac{5}{9}{a^2} = \frac{{19}}{9}.9{a^2} - \frac{5}{9}{a^2} = \frac{{166{a^2}}}{9} = 166.\) Vậy S = 166. Đề 6 I. Trắc nghiệm (6 điểm) Câu 1: Tìm tập xác định \({\rm{D}}\) của hàm số \(y = \sqrt {6 - 3x} - \sqrt {x - 1} .\) A. \({\rm{D}} = \left[ {1;2} \right].\) B. \({\rm{D}} = \left( {1;2} \right).\) C. \({\rm{D}} = \left[ {1;3} \right].\) D. \({\rm{D}} = \left[ { - 1;2} \right].\) Câu 2: Mệnh đề phủ định của mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{R},\,\,x - 2 > 5\)” là: A. “\(\exists x \in \mathbb{R},\,\,x - 2 \le 5\)”. B. “\(\exists x \in \mathbb{R},\,\,x - 2 \ge 5\)”. C. “\(\forall x \in \mathbb{R},\,\,x - 2 \le 5\)”. D. “\(\forall x \in \mathbb{R},\,\,x - 2 \ge 5\)”. Câu 3: Cho tập hợp \(D = \left\{ {x \in {\mathbb{N}^*}|x\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0} \right\}\). Viết lại tập hợp D dưới dạng liệt kê các phần tử của tập hợp đó. A. D = {2;3}. B. D = {0;1;2}. C. D = {1;2}. D. D = {0;2;3}. Câu 4: Xét sự biến thiên của hàm số \(y = \frac{1}{{{x^2}}}\). Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\), nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\). B. Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\), nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\). C. Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right)\), nghịch biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\). D. Hàm số nghịch biến trên\(\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\). Câu 5: Cho hai tập hợp \(A = \left( { - \infty ; - 2} \right]\) và \(B = \left( { - 3;5} \right]\). Tìm mệnh đề sai. A. \(A \cap B = \left( { - 3; - 2} \right].\) B. \(A\backslash B = \left( { - \infty ; - 3} \right)\). C. \(A \cup B = \left( { - \infty ;5} \right]\). D. \(B\backslash A = \left( { - 2;5} \right]\). Câu 6: Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập con của tập hợp \(A = \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\)? A. \({A_1} = \left\{ {1;6} \right\}.\) B. \({A_2} = \left\{ {0;1;3} \right\}.\) C. \({A_3} = \left\{ {4;5} \right\}.\) D. \({A_4} = \left\{ 0 \right\}.\) Câu 7: Cho parabol \(\left( P \right):y = 3{x^2} - 2x + 1\). Điểm nào sau đây là đỉnh của \(\left( P \right)\)? A. \(I\left( {0;1} \right)\). B. \(I\left( {\frac{1}{3};\,\frac{2}{3}} \right)\). C. \(I\left( { - \frac{1}{3};\,\frac{2}{3}} \right)\). D. \(I\left( {\frac{1}{3};\, - \frac{2}{3}} \right)\). Câu 8: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn? A. \(2{x^3} + 1 \ge y + 2{x^2}.\) B. \(2x - 6y + 5 < 2x - 6y + 3.\) C. \(2{x^2} + 1 \ge y + 2{x^2}.\) D. \(4{x^2} < 2x + 5y - 6.\) Câu 9: Điểm nào dưới đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình \(3x + 2y < 10\)? A. (5;1). B. (4;2). C. (1;5). D. (1;2). Câu 10: Trong tam giác EFG, chọn mệnh đề đúng. A. \(E{F^2} = E{G^2} + F{G^2} + 2EG.FG.\cos G.\) B. \(E{F^2} = E{G^2} + F{G^2} + 2EG.FG.\cos E.\) C. \(E{F^2} = E{G^2} + F{G^2} - 2EG.FG.\cos E.\) D. \(E{F^2} = E{G^2} + F{G^2} - 2EG.FG.\cos G.\) Câu 11: Cho parabol \(\left( P \right):\,y = {x^2} + mx + n\) (\(m,\,n\) là tham số). Xác định \(m,\,n\) để \(\left( P \right)\)nhận đỉnh \(I\left( {2;\, - 1} \right)\). A. \(m = 4,\,n = - 3\). B. \(m = 4,\,n = 3\). C. \(m = - 4,\,n = - 3\). D. \(m = - 4,\,n = 3\). Câu 12: Cho tam giác ABC có b = 7, c = 5, \(\cos A = \frac{3}{5}.\) Độ dài đường cao \({h_a}\) của tam giác ABC là: A. \(8.\) B. \(8\sqrt 3 .\) C. \(\frac{{7\sqrt 2 }}{2}.\) D. \(7\sqrt 2 .\) Câu 13: Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\)đồ thị như hình. Tính giá trị biểu thức \(T = {a^2} + {b^2} + {c^2}\).
A. \(0\). B. \(26\). C. \(8\). D. \(20\). Câu 14: Trong các hệ bất phương trình sau, hệ bất phương trình nào là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn? A. \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4 \ge 0\\3x + 4y < 2\end{array} \right.\). B. \(x - y > 0\). C. \(\left\{ \begin{array}{l}{y^2} + 2y - 3 > 0\\5x - y > 2\end{array} \right.\). D. \(\left\{ \begin{array}{l}x - 4 \ge y\\3x + 4y < 5\end{array} \right.\). Câu 15: Giá trị của biểu thức \(T = 2 + {\sin ^2}{90^0} + 2{\cos ^2}{60^0} - 3{\tan ^2}{45^0}\) bằng: A. 3. B. \( - \frac{1}{2}\). C. 1. D. \(\frac{1}{2}\). Câu 16: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c, có R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp và hc là độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh C. Chọn mệnh đề sai. A. \({S_{ABC}} = ab\sin C.\) B. \({S_{ABC}} = pr.\) C. \({S_{ABC}} = \frac{{abc}}{{4R}}.\) D. \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}c.{h_c}.\) Câu 17: Tam giác ABC có BC = 1, AC = 3, \(\angle C = {60^0}\). Tính độ dài cạnh AB. A. \(\sqrt {13} .\) B. \(\sqrt 7 .\) C. \(\frac{{\sqrt {34} }}{2}.\) D. \(\frac{{\sqrt {46} }}{2}.\) Câu 18: Bảng biến thiên nào dưới đây là của hàm số \(y = - {x^2} + 2x + 2\)? A. C.
Câu 19: Phần không bị gạch trên hình vẽ dưới đây minh họa cho tập hợp nào?
A. \(\left( {0;1} \right).\) B. \(\left( {1; + \infty } \right).\) C. \(\left[ {1; + \infty } \right).\) D. \(\left( {0;1} \right].\) Câu 20: Cho \(\alpha \) và \(\beta \) là hai góc khác nhau và bù nhau, trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào sai? A. \(\sin \alpha = \sin \beta .\) B. \(\cos \alpha = - \cos \beta .\) C. \(\tan \alpha = - \tan \beta .\) D. \(\cot \alpha = \cot \beta .\) Câu 21: Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị như hình bên dưới. Khẳng định nào sau đây đúng?
` A. \(a > 0,{\rm{ }}b < 0,{\rm{ }}c < 0\). B. \(a > 0,{\rm{ }}b < 0,{\rm{ }}c > 0\). C. \(a > 0,{\rm{ }}b > 0,{\rm{ }}c > 0\). D. \(a < 0,{\rm{ }}b < 0,{\rm{ }}c < 0\). Câu 22: Tam giác ABC có AB = 4, BC = 6, \(AC = 2\sqrt 7 \). Điểm M thuộc đoạn BC sao cho MC = 2MB. Tính độ dài cạnh AM. A. \(AM = 3\sqrt 2 .\) B. \(AM = 4\sqrt 2 .\) C. \(AM = 2\sqrt 3 .\) D. \(AM = 3.\) Câu 23: Nửa mặt phẳng không bị gạch chéo ở hình dưới đây là miền nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau?
A. \(2x + y < 1.\) B. \(2x - y > 1.\) C. \(x + 2y > 1.\) D. \(2x + y > 1.\) Câu 24: Cho góc \(\alpha \) với \({0^0} < \alpha < {180^0}\). Tính giá trị của \(\cos \alpha \), biết \(\tan \alpha = - 2\sqrt 2 \). A. \( - \frac{1}{3}.\) B. \(\frac{1}{3}.\) C. \(\frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\) D. \(\frac{{\sqrt 2 }}{3}.\) Câu 25: Một ca nô xuất phát từ cảng A, chạy theo hướng đông với vận tốc 50 km/h. Cùng lúc đó, một tàu cá, xuất phát từ A, chạy theo hướng N30°E với vận tốc 40 km/h. Sau 3 giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu kilômét? A. 135,7km. B. 237,5km. C. 110km. D. 137,5km. Câu 26. Cho tam giác \(ABC\) và điểm \(M\) thỏa mãn điều kiện \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \). Mệnh đề nào sau đây sai? A. \(MABC\) là hình bình hành. B. \(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} .\) C. \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BM} .\) D. \(\overrightarrow {MA} = \overrightarrow {BC} .\) Câu 27. Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đây đúng? A.\(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {BC} \) B. \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} \) C. \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {CD} \) D. \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {CD} \) Câu 28. Cho tam giác OAB vuông cân tại O, cạnh \(OA = a\). Khẳng định nào sau đây sai? A.\(\left| {3\overrightarrow {OA} + 4\overrightarrow {OB} } \right| = 5a\) B. \(\left| {2\overrightarrow {OA} } \right| + \left| {3\overrightarrow {OB} } \right| = 5a\) C. \(\left| {7\overrightarrow {OA} - 2\overrightarrow {OB} } \right| = 5a\) D. \(\left| {11\overrightarrow {OA} } \right| - \left| {6\overrightarrow {OB} } \right| = 5a\) Câu 29. Cho tam giác \(ABC\) có \(BC = a,\,{\rm{ }}CA = b,{\rm{ }}AB = c.\) Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(BC.\) Tính \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} .\) A. \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = \frac{{{b^2} - {c^2}}}{2}.\) B. \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = \frac{{{c^2} + {b^2}}}{2}.\) C. \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = \frac{{{c^2} + {b^2} + {a^2}}}{3}.\) D. \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = \frac{{{c^2} + {b^2} - {a^2}}}{2}.\) Câu 30. Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a.\) Tính \(P = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BA} } \right).\) A. \(P = 2\sqrt 2 a.\) B. \(P = 2{a^2}.\) C. \(P = {a^2}.\) D. \(P = - 2{a^2}.\)
II. Tự luận (4 điểm) Câu 1: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC, M là điểm bất kỳ. a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {AB} = 0\) b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh: \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\) c) Chứng minh rằng \(G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} = \frac{1}{3}({a^2} + {b^2} + {c^2})\), với a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác. Câu 2: (1 điểm) Từ hai vị trí \(A\) và \(B\) của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh \(C\) của ngọn núi. Biết rằng độ cao \(AB = 70{\rm{m}}\), phương nhìn \(AC\) tạo với phương nằm ngang góc \({30^0}\), phương nhìn \(BC\) tạo với phương nằm ngang góc \({15^0}30'\). Tìm độ cao của ngọn núi đó có độ cao so với mặt đất.
Câu 3: (1,5 điểm) Xác định và vẽ đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\)biết đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là \( - 3\)và giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( - \frac{{25}}{8}\)tại \(x = \frac{1}{4}\).
-----HẾT----- Giải đề 6 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT I. Trắc nghiệm (6 điểm)
Câu 1 (TH): Phương pháp: \(\sqrt {f(x)} \) xác định khi \(f(x) \ge 0\). Cách giải: Hàm số \(y = \sqrt {6 - 3x} - \sqrt {x - 1} \) xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}6 - 3x \ge 0\\x - 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 \ge 3x\\x \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 \le x \le 2\) Do đó tập xác định là \({\rm{D}} = \left[ {1;2} \right].\) Chọn A. Câu 2 (TH): Phương pháp: Phủ định của \(\forall \) là \(\exists \), phủ định của > là \( \le \). Cách giải: Mệnh đề phủ định của mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{R},\,\,x - 2 > 5\)” là “\(\exists x \in \mathbb{R},\,\,x - 2 \le 5\)”. Chọn A. Câu 3 (TH): Phương pháp: Viết tập hợp theo cách liệt kê các phần tử. Cách giải: Giải phương trình \(x\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\x = 3\end{array} \right.\). Mà \(x \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow x \in \left\{ {2;3} \right\}.\) Vậy D = {2;3}. Chọn A. Câu 4 (TH): Cách giải: TXĐ: \(D = \mathbb{R}{\rm{\backslash \{ }}0\} \) Xét \({x_1};\,{x_2}\, \in \,D\)và\({x_1} < {x_2} \Leftrightarrow {x_1} - {x_2} < 0\) Khi đó với hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}}\) \( \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{1}{{{x_1}^2}} - \frac{1}{{{x_2}^2}} = \frac{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} + {x_1}} \right)}}{{x_2^2.x_1^2}}\) Trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\)\( \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} + {x_1}} \right)}}{{{x_2}^2.{x_1}^2}} < 0\)nên hàmsố đồng biến. Trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)\( \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} + {x_1}} \right)}}{{{x_2}^2.{x_1}^2}} > 0\)nên hàm số nghịch biến. Chọn A. Câu 5 (VD): Phương pháp: Thực hiện các phép toán trên tập hợp. Sử dụng trục số. Cách giải: +) \(A \cap B = \left( { - 3; - 2} \right]\)
=> A đúng. +) \(A\backslash B = \left( { - \infty ; - 3} \right]\)
=> B sai. +) \(A \cup B = \left( { - \infty ;5} \right]\)
=> C đúng. +) \(B\backslash A = \left( { - 2;5} \right]\).
=> D đúng. Chọn B. Câu 6 (NB): Phương pháp: Tập hợp A được gọi là tập con của tập hợp B nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B. Cách giải: \({A_3} = \left\{ {4;5} \right\} \subset A = \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\). Chọn C. Câu 7 (TH): Cách giải: Hoành độ đỉnh của \(\left( P \right):y = 3{x^2} - 2x + 1\) là \(x = - \frac{b}{{2a}} = \frac{1}{3}\)\( \Rightarrow y = 3{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} - 2.\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}\). Vậy \(I\left( {\frac{1}{3};\,\frac{2}{3}} \right)\). Chọn B. Câu 8 (TH): Phương pháp: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là \(ax + by \le c\) (\(ax + by \ge c\), \(ax + by < c\), \(ax + by > c\)) Trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số. Cách giải: Ta có: \(2{x^2} + 1 \ge y + 2{x^2} \Leftrightarrow y - 1 \le 0\) nên đây là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Chọn C. Câu 9 (NB): Phương pháp: Thay các tọa độ điểm vào bất phương trình, điểm nào thỏa mãn bất phương trình thì thuộc miền nghiệm của bất phương trình đó. Cách giải: +) Thay tọa độ điểm (5;1) vào bất phương trình ta có: 3.5 + 2.1 < 10 (Vô lí) => (5;1) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. +) Thay tọa độ điểm (4;2) vào bất phương trình ta có: 3.4 + 2.2 < 10 (Vô lí) => (4;2) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. +) Thay tọa độ điểm (1;5) vào bất phương trình ta có: 3.1 + 2.5 < 10 (Vô lí) => (1;5) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. +) Thay tọa độ điểm (1;2) vào bất phương trình ta có: 3.1 + 2.2 < 10 (Đúng) => (1;2) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Chọn D. Câu 10 (NB): Phương pháp: Sử dụng định lí cosin trong tam giác: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A.\) Cách giải: \(E{F^2} = E{G^2} + F{G^2} - 2EG.FG.\cos G\) là mệnh đề đúng. Chọn D. Câu 11 (TH): Cách giải: Parabol \(\left( P \right):\,y = {x^2} + mx + n\) nhận \(I\left( {2;\, - 1} \right)\) là đỉnh, khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}4 + 2m + n = - 1\\ - \frac{m}{2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m + n = - 5\\m = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = 3\\m = - 4\end{array} \right.\). Vậy \(m = - 4,\,n = 3\). Chọn D. Câu 12 (VD): Phương pháp: Tính sinA. Tính diện tích tam giác ABC: \(S = \frac{1}{2}bc.\sin A.\) Sử dụng định lí cosin trong tam giác tính a: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A.\) Sử dụng công thức tính diện tích tam giác: \(S = \frac{1}{2}a{h_a}\), từ đó tính \({h_a}\). Cách giải: Ta có: \(\begin{array}{l}{\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}A + {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}A = \frac{{16}}{{25}}\end{array}\) Vì \({0^0} < A < {180^0}\) nên sinA > 0 \( \Rightarrow \sin A = \frac{4}{5}.\) Diện tích tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}bc.\sin A. = \frac{1}{2}.7.5.\frac{4}{5} = 14.\) Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có: \(\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A.\\\,\,\,\,\,\, = {7^2} + {5^2} - 2.7.5.\frac{3}{5}\\\,\,\,\,\,\, = 32\\ \Rightarrow a = 4\sqrt 2 .\end{array}\) Lại có: \(S = \frac{1}{2}a{h_a} \Rightarrow {h_a} = \frac{{2S}}{a} = \frac{{2.14}}{{4\sqrt 2 }} = \frac{{7\sqrt 2 }}{2}.\) Chọn C. Câu 13 (TH): Cách giải: Do đồ thị hàm số có đỉnh là \(I\left( {2; - 1} \right)\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = 2\\f\left( 2 \right) = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a + b = 0\\4a + 2b + c = - 1\end{array} \right.\) \(\left( 1 \right)\) Do đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {0;3} \right) \Rightarrow f\left( 0 \right) = 3 \Leftrightarrow c = 3\)\(\left( 2 \right)\) Từ \(\left( 1 \right)\)và\(\left( 2 \right)\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 4\\c = 3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow T = 26\) Chọn B. Câu 14 (NB): Phương pháp: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Cách giải: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 4 \ge y\\3x + 4y < 5\end{array} \right.\) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Chọn D. Câu 15 (NB): Phương pháp: Nhớ bảng giá trị lượng giác của các góc thường dùng hoặc sử dụng máy tính cầm tay. Cách giải: \(\begin{array}{l}T = 2 + {\sin ^2}{90^0} + 2{\cos ^2}{60^0} - 3{\tan ^2}{45^0}\\T = 2 + {1^2} + 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - {3.1^2}\\T = \frac{1}{2}.\end{array}\) Chọn D. Câu 16 (NB): Phương pháp: Sử dụng các công thức tính diện tích tam giác: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}ab\sin C = pr = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{1}{2}c.{h_c}.\) Cách giải: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}ab\sin C\) nên đáp án A sai. Chọn A. Câu 17 (NB): Phương pháp: Áp dụng định lí Cosin trong tam giác: \(A{B^2} = B{C^2} + A{C^2} - 2BC.AC.\cos C\). Cách giải: Áp dụng định lí Cosin trong tam giác ABC: \(\begin{array}{l}A{B^2} = B{C^2} + A{C^2} - 2BC.AC.\cos C\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {1^2} + {3^2} - 2.1.3.\cos {60^0} = 7\\ \Rightarrow AB = \sqrt 7 .\end{array}\) Chọn B. Câu 18 (TH): Cách giải: Hàm số \(y = - {x^2} + 2x + 2\) là hàm số bậc hai, có \(a = - 1 < 0,b = 2\) => Loại A, D. Parabol có hoành độ đỉnh \( - \frac{b}{{2a}} = - \frac{2}{{2.( - 1)}} = 1\) => Loại B Chọn C. Câu 19 (NB): Phương pháp: Biểu diễn tập hợp trên trục số. Cách giải: Hình vẽ đã cho là minh họa cho tập hợp \(\left[ {1; + \infty } \right).\) Chọn C. Câu 20 (NB): Phương pháp: Sử dụng mối liên hệ giá trị lượng giác của hai góc bù nhau: Cho \(\alpha \) và \(\beta \) là hai góc khác nhau và bù nhau ta có: \(\sin \alpha = \sin \beta ,\) \(\cos \alpha = - \cos \beta \), \(\tan \alpha = - \tan \beta \), \(\cot \alpha = - \cot \beta .\) Cách giải: \(\alpha \) và \(\beta \) là hai góc khác nhau và bù nhau nên \(\sin \alpha = \sin \beta ,\) \(\cos \alpha = - \cos \beta \), \(\tan \alpha = - \tan \beta \), \(\cot \alpha = - \cot \beta .\) Vậy đẳng thức ở đáp án D sai. Chọn D. Câu 21 (TH): Cách giải: Parabol có bề lõm quay lên \( \Rightarrow a > 0\) loại D. Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên \(c < 0\) loại B, C. Chọn A. Câu 22 (VD): Phương pháp: Sử dụng hệ quả định lí cosin trong tam giác ABC tính cosB: \(\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2AB.BC}}\). Tính BM, CM. Sử dụng định lí cosin trong tam giác ABM tính AM: \(A{M^2} = A{B^2} + B{M^2} - 2AB.BM.\cos B\). Cách giải:
Ta có: \(\begin{array}{l}\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2AB.BC}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{{4^2} + {6^2} - {{\left( {2\sqrt 7 } \right)}^2}}}{{2.4.6}} = \frac{1}{2}\end{array}\) Vì MC = 2MB, BC = 6 nên \(BM = \frac{1}{3}BC = \frac{1}{3}.6 = 2.\) Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABM ta có: \(\begin{array}{l}A{M^2} = A{B^2} + B{M^2} - 2AB.BM.\cos B\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {4^2} + {2^2} - 2.4.2.\frac{1}{2} = 12\\ \Rightarrow AM = 2\sqrt 3 .\end{array}\) Chọn C. Câu 23 (TH): Phương pháp: Tìm phương trình đường thẳng d. Loại đáp án. Thay tọa độ điểm O(0;0) vào các bất phương trình chưa bị loại ở các đáp án, tiếp tục loại đáp án. Cách giải: Đường thẳng d đi qua điểm (0;1) nên loại đáp án B, C. Ta thấy điểm O(0;0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. + Thay tọa độ điểm O(0;0) vào bất phương trình \(2x + y < 1\) ta có: 2.0 + 0 < 1 (Đúng) => Loại. + Thay tọa độ điểm O(0;0) vào bất phương trình \(2x + y > 1\) ta có: 2.0 + 0 > 1 (Vô lí) => Thỏa mãn. Chọn D. Câu 24 (TH): Phương pháp: Sử dụng công thức: \(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}.\) Cách giải: Ta có: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\\ \Leftrightarrow 1 + {\left( { - 2\sqrt 2 } \right)^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{9}\\ \Leftrightarrow \cos \alpha = \pm \frac{1}{3}\end{array}\) Vì \({0^0} < \alpha < {180^0}\) \( \Rightarrow \sin \alpha > 0\). Mà \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} < 0\) nên \(\cos \alpha < 0\). Vậy \(\cos \alpha = - \frac{1}{3}.\) Chọn A. Câu 25 (VD): Phương pháp: Hướng N300E là hướng tạo với hướng bắc một góc 300 và tạo với hướng đông một góc \({90^0} - {30^0} = {60^0}\). Áp dụng định lí cosin trong tam giác. Cách giải: Hướng N300E là hướng tạo với hướng bắc một góc 300 và tạo với hướng đông một góc \({90^0} - {30^0} = {60^0}\).
A là vị trí cảng. Ca nô đi theo hướng đông từ A đến B, sau 3 giờ đi được quãng đường AB = 50.3 = 150 (km). Tàu cá đi theo hướng N300E từ A đến C, sau 3 giờ đi được quãng đường AC = 40.3 = 120 (km). Áp dụng định lí Cosin trong tam giác ABC ta có: \(\begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos {60^{}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {150^2} + {120^2} - 2.150.120.\frac{1}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 18\,900\\ \Rightarrow BC = 30\sqrt {21} \approx 137,5.\end{array}\) Vậy sau 3 giờ hai tàu cách nhau khoảng 137,5km. Chọn D. Câu 26. Cách giải:
Ta có \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AB} \) \( \Rightarrow MABC\) là hình bình hành \( \Rightarrow \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {CB} .\) Do đó D sai. Chọn D. Câu 27. Cách giải: Vì ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \) hay \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow 0 \) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} \end{array} \right.\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = 2\overrightarrow {BC} \) Vậy A đúng. \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} \) => B sai. \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DC} = 2\overrightarrow {DC} = - 2\overrightarrow {CD} \) => C sai \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DC} \) => D sai. Chọn A.
Câu 28. Cách giải: Ta có: \(OA = OB = a\) \( \Rightarrow \left| {2\overrightarrow {OA} } \right| + \left| {3\overrightarrow {OB} } \right| = 2a + 3a = 5a\). Vậy B đúng. Tương tự, ta có \(\left| {11\overrightarrow {OA} } \right| - \left| {6\overrightarrow {OB} } \right| = 11a - 6a = 5a\). Do đó D đúng. Lấy C, D sao cho \(\overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OD} = 4\overrightarrow {OB} ;\) Dựng hình bình hành OCED. Do \(\widehat {AOB} = {90^ \circ }\) nên OCED là hình chữ nhật. Ta có: \(3\overrightarrow {OA} + 4\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OE} \) \( \Rightarrow \left| {3\overrightarrow {OA} + 4\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OE} } \right| = OE\) Lại có: \(OC = 3OA = 3a,OD = 4OB = 4a.\) \( \Rightarrow OE = \sqrt {O{C^2} + C{E^2}} = \sqrt {O{C^2} + O{D^2}} = \sqrt {{{(3a)}^2} + {{(4a)}^2}} = 5a\) Do đó A đúng. Chọn C Câu 29. Cách giải: Vì M là trung điểm của BC suy ra \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \) Khi đó \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} } \right)\) \( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{2}\left( {{{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\overrightarrow {AB} }^2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {A{C^2} - A{B^2}} \right) = \frac{{{b^2} - {c^2}}}{2}\) Chọn A. Câu 30. Cách giải: Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BD = a\sqrt 2 \\\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BA} = \left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} } \right) + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {BD} \end{array} \right.\) Khi đó \(P = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).2\overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD} + 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = - 2\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BD} + \vec 0\) \( = - 2BA.BD\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BD} } \right) = - 2.a.a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = - 2{a^2}\) Chọn D.
II. Tự luận (4 điểm) Câu 1 (TH): Cách giải: a) Ta có: \( = \overrightarrow {{\rm{MA}}} \cdot (\overrightarrow {{\rm{MC}}} - \overrightarrow {{\rm{MB}}} ) + \overrightarrow {{\rm{MB}}} (\overrightarrow {{\rm{MA}}} - \overrightarrow {{\rm{MC}}} ) + \overrightarrow {{\rm{MC}}} (\overrightarrow {{\rm{MB}}} - \overrightarrow {{\rm{MA}}} ) = \) \( = \overrightarrow {{\rm{MA}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{MC}}} - \overrightarrow {{\rm{MA}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{MB}}} + \overrightarrow {{\rm{MB}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{MA}}} - \overrightarrow {{\rm{MB}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{MC}}} + \overrightarrow {{\rm{MC}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{MB}}} - \overrightarrow {{\rm{MC}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{MA}}} \) \( = \overrightarrow {{\rm{MA}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{MC}}} - \overrightarrow {{\rm{MC}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{MA}}} - \overrightarrow {{\rm{MA}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{MB}}} + \overrightarrow {{\rm{MB}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{MA}}} - \overrightarrow {{\rm{MB}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{MC}}} + \overrightarrow {{\rm{MC}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{MB}}} = 0\) b) \({\rm{M}}{{\rm{A}}^2} = {\overrightarrow {{\rm{MA}}} ^2} = {(\overrightarrow {{\rm{MG}}} + \overrightarrow {{\rm{GA}}} )^2} = {\rm{M}}{{\rm{G}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{A}}^2} + 2\overrightarrow {{\rm{MG}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{GA}}} \) \({\rm{M}}{{\rm{B}}^2} = {\overrightarrow {{\rm{MB}}} ^2} = {(\overrightarrow {{\rm{MG}}} + \overrightarrow {{\rm{GB}}} )^2} = {\rm{M}}{{\rm{G}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{B}}^2} + 2\overrightarrow {{\rm{MG}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{GB}}} \) \({\rm{M}}{{\rm{C}}^2} = {\overrightarrow {{\rm{MC}}} ^2} = {(\overrightarrow {{\rm{MG}}} + \overrightarrow {{\rm{GC}}} )^2} = {\rm{M}}{{\rm{G}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{C}}^2} + 2\overrightarrow {{\rm{MG}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{GC}}} \) \( \Rightarrow {\rm{M}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{M}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{M}}{{\rm{C}}^2} = 3{\rm{M}}{{\rm{G}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{C}}^2} + 2(\overrightarrow {{\rm{MG}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{GA}}} + \overrightarrow {{\rm{MG}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{GB}}} + \overrightarrow {{\rm{MG}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{GC}}} )\) \( = 3{\rm{M}}{{\rm{G}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{C}}^2} + 2\overrightarrow {{\rm{MG}}} (\overrightarrow {{\rm{GA}}} + \overrightarrow {{\rm{GB}}} + \overrightarrow {{\rm{GC}}} ) = 3{\rm{M}}{{\rm{G}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{C}}^2}\) c) Vì \({\rm{M}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{M}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{M}}{{\rm{C}}^2} = 3{\rm{M}}{{\rm{G}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{C}}^2}\) đúng với M bất kì. Chọn \({\rm{M}} \equiv {\rm{A}}\) ta được: \({\rm{A}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{A}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{A}}{{\rm{C}}^2} = 3{\rm{A}}{{\rm{G}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{C}}^2}\) \( \Leftrightarrow {\rm{A}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{A}}{{\rm{C}}^2} = 4{\rm{G}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{C}}^2}\) Tương tự, \({\rm{M}} \equiv {\rm{B}} \Rightarrow {\rm{B}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{B}}{{\rm{C}}^2} = 4\;{\rm{G}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{C}}^2}\) \({\rm{M}} \equiv {\rm{C}} \Rightarrow {\rm{C}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{A}}{{\rm{C}}^2} = 4{\rm{G}}{{\rm{C}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{A}}^2}\) Thay \(AB = c,AC = b,BC = a\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow 6\left( {{\rm{G}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{C}}^2}} \right) = 2\left( {{{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2}} \right)\\ \Leftrightarrow {\rm{G}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{C}}^2} = \frac{1}{3}\left( {{{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2}} \right)\end{array}\)
Câu 2 (VD): Cách giải: Từ giả thiết, ta suy ra tam giác ABC có \(\widehat {CAB} = {60^^\circ },\widehat {ABC} = {105^^\circ }30'\)và \(c = 70\) Khi đó \(\hat A + \hat B + \hat C = {180^^\circ } \Leftrightarrow \hat C = {180^^\circ } - \left( {\hat A + \hat B} \right) = {180^^\circ } - {165^^\circ }30' = {14^^\circ }30'\) Theo định lí sin, ta có \(\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\) hay \(\frac{b}{{\sin {{105}^^\circ }30'}} = \frac{{70}}{{\sin {{14}^^\circ }30'}}\) Do đó \(AC = b = \sin {105^^\circ }30'\frac{{70}}{{\sin {{14}^^\circ }30'}} \approx 269,4m\) Gọi CH là khoảng cách từ C đến mặt đất. Tam giác vuông ACH có cạnh CH đối diện với góc \({30^^\circ }\) nên \(CH = \frac{{AC}}{2} = \frac{{269,4}}{2} = 134,7m\) Vậy ngọn núi cao khoảng 135m.
Câu 3 (VD): Cách giải: + Đồ thị cắt trục tung tại điểm \(A\left( {0;c} \right)\)\( \Rightarrow c = - 3\). + Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( - \frac{{25}}{8}\)tại \(x = \frac{1}{4}\)nên đỉnh của đồ thị hàm số là \(I\left( {\frac{1}{4}; - \frac{{25}}{8}} \right)\) Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{1}{4}\\a.\frac{1}{{16}} + \frac{1}{4}b - 3 = - \frac{{25}}{8}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 4b = 0\\a + 4b = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 1\end{array} \right.\) Vậy hàm số cần tìm là \(y = 2{x^2} - x - 3\).
Đỉnh \(I\left( {\frac{1}{4}; - \frac{{25}}{8}} \right)\) Trục đối xứng \(x = \frac{1}{4}\) Giao với trục Oy tại \(A\left( {0; - 3} \right)\), giao với Ox tại \(B( - 1;0),C(\frac{3}{2};0)\) Lấy điểm \(D(2;3),E\left( { - \frac{3}{2};3} \right) \in (P)\) Đề 7 Phần 1: Trắc nghiệm (30 câu – 6 điểm) Câu 1: (ID: 592095) Cho các phát biểu sau đây: (1) “17 là số nguyên tố”. (2) “Tam giác vuông có một đường trung tuyến bằng nửa cạnh huyền”. (3) “Các em C14 hãy cố gắng học tập thật tốt nhé!” (4) “Mọi hình chữ nhật đều nội tiếp được đường tròn”. Hỏi có bao nhiêu phát biểu là mệnh đề? A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. Câu 2: (ID: 592097) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Đặt \(\vec a{\rm{ \;}} = \overrightarrow {AB} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec b{\rm{ \;}} = \overrightarrow {AM} \). Giả sử \(\overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} = x\vec a{\rm{ \;}} + y\vec b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ,x,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y \in \mathbb{R}\). Tìm cặp số (x;y) tương ứng. A. (-1;-2). B. (1;2). C. (-1;2). D. (1;-2). Câu 3: (ID: 592098) Lớp 10A có 37 học sinh, trong đó có 17 học sinh thích môn Văn, 19 học sinh thích môn Toán, 9 em không thích môn Văn và Toán. Số học sinh tích cả hai môn Văn và Toán là: A. 13. B. 8. C. 6. D. 2. Câu 4: (ID: 592099) Tìm tập nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - 4 \ge 0}\\{\frac{{x - 1}}{2} - x \ge {\rm{ \;}} - 2}\end{array}} \right.\). A. \(S = \left[ {3; + \infty } \right).\) B. \(S = \left[ {\frac{4}{3};3} \right].\) C. \(S = \left[ {\frac{4}{3}; + \infty } \right).\) D. \(S = \emptyset .\) Câu 5: (ID: 592100) Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 1 > 0}\\{y \ge 2}\\{ - x + 2y > 3}\end{array}} \right.\) là phần không tô đậm của hình vẽ nào trong các hình vẽ sau: A. Câu 6: (ID: 592101) Cho tam giác ABC có AB = 9, AC = 18 và A = 600. Bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: A. 3. B. \(9\sqrt 3 .\) C. 9. D. 6. Câu 7: (ID: 592102) Một người ngồi trên tàu hỏa đi từ ga A đến ga B. Khi đỗ tàu ở ga A, qua ống nhòm người đó nhìn thấy một tháp C. Hướng nhìn từ người đó đến tháp tạo với hướng đi của tàu một góc 600. Khi tàu đỗ ở ga B, người đó nhìn lại vẫn thấy tháp C, hướng nhìn từ người đó đến tháp tạo với hướng ngược với hướng đi của tàu một góc 450. Biết rằng đoạn đường tàu nối thẳng ga A với ga B dài 8km. Hỏi khoảng cách từ ga A đến tháp C gần nhất với số nào sau đây?
A. 5,9. B. 5,86. C. 5,78. D. 5,8. Câu 8: (ID: 592103) Biểu thức \({\tan ^2}x{\sin ^2}x - {\tan ^2}x + {\sin ^2}x\) có giá trị bằng A. -1. B. 0. C. 2. D. 1. Câu 9: (ID: 592104) Gọi AN, CM là các đường trung tuyến của tam giác ABC. Đẳng thức nào sau đây đúng? A. \(\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AN} {\rm{ \;}} + \frac{2}{3}\overrightarrow {CM} \). B. \(\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} = \frac{4}{3}\overrightarrow {AN} {\rm{ \;}} - \frac{2}{3}\overrightarrow {CM} \). C. \(\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} = \frac{4}{3}\overrightarrow {AN} {\rm{ \;}} + \frac{4}{3}\overrightarrow {CM} \). D. \(\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} = \frac{4}{3}\overrightarrow {AN} {\rm{ \;}} + \frac{2}{3}\overrightarrow {CM} \). Câu 10: (ID: 592105) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, nếu điểm M thỏa mãn hệ thức \(\overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} + 4\overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \vec 0\) thì vị trí của điểm M thuộc miền nào trong hình vẽ? A. Miền 1. B. Miền 2. C. Miền 3. D. ở ngoài tam giác ABC. Câu 11: Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{\sqrt {2x + 1} }}{{3 - x}}\) là: A. \(D = \left( {3; + \infty } \right)\). B. \(D = \left( { - \infty ;3} \right)\). C. \(D = \left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\backslash \left\{ 3 \right\}\). D. \(D = \mathbb{R}\). Câu 12: (ID: 592107) Trong tam giác ABC, hệ thức nào sau đây sai? A. \(a = \frac{{b\sin A}}{{\sin B}}.\) B. \(b = R.\tan B.\) C. \(\sin C = \frac{{c\sin A}}{a}.\) D. \(a = 2R\sin A.\) Câu 13: Cho đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) như hình vẽ
Kết luận nào trong các kết luận sau là đúng? A. Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\). B. Tập xác định \(D = [ - 3;3]\). C. Hàm số nghịch biến trên \((1;2)\) D. Cả ba đáp án đều sai. Câu 14: Bảng biến thiên của hàm số \(y = - {x^2} + 2x - 1\) là: A. C. Câu 15: (ID: 591039) Cho hai tập hợp \(X = \left\{ {1;2;3;4} \right\}\), \(Y = \left\{ {1;2} \right\}\). Tập hợp \({C_X}Y\) là tập hợp nào sau đây? A. \(\left\{ {3;4} \right\}.\) B. \(\left\{ {1;2;3;4} \right\}.\) C. \(\left\{ {1;2} \right\}.\) D. \(\emptyset .\) Câu 16: Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị là parabol trong hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(a > 0;{\rm{ }}b > 0;{\rm{ }}c > 0\). B. \(a > 0;{\rm{ }}b < 0;{\rm{ }}c > 0\). C. \(a > 0;{\rm{ }}b < 0;{\rm{ }}c < 0\). D. \(a > 0;{\rm{ }}b > 0;{\rm{ }}c < 0\). Câu 17: (ID: 591062) Trong hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 3y - 2 \ge 0}\\{2x + y + 1 \le 0}\end{array}} \right.\). Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình? A. A(0;1). B. C(1;3). C. B(-1;1). D. D(-1;0). Câu 18: Tổng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {x^2} - 4x + 3\) trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right]\) là A. \( - 1\). B. \(2\). C. \(7\). D. \(8\). Câu 19: (ID: 591058) Cho \(\tan \alpha {\rm{ \;}} = {\rm{ \;}} - 2\). Tính giá trị của biểu thức \(P = \frac{{2\sin \alpha {\rm{ \;}} + 3\cos \alpha }}{{3\sin \alpha {\rm{ \;}} - 2\cos \alpha }}\). A. \(P = \frac{7}{4}.\) B. \(P = {\rm{ \;}} - \frac{1}{8}.\) C. \(P = {\rm{ \;}} - \frac{7}{4}.\) D. \(P = \frac{1}{8}.\) Câu 20: (ID: 428923) Cho tam giác ABC có trung tuyến BM và trọng tâm \(G\). Đặt \(\overrightarrow {BC} {\rm{\;}} = \vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {BA} {\rm{\;}} = b\). Hãy phân tích vectơ \(\overrightarrow {BG} \) theo \(\vec a\) và \(\vec b\). A. \(\overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{1}{3}\vec a + \frac{1}{3}\vec b\) B. \(\overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{2}{3}\vec a + \frac{2}{3}\vec b\) C. \(\overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{1}{3}\vec a + \frac{2}{3}\vec b\) D. \(\overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{2}{3}\vec a + \frac{1}{3}\vec b\) Câu 21: (ID: 428861) Khẳng định nào sau đây là sai? A. Ba điểm phân biệt \(A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} C\) thẳng hàng khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} = k\overrightarrow {BC} ,k \ne 0\). B. Ba điểm phân biệt \(A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} C\) thẳng hàng khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AC} = k\overrightarrow {BC} ,k \ne 0\). C. Ba điểm phân biệt \(A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} C\) thẳng hàng khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} = k\overrightarrow {AC} ,k \ne 0\). D. Ba điểm phân biệt \(A,B,C\) thẳng hàng khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AB} {\rm{\; = \;}}k\overrightarrow {AC} \). Câu 22: (ID: 590921) Cho tam giác ABC biết AB = 5, AC = 7, BC = 6. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác xấp xỉ là: A. 1,63 B. 1,71 C. 1,36 D. 1,06 Câu 23: Xác định parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) biết (P) có đỉnh \(I(2;0)\) và \((P)\) cắt trục \(Oy\) tại điểm \(M(0; - 1)\). A. \(\left( P \right):y = - \frac{1}{4}{x^2} - 3x - 1\) B. \(\left( P \right):y = - \frac{1}{4}{x^2} - x - 1\) C. \(\left( P \right):y = - \frac{1}{4}{x^2} + x - 1\). D. \(\left( P \right):y = - \frac{1}{4}{x^2} + 2x - 1\)
Câu 24: (ID: 592001) Cho ba điểm không thẳng hàng A, B, C. Điều kiện cần và đủ để ba điểm A, B, C thỏa mãn điều kiện \(\left( {\overrightarrow {CA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {CB} } \right).\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} = 0\) là: A. \(\Delta ABC\) đều. B. \(\Delta ABC\) cân tại C. C. \(\Delta ABC\) vuông tại C. D. \(\Delta ABC\) vuông cân tại C. Câu 25: (ID: 592017) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh AC = a. Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \). A. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} = \vec 0.\) B. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} = {a^2}.\) C. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} = 0.\) D. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} = \sqrt 2 {a^2}.\) Phần 2: Tự luận (5 điểm) Câu 1: a) Xác định hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) biết đồ thị của nó có đỉnh \(I\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{4}} \right)\) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng \(2.\) b) Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số tìm được. Câu 2: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn điều kiện \(\left| {\overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} - 3\overrightarrow {MC} } \right|\). Câu 3: Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b, c. Chứng minh rằng \(\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{2abc}} = \frac{{\cos A}}{a} + \frac{{\cos B}}{b} + \frac{{\cos C}}{c}\). Câu 4: Tính chiều cao CD của cây trong hình vẽ dưới đây: ----- HẾT ----- Giải đề 7 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Phần 1: Trắc nghiệm (25 câu – 5 điểm)
Câu 1 (NB): Phương pháp: Mệnh đề là câu khẳng định có tính đúng hoặc sai. Cách giải: Câu (3) không phải là mệnh đề. Chọn B. Câu 2 (TH): Phương pháp: Sử dụng công thức trung điểm: \(\overrightarrow {AM} {\rm{ \;}} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AC} } \right)\). Cách giải: Vì M là trung điểm của BC nên \(\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AM} {\rm{ \;}} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AC} } \right)}\\{ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {AM} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AC} }\\{ \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} = {\rm{ \;}} - \overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + 2\overrightarrow {AM} }\\{ \Rightarrow x = {\rm{ \;}} - 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y = 2.}\end{array}\) Vậy cặp số (x;y) cần tìm là (-1;2). Chọn C. Câu 3 (TH): Phương pháp: Tính số HS thích học một trong hai môn. Tính số HS thích học cả hai môn = Số HS thích môn Văn + số HS thích môn Toán – số HS thích một trong hai môn. Cách giải: Số học sinh thích môn Văn hoặc Toán là: 37 – 9 = 28 (bạn). Số học sinh thích cả hai môn Văn và Toán là: (17 + 19) – 28 = 8 (bạn). Chọn B. Câu 4 (TH): Phương pháp: Giải từng bất phương trình. Lấy giao hai tập hợp nghiệm của hai bất phương trình. Cách giải: Giải từng bất phương trình: \(3x - 4 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{4}{3} \Rightarrow {S_1} = \left[ {\frac{4}{3}; + \infty } \right)\). \(\frac{{x - 1}}{2} - x \ge {\rm{ \;}} - 2 \Leftrightarrow x - 1 - 2x \ge {\rm{ \;}} - 2x \Leftrightarrow x \ge 1 \Rightarrow {S_2} = \left[ {1; + \infty } \right).\). Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = {S_1} \cap {S_2} = \left[ {\frac{4}{3}; + \infty } \right).\) Chọn C. Câu 5 (TH): Phương pháp: Dựa vào các điểm thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Cách giải: Thay tọa độ điểm (2;0) vào bất phương trình ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 + 2 - 1 > 0}\\{2 \ge 2}\\{ - 0 + 2.2 > 3}\end{array}} \right.\) (đúng) nên điểm (0;2) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Dựa vào các đáp án ta thấy chỉ có đáp án C thỏa mãn. Chọn C. Câu 6 (VD): Phương pháp: Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC tính BC: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A\). Sử dụng công thức tính diện tích tam giác: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A.\) Sử dụng công thức \({S_{ABC}} = \frac{{AB.AC.BC}}{{4R}}\), từ đó suy ra R. Cách giải: Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có: \(\begin{array}{*{20}{l}}{B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A}\\{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = {9^2} + {{18}^2} - 2.9.8.\cos {{60}^0} = 243}\\{ \Rightarrow BC = 9\sqrt 3 }\end{array}\) Khi đó ta có: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A = \frac{1}{2}.9.18.\sin {60^0} = \frac{{81\sqrt 3 }}{2}\). Mà \({S_{ABC}} = \frac{{AB.AC.BC}}{{4R}} \Rightarrow R = \frac{{AB.AC.BC}}{{4{S_{ABC}}}} = \frac{{9.18.9\sqrt 3 }}{{4.\frac{{81\sqrt 3 }}{2}}} = 9.\) Chọn C. Câu 7 (TH): Phương pháp: Sử dụng định lí Sin trong tam giác ABC ta có: \(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}\). Cách giải: Xét tam giác ABC ta có: C = 1800 – (A + B) = 750. Sử dụng định lí Sin trong tam giác ABC ta có: \(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}\). \( \Rightarrow AC = \frac{{AB}}{{\sin C}}.\sin B = \frac{8}{{\sin {{75}^0}}}.\sin {45^0} \approx 5,86.\) Chọn B. Câu 8 (TH): Phương pháp: Sử dụng \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\). Cách giải: Ta có: \(\begin{array}{*{20}{l}}{{{\tan }^2}x{{\sin }^2}x - {{\tan }^2}x + {{\sin }^2}x}\\{ = {{\tan }^2}x\left( {{{\sin }^2}x - 1} \right) + {{\sin }^2}x}\\{ = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}.\left( { - {{\cos }^2}x} \right) + {{\sin }^2}x}\\{ = {\rm{ \;}} - {{\sin }^2}x + {{\sin }^2}x = 0.}\end{array}\) Chọn B. Câu 9 (VD): Phương pháp: Sử dụng quy tắc ba điểm, phép nhân vectơ với một số. Cách giải:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AM} = 2\left( {\overrightarrow {AN} + \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {CM} } \right)}\\{ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AN} + \overrightarrow {BC} + 2\overrightarrow {CM} }\\{ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AN} + 2\overrightarrow {CM} + \left( {\overrightarrow {BM} - \overrightarrow {CM} } \right)}\\{ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AN} + 2\overrightarrow {CM} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CM} }\\{ \Leftrightarrow \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AN} + \overrightarrow {CM} }\\{ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \frac{4}{3}\overrightarrow {AN} + \frac{2}{3}\overrightarrow {CM} }\end{array}\) Chọn D. Câu 10 (TH): Phương pháp: Cho tam giác ABC trọng tâm G và điểm M bất kì, ta có \(\overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = 3\overrightarrow {MG} .\) Cách giải: Theo bài ra ta có: \(\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} + 4\overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \vec 0}\\{ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MC} } \right) + 3\overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \vec 0}\\{ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {MG} {\rm{ \;}} + 3\overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \vec 0}\\{ \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \vec 0}\end{array}\) => M là trung điểm của GC. Vậy M thuộc miền 1. Chọn A. Câu 11 (TH): Phương pháp: \(\sqrt {f(x)} \) xác định khi \(f(x) \ge 0\) \(\frac{1}{{g(x)}}\) xác định khi \(g(x) \ne 0\) Cách giải: Hàm số \(y = \frac{{\sqrt {2x + 1} }}{{3 - x}}\) xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 \ge 0\\3 - x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - \frac{1}{2}\\x \ne 3\end{array} \right.\) Vậy tập xác định \(D = \left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\backslash \left\{ 3 \right\}\) Chọn C. Câu 12 (TH): Phương pháp: Sử dụng định lí Sin trong tam giác: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\). Cách giải: Sử dụng định lí Sin trong tam giác ta có: \(\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R}\\{ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{{b\sin A}}{{\sin B}}}\\{\sin c = \frac{{c\sin A}}{a}}\\{a = 2R\sin A}\end{array}} \right.}\end{array}\) Suy ra A, C, D đúng. Chọn B. Câu 13 (NB): Phương pháp: Quan sát đồ thị và kết luận Cách giải: Quan sát đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta thấy
Đồ thị kéo dài qua điểm (-3;0) và (3;0) nên tập xác định \(D \ne [ - 3;3]\) (loại B). Trên (0;3): Đồ thị đi xuống từ trái qua phải => Hàm số nghịch biến trên (0;3) (loại A) => Hàm số nghịch biến trên (1;2) vì \((1;2) \subset (0;3).\) Chọn C. Câu 14 (TH): Cách giải: Hàm số\(y = - {x^2} + 2x - 1\) có \(a = - 1,b = 2\) Vì \(a = - 1 < 0\), nên loại C và D. Hoành độ đỉnh \( - \frac{b}{{2a}} = - \frac{2}{{2.( - 1)}} = 1\), tung độ đỉnh \(y(1) = - {1^2} + 2.1 - 1 = 0\) Chọn A. Câu 15 (NB): Phương pháp: \({C_X}Y = X\backslash Y = \{ x \in X\) và \(x \notin Y\} .\) Cách giải: Ta có: \({C_X}Y = X\backslash Y = \left\{ {3;4} \right\}.\) Chọn A. Câu 16 (NB): Phương pháp: Quan sát đồ thị Cách giải: Vì Parabol hướng bề lõm lên trên nên \(a > 0\). Đồ thị hàm số cắt \(Oy\) tại điểm \(\left( {0;c} \right)\) ở dưới \(Ox \Rightarrow c < 0\)(Loại A, B). Hoành độ đỉnh Parabol là \( - \frac{b}{{2a}} < 0\), mà \(a > 0 \Rightarrow b > 0\)(Loại C) Chọn D. Câu 17 (TH): Phương pháp: Thay trực tiếp tọa độ các điểm ở các đáp án vào hệ bất phương trình. Cách giải: Thay tọa độ điểm A(0;1) vào bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 + 3.1 - 2 \ge 0}\\{2.0 + 1 + 1 \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 \ge 0}\\{2 \le 0}\end{array}} \right.\) (sai) Thay tọa độ điểm C(1;3) vào bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + 3.3 - 2 \ge 0}\\{2.1 + 3 + 1 \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{8 \ge 0}\\{6 \le 0}\end{array}} \right.\) (sai) Thay tọa độ điểm B(-1;1) vào bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1 + 3.1 - 2 \ge 0}\\{2\left( { - 1} \right) + 1 + 1 \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \ge 0}\\{0 \le 0}\end{array}} \right.\) (đúng) Thay tọa độ điểm D(-1;0) vào bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1 + 3.0 - 2 \ge 0}\\{2\left( { - 1} \right) + 0 + 1 \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 3 \ge 0}\\{ - 1 \le 0}\end{array}} \right.\) (sai) Vậy điểm B(-1;1) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình. Chọn C. Câu 18 (VD): Cách giải: Hàm số \(y = {x^2} - 4x + 3\) có \(a = 1 > 0,b = - 4 \Rightarrow - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 4}}{{2.1}} = 2;y(2) = - 1.\) \(y( - 1) = 8;y(4) = 3\) Ta có bảng biến thiên trên \(\left[ { - 1;4} \right]\) là: Từ bảng biến thiên suy ra: Trên \(\left[ { - 1;4} \right]\): Giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(8\) và giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \( - 1\) Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là \(8 + \left( { - 1} \right) = 7\). Chọn C. Câu 19 (VD): Phương pháp: Chia cả tử và mẫu biểu thức P cho \cos \alpha và biểu diễn biểu thức P theo \tan \alpha . Cách giải: Vì \(\tan \alpha {\rm{ \;}} = {\rm{ \;}} - 2\) xác định nên \(\cos \alpha {\rm{ \;}} \ne 0.\) Chia cả tử và mẫu của biểu thức P cho \(\cos \alpha \) ta được: \(\begin{array}{*{20}{l}}{P = \frac{{2\sin \alpha {\rm{ \;}} + 3\cos \alpha }}{{3\sin \alpha {\rm{ \;}} - 2\cos \alpha }} = \frac{{2\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + 3}}{{3\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 2}}}\\{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \frac{{2\tan \alpha {\rm{ \;}} + 3}}{{3\tan \alpha {\rm{ \;}} - 2}} = \frac{{2.\left( { - 2} \right) + 3}}{{3.\left( { - 2} \right) - 2}} = \frac{{ - 1}}{{ - 8}} = \frac{1}{8}.}\end{array}\) Chọn D. Câu 20 (TH): Phương pháp: Áp dụng quy tắc cộng vecto, quy tắc hình bình hành để biểu diễn véctơ. Cách giải:
\(\overrightarrow {BM} {\rm{\;}} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \) \( \Rightarrow \overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BM} {\rm{\;}} = \frac{2}{3} \cdot \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \) Mặt khác, \(\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} = \vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {BC} {\rm{\;}} = \vec b\) nên ta có: \(\overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{1}{3}\vec a + \frac{1}{3}\vec b\) Vậy \(\overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{1}{3}\vec a + \frac{1}{3}\vec b\). Chọn A. Câu 21 (NB): Phương pháp: Áp dụng điều kiện để hai vecto cùng phương. Điều kiện cần và đủ để ba điểm thẳng hàng. Cách giải: Theo lý thuyết, ba điểm \(A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} C\) phân biệt thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại \(k\) khác \(0\) sao cho \(\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} = k\overrightarrow {AC} \). Do vậy, khẳng định sai là: Ba điểm phân biệt \(A,B,C\) thẳng hàng khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AB} {\rm{\; = \;}}k\overrightarrow {AC} \). Vì xảy ra trường hợp \(k = 0\), khi đó \(\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} = k\overrightarrow {AC} {\rm{\;}} = 0.\overrightarrow {AC} {\rm{\;}} = 0\) (vô lý) Chọn D. Câu 22 (NB): Phương pháp: Dùng công thức diện tích \(S = pr = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \) Cách giải: \(\begin{array}{*{20}{l}}{S = pr = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} }\\{ \Rightarrow r = \frac{{\sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} }}{p} = 1,63}\end{array}\) với \(p = \frac{{a + b + c}}{2} = 9\) Chọn A. Câu 23 (VD): Phương pháp: Parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\) có đỉnh \(I\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\) và cắt Oy tại (0;c). Cách giải: Ta có (P) cắt Oy tại điểm \(M\left( {0; - 1} \right)\) suy ra \(y\left( 0 \right) = - 1 \Leftrightarrow c = - 1\) Lại có: đỉnh \(I\left( {2;0} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 2\\a{.2^2} + b.2 + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 4a\\4a + 2b - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{4}\\b = 1\end{array} \right.\) Vậy parabol đó là \(\left( P \right):y = - \frac{1}{4}{x^2} + x - 1\) Chọn C. Câu 24 (TH): Phương pháp: Sử dụng quy tắc hình bình hành. Sử dụng: hai vectơ vuông góc với nhau thì tích vô hướng bằng 0. Cách giải:
Lấy D sao cho ACBD là hình bình hành, khi đó ta có: \(\overrightarrow {CA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {CB} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {CD} \). Theo bài ra ta có: \(\left( {\overrightarrow {CA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {CB} } \right).\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {CD} .\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} = 0\) \( \Rightarrow CD \bot AB\). Hình bình hành ACBD có hai đường chéo vuông góc nên là hình thoi, do đó CA = CB. Vậy tam giác ABC cân tại C. Chọn B. Câu 25 (NB): Phương pháp: Sử dụng định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ: \(\vec a.\vec b{\rm{ \;}} = \left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|.\cos \left( {\vec a,\vec b} \right)\). Cách giải: Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên \(AB \bot AC\). Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} = 0.\) Chọn C. Phần 2: Tự luận (4 điểm) Câu 1 (VD): Phương pháp: Phương pháp: a) Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\) có đỉnh \(I\left( { - \frac{b}{{2a}};\frac{{ - \Delta }}{{4a}}} \right)\) b) Sự biến thiên * Vẽ đồ thị + Đỉnh I\(\left( { - \frac{b}{{2a}};\frac{{ - \Delta }}{{4a}}} \right)\) + Trục đối xứng \(x = - \frac{b}{{2a}}\) + Giao với các trục (nếu có) + Lấy các điểm thuộc đồ thị (đối xứng nhau qua trục đối xứng). Cách giải: a) Ta có: Parabol cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng \(2\) nên \(y(2) = 0 \Leftrightarrow 4a + 2b + c = 0\) Đồ thị của nó có đỉnh \(I\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{4}} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{3}{2}\\{\left( {\frac{3}{2}} \right)^2}a + \frac{3}{2}b + c = \frac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a + b = 0\\9a + 6b + 4c = 1\end{array} \right.\) Kết hợp, ta được hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3a + b = 0\\9a + 6b + 4c = 1\\4a + 2b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 3\\c = - 2\end{array} \right.\) Vậy parabol đó là \(y = - {x^2} + 3x - 2\) b) Hàm số \(y = - {x^2} + 3x - 2\) có \(a = - 1 < 0\) và đỉnh là \(I\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{4}} \right)\) Ta có bảng biến thiên: Hàm số đồng biến trên \(( - \infty ;\frac{3}{2})\) và nghịch biến trên \((\frac{3}{2}; + \infty )\) * Vẽ đồ thị hàm số Đỉnh \(I\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{4}} \right)\) Trục đối xứng \(x = \frac{3}{2}\) Cắt trục tung tại A(0;-2) và cắt Ox tại B(1;0) và C(2;0) Lấy D(3;-2) thuộc (P), đối xứng với A(0;-2) qua trục đối xứng
Câu 2 (VD): Phương pháp: Gọi I là trung điểm của AB, J là điểm nằm trên đường thẳng AC thỏa mãn điều kiện \(\overrightarrow {JA} = 3\overrightarrow {JC} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {JA} - 3\overrightarrow {JC} = \vec 0\) Đưa đẳng thức đã cho về dạng MI = MJ, sử dụng công thức trung điểm, quy tắc ba điểm. Từ đó suy ra tập hợp điểm M. Cách giải:
Gọi I là trung điểm của AB, J là điểm nằm trên đường thẳng AC thỏa mãn điều kiện \(\overrightarrow {JA} = 3\overrightarrow {JC} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {JA} - 3\overrightarrow {JC} = \vec 0\) Khi đó ta có: \(\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} - 3\overrightarrow {MC} } \right|}\\{ \Leftrightarrow \left| {2\overrightarrow {MI} } \right| = \left| {\overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JA} - 3\left( {\overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JC} } \right)} \right|}\\{ \Leftrightarrow \left| {2\overrightarrow {MI} } \right| = \left| { - 2\overrightarrow {MJ} + \left( {\overrightarrow {JA} - 3\overrightarrow {JC} } \right)} \right|}\\{ \Leftrightarrow \left| {2\overrightarrow {MI} } \right| = \left| { - 2\overrightarrow {MJ} } \right|}\\{ \Leftrightarrow MI = MJ}\end{array}\) Vậy tập hợp các điểm M là đường trung trực của IJ. Câu 3 (VDC): Phương pháp: Sử dụng \(\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BC} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {CA} {\rm{ \;}} = \vec 0\), bình phương hai vế, sử dụng khái niệm tích vô hướng của 2 vectơ. Cách giải: Ta có: \(\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \vec 0}\\{ \Rightarrow {{\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} } \right)}^2} = 0}\\{ \Leftrightarrow {{\overrightarrow {AB} }^2} + {{\overrightarrow {BC} }^2} + {{\overrightarrow {CA} }^2} + 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + 2\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} + 2\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {AB} = 0}\\{ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = 2\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} + 2\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CA} + 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC} }\\{ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = 2ac\cos B + 2bc\cos A + 2ab\cos C}\\{ \Leftrightarrow \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{2abc}} = \frac{{\cos A}}{a} + \frac{{\cos B}}{b} + \frac{{\cos C}}{c}{\mkern 1mu} \left( {dpcm} \right).}\end{array}\) Mặt khác, theo định lí cosin trong tam giác ABC ta có: \(\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A}\\{ \Leftrightarrow {a^2} = 5{a^2} - 2bc\cos A}\\{ \Leftrightarrow 2bc\cos A = 4{a^2}}\\{ \Leftrightarrow bc = \frac{{2{a^2}}}{{\cos A}} = \frac{{2{a^2}}}{{\cos \alpha }}}\end{array}\) Vậy \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}\frac{{2{a^2}}}{{2\cos \alpha }}\sin \alpha {\rm{ \;}} = {a^2}\tan \alpha .\) Câu 4 (VD): Cách giải: Ta có: \(\widehat {DBA} = {180^ \circ } - \widehat {DBC} = {180^ \circ } - {40^ \circ } = {140^ \circ } \Rightarrow \widehat {ADB} = {180^ \circ } - {30^ \circ } - {140^ \circ } = {10^ \circ }\) Áp dụng định lí sin trong \(\Delta ADB\) ta có: \(\begin{array}{l}\frac{{AB}}{{\sin D}} = \frac{{AD}}{{\sin B}} \Leftrightarrow \frac{{15}}{{\sin {{10}^ \circ }}} = \frac{{AD}}{{\sin {{140}^ \circ }}}\\ \Rightarrow AD = \sin {140^ \circ }.\frac{{15}}{{\sin {{10}^ \circ }}}\end{array}\) Lại có: \(CD = AD.\sin A = AD.\sin {30^ \circ }\) \( \Rightarrow CD = \sin {140^ \circ }.\frac{{15}}{{\sin {{10}^ \circ }}}.\sin {30^ \circ } \approx 27,76\;(m)\) Vậy cây đó cao khoảng 27,76m. Đề 8 Phần 1: Trắc nghiệm (25 câu – 5 điểm) Câu 1: Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là mệnh đề? a) Hãy đi nhanh lên! b) Hà Nội là thủ đô của Việt Nam. c) \(5 + 7 + 4 = 15\) d) Năm 2018 là năm nhuận. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Câu 2: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng \(a\). Khi đó \(\left| {\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AC} } \right|\) bằng: A. \(\frac{{a\sqrt 5 }}{2}\) B. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) C. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) D. \(a\sqrt 5 \) Câu 3: Cho tam giác ABC và điểm \(M\) thỏa mãn điều kiện \(\overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \vec 0\). Mệnh đề nào sau đây sai? A. MABC là hình bình hành. B. \(\overrightarrow {AM} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {AC} \) C. \(\overrightarrow {BA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BC} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {BM} \) D. \(\overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {BC} \) Câu 4: Cho tam giác ABC có \(AB = \sqrt 5 ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} AC = \sqrt 2 \) và \(\angle C = {45^0}\). Tính độ dài cạnh BC. A. \(3\) B. \(2\) C. \(\sqrt 3 \) D. \(\sqrt 2 \) Câu 5: Cặp số (x;y) nào là sau đây là một nghiệm của bất phương trình \(x--2y + 5 > 0\). A. (x;y) = (0;4). B. (x;y) = (2;5). C. (x;y) = (2;3). D. (x;y) = (1;4). Câu 6: Cho tam giác ABC và điểm \(M\) thỏa mãn điều kiện \(\overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \vec 0\). Mệnh đề nào sau đây sai? A. MABC là hình bình hành. B. \(\overrightarrow {AM} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {AC} \) C. \(\overrightarrow {BA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BC} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {BM} \) D. \(\overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {BC} \) Câu 7: Tam giác ABC có \(\angle A = {45^0},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c = 6,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \angle B = {75^0}\). Độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng: A. \(8\sqrt 3 \) B. \(2\sqrt 3 \) C. \(6\sqrt 3 \) D. \(4\sqrt 3 \) Câu 8: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{2}{{x - 1}}}&{x \in \left( { - \infty ;0} \right)}\\{\sqrt {x + 1} }&{x \in \left[ {0;2} \right]}\\{{x^2} - 1}&{x \in \left( {2;5} \right]}\end{array}} \right.\). Tính \(f\left( 4 \right).\) A. \(f\left( 4 \right) = \frac{2}{3}.\) B. \(f\left( 4 \right) = 15.\) C. \(f\left( 4 \right) = \sqrt 5 .\) D. Không tính được
Câu 9: Cho hai tập hợp: \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|{x^2} - 7x + 6 = 0} \right\}\)và \(B = \left\{ {x \in \mathbb{R}|\left| x \right| > 4} \right\}\). Khẳng định nào sau đây đúng? A. \(A \cup B = A\) B. \(A \cap B = A \cup B\) C. \(\left( {A\backslash B} \right) \subset A\) D. \(B\backslash A = \emptyset \) Câu 10: Cho các tập hợp A, B, C được minh họa bằng biểu đồ Ven như hình vẽ. Phần tô màu xám trong hình là biểu diễn của tập hợp nào sau đây?
A. \(A \cap B \cap C.\) B. \(\left( {A\backslash C} \right) \cup \left( {A\backslash B} \right).\) C. \(\left( {B \cup C} \right)\backslash A.\) D. \(\left( {B \cap C} \right)\backslash A.\) Câu 11: Để xác định chiều cao của một toà nhà cao tầng, một người đứng tại điểm M, sử dụng giác kế nhìn thấy đỉnh toà nhà với góc nâng \(\angle RQA = {79^0}\), người đó lùi ra xa một khoảng cách LM = 50 m thì nhìn thấy đỉnh toà nhà với góc nâng \(\angle RPA = {65^0}\). Hãy tính chiều cao của toà nhà (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất), biết rằng khoảng cách từ mặt đất đến ống ngắm của giác kế đó là PL = QM = 1,4m. A. 135,8m B. 183,5m C. 158,3m D. 185,3m Câu 12: Tập xác định \({\rm{D}}\) của hàm số \(y = \frac{{3x - 1}}{{\sqrt {2x - 2} }}\) là: A. \({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\) B. \({\rm{D}} = \mathbb{R}.\) C. \({\rm{D}} = \left( {1; + \infty } \right).\) D. \({\rm{D}} = \left[ {1; + \infty } \right).\) Câu 13: Cho hàm số \(y = - {x^2} + 4x + 1\). Khẳng định nào sau đây sai? A. Trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) hàm số đồng biến. B. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\). C. Trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\)hàm số nghịch biến. D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {4; + \infty } \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;4} \right)\). Câu 14: Cho \(\cos \alpha {\rm{ \;}} = \frac{1}{4}\). Giá trị của \(P = \frac{{\tan \alpha {\rm{ \;}} + 2\cot \alpha }}{{2\tan \alpha {\rm{ \;}} + 3\cot \alpha }}\) là:
A. \( - \frac{{17}}{{33}}\) B. \(\frac{{17}}{{33}}\) C. \(\frac{1}{2}\) D. \(\frac{{16}}{{33}}\) Câu 15: Cho ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {MA} \), \(\overrightarrow {{F_2}} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {MB} \), \(\overrightarrow {{F_3}} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {MC} \) cùng tác động vào một vật tại điểm \(M\) và vật đứng yên. Cho biết cường độ của \(\overrightarrow {{F_1}} \), \(\overrightarrow {{F_2}} \) đều bằng 50N và góc \(\widehat {AMB} = {60^^\circ }\). Khi đó cường độ lực \(\overrightarrow {{F_1}} \) của là
A. \(100\sqrt 3 N\) B. \(25\sqrt 3 N\) C. \(50\sqrt 3 N\) D. \(50\sqrt 2 N\) Câu 16: Cho ba véctơ bất kì \(\vec u,\vec v,\vec w\) bất kì. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. \(\left| {\vec u + \vec v + \vec w} \right| \ge \left| {\vec u} \right| + \left| {\vec v} \right| + \left| {\vec w} \right|\) B. \(\left| {\vec u + \vec v} \right| \le \left| {\vec u} \right| + \left| {\vec v} \right|\) C. \(\left| {\vec u + \vec v + \vec w} \right| \ge \left| {\vec u} \right| - \left| {\vec v} \right| + \left| {\vec w} \right|\) D. \(\left| {\vec u + \vec v} \right| \le \left| {\vec u} \right| - \left| {\vec v} \right|\) Câu 17: Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\,\,(a \ne 0)\) có đồ thị. Biết đồ thị của hàm số có đỉnh \(I(1;1)\) và đi qua điểm \(A(2;3)\). Tính tổng \(S = {a^2} + {b^2} + {c^2}\) A. \(3\). B. \(4\). C. \(29\). D. \(1\). Câu 18: Nếu hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị như sau thì dấu các hệ số của nó là
A. \(a > 0;{\rm{ }}b > 0;{\rm{ }}c > 0\). B. \(a > 0;{\rm{ }}b < 0;{\rm{ }}c < 0\). C. \(a > 0;{\rm{ }}b < 0;{\rm{ }}c > 0\). D. \(a > 0;{\rm{ }}b > 0;{\rm{ }}c < 0\).
Câu 19: Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB = 6. Giá trị của \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \) bằng A. 0. B. 36. C. -36. D. \(36\sqrt 2 .\) Câu 20: Trong đợt hội diễn văn nghệ chào mừng 20/11, lớp 10A đăng kí hai tiết mục là múa và diễn kịch. Trong danh sách, có 9 học sinh tham gia tiết mục múa, 13 học sinh tham gia diễn kịch; trong đó có 4 học sinh tham gia cả tiết mục múa và diễn kịch. Hỏi lớp 10A có tất cả bao nhiêu học sinh tham gia hội diễn văn nghệ? A. 15. B. 18. C. 21. D. 26. Câu 21: (ID: 590911) Đường thẳng \(2x - 3y + 6 = 0\) chia mặt phẳng tọa độ thành các miền như hình vẽ. Miền nghiệm của \(2x - 3y + 6 \ge 0\) là:
A. Nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ O và có lấy đường thẳng d. B. Nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ O và có lấy đường thẳng d. C. Nửa mặt phẳng bờ d không chứa gốc tọa độ O và không lấy đường thẳng d. D. Nửa mặt phẳng bờ d không chứa gốc tọa độ O và không lấy đường thẳng d. Câu 22: Điểm nào dưới đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2y > - 3}\\{3x - y < 5}\\{y - 1 > 0}\end{array}} \right.\). A. \(\left( { - 2; - 1} \right)\) B. \(\left( {2;0} \right)\) C. \(\left( {3;2} \right)\) D. \(\left( {0,2} \right)\) Câu 23: Giá trị của biểu thức \(B = \cos {0^0} + \cos {20^0} + \cos {40^0} + ... + \cos {160^0} + \cos {180^0}\) là A. \(0\) B. \(1\) C. \( - 1\) D. \(\frac{1}{2}\) Câu 24: Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 6 và điểm M thỏa mãn \(\overrightarrow {BM} {\rm{ \;}} = {\rm{ \;}} - \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \). Tích vô hướng \(\overrightarrow {BM} .\overrightarrow {BA} \) bằng A. \(6\) B. \( - 6\sqrt 3 .\) C. \(6\sqrt 3 .\) D. \( - 6.\) Câu 25: Khẳng định nào dưới đây đúng về hàm số \(y = - 3{x^2} + x + 2\)? A. Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{{25}}{{12}}\) tại \(x = \frac{1}{6}\) B. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{{25}}{{12}}\) tại \(x = - \frac{1}{6}\) C. Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{{25}}{3}\) D. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(2\) tại \(x = \frac{1}{3}\). Phần 2: Tự luận (5 điểm) Câu 1: Cho tam giác ABC. a) Tìm điểm K sao cho \(\overrightarrow {KA} {\rm{ \;}} + 2\overrightarrow {KB} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {CB} \). b) Tìm điểm M sao cho \(\overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} + 2\overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} + 2\overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \vec 0\). Câu 2: Cho \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\) đi qua ba điểm \(A\left( {1;4} \right)\) và có đỉnh là \(I\left( {2;5} \right)\). Tìm parabol và xét sự biến thiên của hàm số đó.
Câu 3: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có a) \(\cot A + \cot B + \cot C = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}}R\) b) \(\sin \frac{A}{2} = \sqrt {\frac{{(p - b)(p - c)}}{{bc}}} \)
----- HẾT ----- Giải đề 8 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Phần 1: Trắc nghiệm (25 câu – 5 điểm)
Câu 1 (NB): Phương pháp: Mệnh đề là những khẳng định có tính đúng hoặc sai. Cách giải: Câu a) là câu cảm thán không phải là mệnh đề. Các câu b, c, d là mệnh đề => Có 3 mệnh đề. Chọn C. Câu 2 (TH): Phương pháp: Gọi M là trung điểm BC. Sử dụng tính chất trung điểm. Cách giải:
Gọi \(M\) là trung điểm BC. Ta có: \(\left| {\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {AM} } \right| = 2AM = 2\sqrt {A{B^2} + B{M^2}} {\rm{ \;}} = 2\sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} {\rm{ \;}} = a\sqrt 5 \). Chọn D. Câu 3 (TH): Phương pháp: Biến đổi \(\overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \vec 0\) về hai vectơ bằng nhau. Xác định vị trí điểm M dựa vào điều kiện vừa tìm được. Cách giải: Ta có \(\overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \vec 0\)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \vec 0{\rm{ \;}} \Leftrightarrow \overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {AB} \) \( \Rightarrow \) MABC là hình bình hành. Chọn A. Câu 4 (NB): Phương pháp: Sử dụng định lí cosin trong tam giác tại đỉnh C: \({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C\). Cách giải: Ta có: \({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C\). \(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow A{B^2} = B{C^2} + A{C^2} - 2BC.AC.\cos C}\\{ \Rightarrow 5 = B{C^2} + 2 - 2.BC.\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2}}\\{ \Leftrightarrow B{C^2} - 2BC - 3 = 0}\\{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC = 3{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {tm} \right)}\\{BC = {\rm{ \;}} - 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {ktm} \right)}\end{array}} \right.}\end{array}\) Vậy BC = 3. Chọn A. Câu 5 (NB): Phương pháp: Cặp số nào thỏa mãn bất phương trình là nghiệm của bất phương trình. Cách giải: Thay cặp số (x;y) = (0;4) vào bất phương trình: 0 – 2.4 + 5 > 0 => Sai. Thay cặp số (x;y) = (2;5) vào bất phương trình: 2 – 2. 5 + 5 > 0 => Sai. Thay cặp số (x;y) = (2;3) vào bất phương trình: 2 – 2.3 + 5 > 0 => Đúng. Thay cặp số (x;y) = (1;4) vào bất phương trình: 1 – 2.4 + 5 > 0 => Sai. Chọn C. Câu 6 (TH): Phương pháp: Biến đổi \(\overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \vec 0\) về hai vectơ bằng nhau. Xác định vị trí điểm M dựa vào điều kiện vừa tìm được. Cách giải: Ta có \(\overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \vec 0\)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \vec 0{\rm{ \;}} \Leftrightarrow \overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {AB} \) \( \Rightarrow \) MABC là hình bình hành. Chọn A. Câu 7 (NB): Phương pháp: Tính \(\angle C = {180^0} - \left( {\angle A + \angle B} \right)\). Sử dụng định lí sin: \(\frac{c}{{\sin C}} = 2R\). Cách giải: Ta có: \(\angle C = {180^0} - \left( {\angle A + \angle B} \right) = {60^0}\). Áp dụng định lí sin ta có: \(\frac{c}{{\sin C}} = 2R \Rightarrow R = \frac{c}{{2\sin C}} = \frac{6}{{2\sin {{60}^0}}} = 2\sqrt 3 \). Chọn B. Câu 8 (NB): Phương pháp: Thay giá trị x=4 vào hàm số có công thức tương ứng. Cách giải: Ta có: \(4 \in (2;5]\) nên \(f(4) = {4^2} - 1 = 15.\) Chọn B. Câu 9 (TH): Phương pháp: Giải phương trình, bất phương trình. Xác định tập hợp \(A\), \(B\) bằng phương pháp liệt kê phần tử, đưa về cách viết khoảng, nửa khoảng. Xác định \(A \cap B\); \(A \cup B\); \(A\backslash B\); \(B\backslash A\). Cách giải: *) \({x^2} - 7x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 1 = 0}\\{x - 6 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = 6}\end{array}} \right.\) (thỏa mãn) \( \Rightarrow A = \left\{ {1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 6} \right\}\) *) \(\left| x \right| > 4 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x < {\rm{\;}} - 4}\\{x > 4}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow x \in \left( { - \infty ;{\mkern 1mu} - 4} \right) \cup \left( {4;{\mkern 1mu} + \infty } \right)\) \( \Rightarrow B = \left( { - \infty ;{\mkern 1mu} - 4} \right) \cup \left( {4;{\mkern 1mu} + \infty } \right)\) Ta có: \(A \cup B = \left( { - \infty ;{\mkern 1mu} - 4} \right) \cup \left\{ 1 \right\} \cup \left( {4;{\mkern 1mu} + \infty } \right)\) , \(A \cap B = \left\{ 6 \right\}\) \(B\backslash A = \left( { - \infty ;{\mkern 1mu} - 4} \right) \cup \left( {4;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 6} \right) \cup \left( {6; + \infty } \right)\), \(A\backslash B = \left\{ 1 \right\}\) Vậy đáp án đúng là: \(\left( {A\backslash B} \right) \subset A\) Chọn C. Câu 10 (TH): Phương pháp: Sử dụng khái niệm các phép toán trên tập hợp. Cách giải: Dễ thấy phần tô màu không thuộc A nên loại đáp án A, B. Phần tô màu trong hình vẽ biểu diễn cho tập hợp \(\left( {B \cap C} \right)\backslash A.\) Chọn D. Câu 11 (TH): Phương pháp: Tính PR và QR theo h = AR và \(\tan \alpha {\rm{ \;}} = \tan {65^0},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \tan \beta {\rm{ \;}} = \tan {79^0}\). Sử dụng d = PQ = PR – QR, tính d. Tính chiều cao tòa nhà bằng d + RO. Cách giải: Đặt d = PQ = LM = 50m, h = AR là chiều cao từ giác kế đến đỉnh tòa nhà. Ta có: \(\angle APR = \alpha {\rm{ \;}} = {65^0},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \angle AQR = \beta {\rm{ \;}} = {79^0}\). Gọi \({d_1} = PR = \frac{h}{{\tan \alpha }},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {d_2} = QR = \frac{h}{{\tan \beta }}\), ta có: \(\begin{array}{*{20}{l}}{d = {d_1} - {d_2} = \frac{h}{{\tan \alpha }} - \frac{h}{{\tan \beta }} = h\left( {\frac{1}{{\tan \alpha }} - \frac{1}{{\tan \beta }}} \right)}\\{ \Rightarrow h = \frac{d}{{\frac{1}{{\tan \alpha }} - \frac{1}{{\tan \beta }}}} = \frac{{50}}{{\frac{1}{{\tan {{65}^0}}} - \frac{1}{{\tan {{79}^0}}}}} \approx 183,9{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( m \right)}\end{array}\) Vậy chiều cao của tòa nhà là AR + RO \( \approx 183,9 + 1,4 = 185,3{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( m \right)\). Chọn D. Câu 12 (TH): Phương pháp: Dùng công thức \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\) để tính cos x Cách giải: Hàm số \(y = \frac{{3x - 1}}{{\sqrt {2x - 2} }}\) xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x - 2} \ne 0\\2x - 2 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1\) Vậy tập xác định \({\rm{D}} = \left( {1; + \infty } \right).\) Chọn C. Câu 13 (TH): Phương pháp: Lập bảng biến thiên, suy ra các khoản đồng biến nghịch biến. Cách giải: Hàm số \(y = - {x^2} + 4x + 1\) có \(a = - 1,b = 4\) Đỉnh của parabol: \({x_I} = - \frac{b}{{2a}} = 2,{y_I} = - {2^2} + 4.2 + 1 = 5.\) Bảng biến thiên của hàm số: Dựa vào bảng biến thiên suy ra khẳng định D sai. Chọn D. Câu 14 (TH): Phương pháp: Tìm \({\sin ^2}\alpha \) dựa vào đẳng thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) Chia cả tử và mẫu của P cho \(\sin \alpha \), tính P theo \(\cos \alpha \) và \({\sin ^2}\alpha \). Cách giải: Chia cả tử và mẫu cho \(\sin \alpha {\rm{ \;}} \ne 0\) ta được: \(\begin{array}{*{20}{l}}{P = \frac{{\tan \alpha {\rm{ \;}} + 2\cot \alpha }}{{2\tan \alpha {\rm{ \;}} + 3\cot \alpha }}}\\{P = \frac{{\frac{1}{{\cos \alpha }} + \frac{{2\cos \alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }}}}{{\frac{2}{{\cos \alpha }} + \frac{{3\cos \alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }}}}}\end{array}\) Ta có: \(\begin{array}{*{20}{l}}{{{\sin }^2}\alpha {\rm{ \;}} + {{\cos }^2}\alpha {\rm{ \;}} = 1}\\{ \Rightarrow {{\sin }^2}\alpha {\rm{ \;}} + {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^2} = 1}\\{ \Leftrightarrow {{\sin }^2}\alpha {\rm{ \;}} = \frac{{15}}{{16}}}\end{array}\) Khi đó: \(P = \frac{{\frac{1}{{\frac{1}{4}}} + \frac{{2.\frac{1}{4}}}{{\frac{{15}}{{16}}}}}}{{\frac{2}{{\frac{1}{4}}} + \frac{{3.\frac{1}{4}}}{{\frac{{15}}{{16}}}}}} = \frac{{\frac{{68}}{{15}}}}{{\frac{{44}}{5}}} = \frac{{17}}{{33}}\). Chọn B. Câu 15 (TH): Phương pháp: Vì vật đứng yên nên \(\overrightarrow {{F_1}} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {{F_2}} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {{F_3}} {\rm{ \;}} = \vec 0\). Xác định \(\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_1}} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right|\), dựa vào tam giác MAB đều. Cách giải:
Ta có tam giác MAB đều. Do vật đứng yên nên ta có: \(\overrightarrow {{F_1}} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {{F_2}} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {{F_3}} {\rm{ \;}} = \vec 0\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{F_3}} {\rm{ \;}} = {\rm{ \;}} - (\overrightarrow {{F_1}} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {{F_2}} )\)\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_1}} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right|\) \( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {ME} } \right| = 2MH = 2.50\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 50\sqrt 3 \) (với MAEB là hình bình hành tâm \(H\)). Chọn C. Câu 16 (TH): Phương pháp: Đặt \(\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} = \vec u\), \(\overrightarrow {BC} {\rm{ \;}} = \vec v\) suy ra \(\vec u + \vec v = \overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BC} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {AC} \). Xét các trường hợp A, B, C thẳng hàng; A, B, C không thẳng hàng. Ngoài ra, có thể chỉ ra các đáp án sai bằng cách chỉ ra một trường hợp mà mệnh đề đó không đúng. Cách giải: Đặt \(\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} = \vec u\), \(\overrightarrow {BC} {\rm{ \;}} = \vec v\) khi đó ta có \(\vec u + \vec v = \overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BC} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {AC} \) Nếu A,B,C thẳng hàng và \(B\) nằm giữa A,C thì \(\left| {\vec u + \vec v} \right| = \left| {\vec u} \right| + \left| {\vec v} \right|\) Nếu A,B,C thẳng hàng và \(B\)không nằm giữa A,C thì \(\left| {\vec u + \vec v} \right| < \left| {\vec u} \right| + \left| {\vec v} \right|\) Nếu A,B,C không thẳng hàng thì trong tam giác ABC có \(AB + BC > AC\). Suy ra \(\left| {\vec u + \vec v} \right| < \left| {\vec u} \right| + \left| {\vec v} \right|\) Do đó \(\left| {\vec u + \vec v} \right| \le \left| {\vec u} \right| + \left| {\vec v} \right|\) Từ đó suy ra, đáp án B đúng Đáp án A, C sai vì chọn \(\vec v = \vec 0\) thì có \(\left| {\vec u + \vec w} \right| \ge \left| {\vec u} \right| + \left| {\vec w} \right|\) (sai theo chứng minh ở trên). Đáp án D sai vì chọn \(\vec u = \vec 0\) và \(\vec v \ne \vec 0\) thì có \(\left| {\vec v} \right| \le {\rm{ \;}} - \left| {\vec v} \right|\)\( \Rightarrow \) vô lý vì độ dài véctơ khác vectơ-không là một số dương. Chọn A. Câu 17 (VD): Cách giải: Hàm số có hoành độ đỉnh \({x_I} = - \frac{b}{{2a}} = 1\), tung độ đỉnh \({y_I} = a{.1^2} + b.1 + c = 1\) Điểm \(A(2;3)\) thuộc đồ thị nên \(a{.2^2} + b.2 + c = 3\) hay \(4a + 2b + c = 3\) Từ đó ta có hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b + c = 1}\\{4a + 2b + c = 3}\\{ - \frac{b}{{2a}} = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b + c = 1}\\{4a + 2b + c = 3}\\{2a + b = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{b = - 4}\\{c = 3}\end{array}} \right.\) Suy ra \(S = {a^2} + {b^2} + {c^2}\)=29 Chọn C. Câu 18 (TH): Cách giải: Đồ thị hàm số có bề lõm hướng lên \( \Rightarrow a > 0\). Đồ thị hàm số cắt \(Oy\)tại điểm có tung độ âm \( \Rightarrow c < 0\). Loại A, C. Đồ thị hàm số có trục đối xứng bên trái \(Oy\): \( \Rightarrow - \frac{b}{{2a}} < 0 \Rightarrow b > 0\). Loại B. Chọn D. Câu 19 (TH): Phương pháp: Sử dụng công thức: \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} {\rm{ \;}} = BA.BC.\cos \angle \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right).\) Cách giải: Vì ABC là tam giác vuông cân tại A nên \(BC = AB\sqrt 2 {\rm{ \;}} = 6\sqrt 2 \) và \(\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \angle ABC = {45^0}\). Vậy \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} {\rm{ \;}} = BA.BC.\cos \angle \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right)\) \( = 6.6\sqrt 2 .\cos {45^0} = 6.6\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = 36.\) Chọn B. Câu 20 (VD): Phương pháp: Sử dụng công thức \(n\left( {A \cup B} \right) = n\left( A \right) + n\left( B \right) - n\left( {A \cap B} \right)\). Cách giải: Gọi A là tập hợp các bạn đăng kí tiết mục múa \( \Rightarrow n\left( A \right) = 9.\) B là tập hợp các bạn đăng kí tiết mục diễn kịch \( \Rightarrow n\left( B \right) = 13.\) \( \Rightarrow A \cap B:\) tập hợp các bạn đăng kí cả 2 tiết mục múa và diễn kịch \( \Rightarrow n\left( {A \cap B} \right) = 4.\) \(A \cup B\): tập hợp các bạn tham gia ít nhất 1 tiết mục. Ta có: \(n\left( {A \cup B} \right) = n\left( A \right) + n\left( B \right) - n\left( {A \cap B} \right)\) \( \Rightarrow \) Số học sinh lớp 10A tham gia văn nghệ là: \(n\left( {A \cup B} \right) = 9 + 13 - 4 = 18.\) Chọn B. Câu 21 (NB): Phương pháp: Xét điểm gốc tọa độ để xác định miền nghiệm của bất phương trình. Cách giải: Thay \(x = 0,y = 0\) vào BPT \(2x - 3y + 6 \ge 0\) ta được: \(2.0 - 3.0 + 6 \ge 0\) (đúng) Nên O(0,0) thuộc miền nghiệm nên Miền nghiệm nửa mặt phẳng có bờ là d chứa gốc tọa độ O và có lấy đường thẳng d Chọn A. Câu 22 (NB): Phương pháp: Vẽ đồ thị hoặc thử các đáp án Cách giải: Xét hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2y > - 3\quad (1)}\\{3x - y < 5\quad (2)}\\{y - 1 > 0\quad (3)}\end{array}} \right.\). \(\left( { - 2; - 1} \right)\) không thỏa mãn BPT (3) \(\left( {2;0} \right)\) không thỏa mãn BPT (3) \(\left( {3;2} \right)\) không thỏa mãn BPT (2) \(\left( {0,2} \right)\)thỏa mãn cả 3 BPT nên là nghiệm của hệ. Chọn D. Câu 23 (TH): Phương pháp: Nhóm thích hợp, sử dụng mối quan hệ giá trị lượng giác của hai góc bù nhau: \(\cos \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = {\rm{ \;}} - \cos \alpha \). Cách giải: \(\begin{array}{*{20}{l}}{B = \cos {0^0} + \cos {{20}^0} + \cos {{40}^0} + ... + \cos {{160}^0} + \cos {{180}^0}}\\{B = \left( {\cos {0^0} + \cos {{180}^0}} \right) + \left( {\cos {{20}^0} + \cos {{160}^0}} \right) + \left( {\cos {{40}^0} + \cos {{140}^0}} \right) + ... + \left( {\cos {{80}^0} + \cos {{100}^0}} \right)}\\{B = \left( {\cos {0^0} - \cos {0^0}} \right) + \left( {\cos {{20}^0} - \cos {{20}^0}} \right) + \left( {\cos {{40}^0} - \cos {{40}^0}} \right) + ... + \left( {\cos {{80}^0} - \cos {{80}^0}} \right)}\\{B = 0}\end{array}\) Chọn A Câu 24 (TH): Phương pháp: Sử dụng công thức \(\overrightarrow {BM} .\overrightarrow {BA} {\rm{ \;}} = BM.BA.\cos \left( {\overrightarrow {BM} ,\overrightarrow {BA} } \right).\) Cách giải: Ta có: \(\overrightarrow {BM} .\overrightarrow {BA} {\rm{ \;}} = {\rm{ \;}} - \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BA} {\rm{ \;}} = {\rm{ \;}} - \frac{1}{3}BC.BA.\cos \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BA} } \right).\) Vì tam giác ABC đều nên \(\cos \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BA} } \right) = \angle ABC = {60^0}\). \( \Rightarrow \overrightarrow {BM} .\overrightarrow {BA} = - \frac{1}{3}.6.6.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = {\rm{ \;}} - 6\sqrt 3 .\) Chọn B. Câu 25 (TH): Cách giải: Ta có \(\Delta = {1^2} - 4.\left( { - 3} \right).2 = 25\) Vì \(a = - 3 < 0\) nên hàm số có giá trị lớn nhất là: \(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{25}}{{12}}\). Chọn A.
Phần 2: Tự luận (4 điểm) Câu 1 (VD): Phương pháp: a) Sử dụng quy tắc hiệu, đưa về tính chất vectơ trọng tâm tam giác. b) Sử dụng tính chất vectơ trung tuyến. Cách giải: a) Ta có: \(\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {KA} {\rm{ \;}} + 2\overrightarrow {KB} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {CB} }\\{ \Leftrightarrow \overrightarrow {KA} {\rm{ \;}} + 2\overrightarrow {KB} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {KB} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {KC} }\\{ \Leftrightarrow \overrightarrow {KA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {KB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {KC} {\rm{ \;}} = \vec 0}\end{array}\) Vậy K là trọng tâm tam giác ABC. b) Gọi I là trung điểm của BC ta có: \(\begin{array}{l}\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + 2\left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right) = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right) + 4\overrightarrow {MI} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 5\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} = 0\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IM} = \frac{1}{5}\overrightarrow {IA} \end{array}\) Vậy M là thuộc IA sao cho \(IM = \frac{1}{5}IA\). Câu 2 (VD): Cách giải: Ta có \(A\left( {1;4} \right)\) và \(I\left( {2;5} \right)\) thuộc parabol nên \(\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 4\\4a + 2b + c = 5\end{array} \right.\) Lại có hoành độ đỉnh \({x_I} = - \frac{b}{{2a}} = 2 \Rightarrow b = - 4a\) Từ đó ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 4\\4a + 2b + c = 5\\b + 4a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow a = - 1;b = 4;c = 1\) Vậy parabol đó là \(y = - {x^2} + 4x + 1\) * Xét sự biến thiên Parabol (P) có \(a = - 1 < 0\) và đỉnh là \(I\left( {2;5} \right)\) Bảng biến thiên Hàm số đồng biến trên \(( - \infty ;2)\) và nghịch biến trên \((2; + \infty )\). Câu 3 (VDC): Phương pháp: a) Áp dụng định lí cosin và định lí sin b) Áp dụn định lí cosin và công thức \(\cos A = 1 - 2{\sin ^2}\frac{A}{2}\) Cách giải: a) Áp dụng định lí cosin và định lí sin ta có: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}};\sin A = \frac{a}{{2R}}\) \( \Rightarrow \cot A = \frac{{\cos A}}{{\sin A}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}.\frac{{2R}}{a} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{abc}}R\) Tương tự ta cũng có: \(\cot B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{abc}}R;\cot C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{abc}}R\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow \cot A + \cot B + \cot C = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{abc}}R + \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{abc}}R + \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{abc}}R\\ = \frac{R}{{abc}}({b^2} + {c^2} - {a^2} + {a^2} + {c^2} - {b^2} + {a^2} + {b^2} - {c^2})\\ = \frac{R}{{abc}}({a^2} + {b^2} + {c^2}) = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}}R\end{array}\) b) Ta có: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\) Mà \(\cos A = 1 - 2{\sin ^2}\frac{A}{2} \Rightarrow \sin \frac{A}{2} = \sqrt {\frac{{1 - \cos A}}{2}} \) (do \({0^ \circ } < \frac{A}{2} < {90^ \circ }\)) \(\begin{array}{l} \Rightarrow \sin \frac{A}{2} = \sqrt {\frac{{1 - \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}}}{2}} \\ \Leftrightarrow \sin \frac{A}{2} = \sqrt {\frac{{{a^2} - \left( {{b^2} + {c^2} - 2bc} \right)}}{{4bc}}} \\ \Leftrightarrow \sin \frac{A}{2} = \sqrt {\frac{{{a^2} - {{(b - c)}^2}}}{{4bc}}} \\ \Leftrightarrow \sin \frac{A}{2} = \sqrt {\frac{{(a - b + c)(a + b - c)}}{{4bc}}} \end{array}\) Lại có: \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\)\( \Rightarrow p - b = \frac{{a - b + c}}{2};p - c = \frac{{a + b - c}}{2}\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{(a - b + c)(a + b - c)}}{4} = (p - b)(p - c)\\ \Leftrightarrow \sin \frac{A}{2} = \sqrt {\frac{{(p - b)(p - c)}}{{bc}}} \end{array}\) Đề 9 I. Trắc nghiệm (6 điểm) Câu 1: Tìm tập xác định \({\rm{D}}\) của hàm số \(y = \sqrt {6 - 3x} + \frac{1}{{\sqrt {x - 1} }}.\) A. \({\rm{D}} = \left[ {1;2} \right].\) B. \({\rm{D}} = \left( {1;2} \right).\) C. \({\rm{D}} = (1;2].\) D. \({\rm{D}} = \left[ { - 1;2} \right].\) Câu 2: Cho mệnh đề P(x): “\(\forall x \in \mathbb{R}\), \({x^2} + x + 1 > 0\)”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P(x) là A. “\(\forall x \in \mathbb{R}\), \({x^2} + x + 1 < 0\)”. B. “\(\forall x \in \mathbb{R}\), \({x^2} + x + 1 \le 0\)”. C. “\(\exists x \in \mathbb{R}\), \({x^2} + x + 1 \le 0\)”. D. “\(\exists x \in \mathbb{R}\), \({x^2} + x + 1 > 0\)”. Câu 3: Cho hàm số \(.y = \frac{{\sqrt {x - 2} - 2}}{{x - 6}}\). Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số: A. \((6;0)\). B. \((2; - 0,5)\). C. \((2;0,5)\). D. \((0;6)\). Câu 4: Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập hợp rỗng: A. \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|\left| x \right| < 1} \right\}\) B. \(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|6{x^2} - 7x + 1 = 0} \right\}\) C. \(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|{x^2} - 4x + 2 = 0} \right\}\) D. \(A = \left\{ {x \in \mathbb{N}|{x^2} - 4x + 3 = 0} \right\}\) Câu 5: Cho hai tập hợp \(A = \left( { - \infty ;2} \right]\) và \(B = \left( { - 3;5} \right]\). Tìm mệnh đề sai. A. \(A \cap B = \left( { - 3;2} \right].\) B. \(A\backslash B = \left( { - \infty ; - 3} \right)\). C. \(A \cup B = \left( { - \infty ;5} \right]\). D. \(B\backslash A = \left( {2;5} \right]\). Câu 6: Cho tập hợp: \(B = \left\{ {x;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} z;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 5} \right\}.\) Số tập hợp con của tập hợp \(B\) là A. 29 B. 30 C. 31 D. 32 Câu 7: Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\), \((a > 0)\) nghịch biến trong khoảng nào sau đậy? A. \(\left( { - \infty ;\, - \frac{b}{{2a}}} \right).\) B. \(\left( { - \frac{b}{{2a}};\, + \infty } \right).\) C. \(\left( { - \frac{\Delta }{{4a}};\, + \infty } \right).\) D. \(\left( { - \infty ;\, - \frac{\Delta }{{4a}}} \right).\) Câu 8: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn? A. \(2{x^2} + 3y > 0\) B. \({x^2} + {y^2} < 2\) C. \(x + {y^2} \ge 0\) D. \(x + y \ge 0\) Câu 9: Miền nghiệm của bất phương trình \(\left( {1 + \sqrt 3 } \right)x - \left( {1 - \sqrt 3 } \right)y \ge 2\) chứa điểm nào sau đây? A. A(1;-1) B. B(-1;-1) C. C(-1;1) D. \(D\left( { - \sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right)\) Câu 10: (ID: 590544) Trong tam giác EFG, chọn mệnh đề đúng. A. \(E{F^2} = E{G^2} + F{G^2} + 2EG.FG.\cos G.\) B. \(E{F^2} = E{G^2} + F{G^2} + 2EG.FG.\cos E.\) C. \(E{F^2} = E{G^2} + F{G^2} - 2EG.FG.\cos E.\) D. \(E{F^2} = E{G^2} + F{G^2} - 2EG.FG.\cos G.\) Câu 11: Cho hình chữ nhật ABCD có \(AB = a\) và \(AD = a\sqrt 2 \). Gọi K là trung điểm của cạnh AD. Tính \(\overrightarrow {BK} .\overrightarrow {AC} \) A. \(\overrightarrow {BK} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \) B. \(\overrightarrow {BK} .\overrightarrow {AC} = - {a^2}\sqrt 2 \) C. \(\overrightarrow {BK} .\overrightarrow {AC} = {a^2}\sqrt 2 \) D. \(\overrightarrow {BK} .\overrightarrow {AC} = 2{a^2}\) Câu 12: (ID: 590546) Cho tam giác ABC có b = 7, c = 5, \(\cos A = \frac{3}{5}.\) Độ dài đường cao \({h_a}\) của tam giác ABC là: A. \(8.\) B. \(8\sqrt 3 .\) C. \(\frac{{7\sqrt 2 }}{2}.\) D. \(7\sqrt 2 .\) Câu 13: Hàm số bậc hai nào sau đây có đồ thị là parabol có đỉnh là \(S\left( {\frac{5}{2};\frac{1}{2}} \right)\)và đi qua \(A\left( {1; - 4} \right)\)? A. \(y = - {x^2} + 5x - 8\). B. \(y = - 2{x^2} + 10x - 12\). C. \(y = {x^2} - 5x\). D. \(y = - 2{x^2} + 5x + \frac{1}{2}\). Câu 14: Cho hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - 5y - 1 > 0}\\{2x + y + 5 > 0}\\{x + y + 1 < 0}\end{array}} \right.\). Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình? A. \(O\left( {0;0} \right)\) B. \(M\left( {1;0} \right)\) C. \(N\left( {0; - 2} \right)\) D. \(P\left( {0;2} \right)\) Câu 15: Cho parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị như hình sau
Phương trình của parabol này là A. \(y = - {x^2} + x - 1\). B. \(y = 2{x^2} + 4x + 1\). C. \(y = {x^2} - 2x - 1\). D. \(y = 2{x^2} - 4x - 1\). Câu 16: Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a. A. \(r = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\) B. \(r = \frac{{a\sqrt 2 }}{5}\) C. \(r = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\) D. \(r = \frac{{a\sqrt 5 }}{7}\) Câu 17: Tam giác ABC có \(AB = \sqrt 2 ,\,\,AC = \sqrt 3 \) và \(C = {45^0}\). Tính độ dài cạnh BC. A. \(BC = \sqrt 5 \) B. \(BC = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}\) C. \(BC = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{2}\) D. \(BC = \sqrt 6 \) Câu 18: Bảng biến thiên của hàm số \(y = - {x^2} + 2x - 1\) là: A. C. Câu 19: Phần không bị gạch trên hình vẽ dưới đây minh họa cho tập hợp nào?
A. \(\left( { - 3; + \infty } \right).\) B. \(\left( {5; + \infty } \right).\) C. \(\{ - 3;5\} \) D. \(\left( { - 3;5} \right].\) Câu 20: Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = - 3{x^2} + 2x + 1\) trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\) là: A. \(\frac{4}{5}\) B. 0 C. \(\frac{1}{3}\) D. \( - 20\) Câu 21: Cho hai vectơ \(\vec a\) và \(\overrightarrow b \) thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 3,\) \(\left| {\overrightarrow b } \right| = 2\) và \(\vec a.\vec b = - 3.\) Xác định góc \(\alpha \) giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b .\) A. \(\alpha = {30^0}.\) B. \(\alpha = {45^0}.\) C. \(\alpha = {60^0}.\) D. \(\alpha = {120^0}.\) Câu 22: Cho tam giác cân \(ABC\) có\(\widehat A = {120^0}\)và \(AB = AC = a\). Lấy điểm \(M\)trên cạnh \(BC\) sao cho \(BM = \frac{{2BC}}{5}\). Tính độ dài \(AM.\) A. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) B. \(\frac{{11a}}{5}\) C. \(\frac{{a\sqrt 7 }}{5}\) D. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{4}\) Câu 23: Nửa mặt phẳng không bị gạch chéo ở hình dưới đây là miền nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau? A. \(2x - y < 3\) B. \(2x - y > 3\) C. \(x - 2y < 3\) D. \(x - 2y > 3\) Câu 24: Cho góc \(\alpha \) với \({0^0} < \alpha < {180^0}\). Tính giá trị của \(\cos \alpha \), biết \(\tan \alpha = - 2\sqrt 2 \). A. \( - \frac{1}{3}.\) B. \(\frac{1}{3}.\) C. \(\frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\) D. \(\frac{{\sqrt 2 }}{3}.\) Câu 25: Để đo khoảng cách từ một điểm A trên bờ sông đến gốc cây C trên cù lao giữa sông, người ta chọn cùng một điểm trên bờ với A sao cho từ A và B có thể nhìn thấy điểm C. Ta đo được khoảng cách AB = 40cm, \(\angle CAB = {45^0}\), \(\angle CBA = {70^0}\). Vậy sau khi đo đạc và tính toán được khoảng cách AC gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. 53 m B. 30 m C. 41,5 m D. 41 m Câu 26: Cho hình vuông ABCD cạnh \(a\), \(M\) là điểm thay đổi. Độ dài véctơ \(\vec u = \overrightarrow {MA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{\;}} - 3\overrightarrow {MD} \) là: A. \(4a\sqrt 2 \) B. \(a\sqrt 2 \) C. \(3a\sqrt 2 \) D. \(2a\sqrt 2 \) Câu 27: Cho tam giác ABC đều cạnh a, G là trọng tâm. Mệnh đề nào sau đây sai? A. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}{a^2}.\) B. \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} = - \frac{1}{2}{a^2}.\) C. \(\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GB} = \frac{1}{6}{a^2}.\) D. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AG} = \frac{1}{2}{a^2}.\) Câu 28: Cho bốn điểm A,B,C,D phân biệt. Khi đó, \(\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {DC} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BC} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {AD} \) bằng véctơ nào sau đây? A. \(\vec 0\) B. \(\overrightarrow {BD} \) C. \(\overrightarrow {AC} \) D. \(2\overrightarrow {DC} \) Câu 29: Cho hình chữ nhật ABCD. Khẳng định nào sau đây đúng? A. \(\overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {BD} \) B. \(\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AD} {\rm{ \;}} = \vec 0\) C. \(\left| {\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AD} } \right|\) D. \(\left| {\overrightarrow {BC} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {AB} } \right|\) Câu 30: Cho tam giác ABC có trung tuyến BM và trọng tâm \(G\). Đặt \(\overrightarrow {BC} {\rm{\;}} = \vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {BA} {\rm{\;}} = b\). Hãy phân tích vectơ \(\overrightarrow {BG} \) theo \(\vec a\) và \(\vec b\). A. \(\overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{1}{3}\vec a + \frac{1}{3}\vec b\) B. \(\overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{2}{3}\vec a + \frac{2}{3}\vec b\) C. \(\overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{1}{3}\vec a + \frac{2}{3}\vec b\) D. \(\overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{2}{3}\vec a + \frac{1}{3}\vec b\)
II. Tự luận (4 điểm) Câu 1: Cho ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} {\rm{\;}} = \overrightarrow {MA} \), \(\overrightarrow {{F_2}} {\rm{\;}} = \overrightarrow {MB} \), \(\overrightarrow {{F_3}} {\rm{\;}} = \overrightarrow {MC} \) cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {{F_2}} \) đều bằng 50 N và tam giác MAB vuông tại M. Tìm hướng và cường độ lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) Câu 2: Muốn đo chiều cao của tháp chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận, người ta lấy hai điểm A và B trên mặt đất có khoảng cách \(AB = 12m\) , cùng thẳng hàng với chân C của tháp để đặt giác kế. Chân của giác kế có chiều cao h = 1,3m. Gọi D là đỉnh tháp và hai điểm \({A_1},{B_1}\) cùng thẳng hàng với \({C_1}\) thuộc chiều cao CD của tháp. Người ta đo được \(\widehat {D{A_1}{C_1}} = {49^ \circ }\) và \(\widehat {D{B_1}{C_1}} = {35^ \circ }\). Tính chiều cao CD của tháp đó. Câu 3: Tìm parabol (P) \(y = a{x^2} + bx + c\) biết (P) có đỉnh \(I(2;3)\) và giao với Oy tại điểm có tung độ bằng -1. Vẽ đồ thị hàm số tìm được. -----HẾT----- Giải đề 9 I. Trắc nghiệm (6 điểm)
Câu 1 (NB): Phương pháp:
Cách giải: Hàm số \(y = \sqrt {6 - 3x} + \frac{1}{{\sqrt {x - 1} }}\) xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}6 - 3x \ge 0\\x - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\x > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < x \le 2\) Vậy tập xác định \(D = (1;2]\) Chọn C. Câu 2 (TH): Phương pháp: Phủ định của mệnh đề “\(\forall x \in K,\,\,P\left( x \right)\)” là mệnh đề “\(\exists x \in K,\,\,\overline {P\left( x \right)} \)”. Cách giải: Mệnh đề phủ định của mệnh đề P(x): “\(\forall x \in \mathbb{R}\), \({x^2} + x + 1 > 0\)” là “\(\exists x \in \mathbb{R}\), \({x^2} + x + 1 \le 0\)”. Chọn C. Câu 3 (TH): Phương pháp: Thay tọa độ các điểm vào hàm số Cách giải: Với \(x = 6,x = 0\)thì \(y = \frac{{\sqrt {x - 2} - 2}}{{x - 6}}\) không xác định. Suy ra điểm \((6;0)\) và \((0;6)\)không thuộc đồ thị hàm số Với \(x = 2\) thì \(y = \frac{{\sqrt {2 - 2} - 2}}{{2 - 6}} = 0,5 \ne - 0,5\). Suy ra điểm \((2; - 0,5)\)không thuộc đồ thị hàm số, điểm \((2;0,5)\) thuộc đồ thị hàm số
Chọn C. Câu 4 (TH): Phương pháp: Tập hợp rỗng không chứa phần tử nào. Cách giải: +) Xét đáp án A: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \in \mathbb{R}}\\{\left| x \right| < 1}\end{array}} \right. \Rightarrow {\rm{\;}} - 1 < x < 1\) \( \Rightarrow A = \left( { - 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1} \right) \ne \emptyset \) \( \Rightarrow \) Loại đáp án A. +) Xét đáp án B: \(6{x^2} - 7x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = \frac{1}{6}}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow A = \left\{ 1 \right\} \ne \emptyset \) \( \Rightarrow \) Loại đáp án B. +) Xét đáp án C: \({x^2} - 4x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + \sqrt 2 }\\{x = 2 - \sqrt 2 }\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow A = \emptyset \) Chọn C. Câu 5 (VD): Phương pháp: Thực hiện các phép toán trên tập hợp. Sử dụng trục số. Cách giải: +) \(A \cap B = \left( { - 3;2} \right]\) => A đúng. +) \(A\backslash B = \left( { - \infty ; - 3} \right]\) => B sai. +) \(A \cup B = \left( { - \infty ;5} \right]\) => C đúng. +) \(B\backslash A = \left( {2;5} \right]\). => D đúng. Chọn B. Câu 6 (TH): Phương pháp: Cho tập hợp B có n phần tử. Số tập hợp con của B là \({2^n}\) Cách giải: Tập hợp \(B = \left\{ {x;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} z;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 5} \right\}\) có 5 phần tử. Số tập hợp con của tập B là: \({2^5} = 32\) Chọn D. Câu 7 (NB): Cách giải: Với \(a > 0\), ta có bảng biến thiên Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;\, - \frac{b}{{2a}}} \right).\) Chọn A. Câu 8 (TH): Phương pháp: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là \(ax + by + c < 0\), \(ax + by + c > 0\), \(ax + by + c \le 0\), \(ax + by + c \ge 0\), trong đó a, b, c là các số cho trước sao cho \({a^2} + {b^2} \ne 0\). Cách giải: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là \(x + y \ge 0\). Chọn D. Câu 9 (TH): Phương pháp: Thay tọa độ các điểm ở các đáp án vào bất phương trình. Cách giải: Thay tọa độ điểm A(1;-1) ta có: \(\left( {1 + \sqrt 3 } \right) + \left( {1 - \sqrt 3 } \right) = 2 \ge 2\) (Đúng). Vậy điểm A thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Chọn A. Câu 10 (NB): Phương pháp: Sử dụng định lí cosin trong tam giác: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A.\) Cách giải: \(E{F^2} = E{G^2} + F{G^2} - 2EG.FG.\cos G\) là mệnh đề đúng. Chọn D. Câu 11 (VD): Cách giải: Ta có: \(AC = BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {2{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 3 \) Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BK} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AK} = \overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \\\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \end{array} \right.\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {BK} .\overrightarrow {AC} = \left( {\overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} } \right).\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)\\ = \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AD} \\ = - {a^2} + 0 + 0 + \frac{1}{2}{\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}\\ = 0\end{array}\) Chọn A. Câu 12 (VD): Phương pháp: Tính sinA. Tính diện tích tam giác ABC: \(S = \frac{1}{2}bc.\sin A.\) Sử dụng định lí cosin trong tam giác tính a: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A.\) Sử dụng công thức tính diện tích tam giác: \(S = \frac{1}{2}a{h_a}\), từ đó tính \({h_a}\). Cách giải: Ta có: \(\begin{array}{l}{\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}A + {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}A = \frac{{16}}{{25}}\end{array}\) Vì \({0^0} < A < {180^0}\) nên sinA > 0 \( \Rightarrow \sin A = \frac{4}{5}.\) Diện tích tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}bc.\sin A. = \frac{1}{2}.7.5.\frac{4}{5} = 14.\) Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có: \(\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A.\\\,\,\,\,\,\, = {7^2} + {5^2} - 2.7.5.\frac{3}{5}\\\,\,\,\,\,\, = 32\\ \Rightarrow a = 4\sqrt 2 .\end{array}\) Lại có: \(S = \frac{1}{2}a{h_a} \Rightarrow {h_a} = \frac{{2S}}{a} = \frac{{2.14}}{{4\sqrt 2 }} = \frac{{7\sqrt 2 }}{2}.\) Chọn C. Câu 13 (TH): Cách giải: Hàm số bậc hai cần tìm có phương trình: \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) Hàm số bậc hai có đồ thị là parabol có đỉnh là \(S\left( {\frac{5}{2};\frac{1}{2}} \right)\)và đi qua \(A\left( {1; - 4} \right)\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{5}{2}\\a.\frac{{25}}{4} + b.\frac{5}{2} + c = \frac{1}{2}\\a + b + c = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{a} = 5\\25a + 10b + 2c = 2\\a + b + c = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{\rm{a + b = 0}}\\25a + 10b + 2c = 2\\a + b + c = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 10\\c = - 12\end{array} \right.\) Chọn B. Câu 14 (TH): Phương pháp: Thay tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình. Cách giải: Dễ thấy các điểm \(O\left( {0;0} \right)\), \(M\left( {1;0} \right)\), \(P\left( {0;2} \right)\) không thỏa mãn bất phương trình \(x + y + 1 < 0\) nên không thỏa mãn cả hệ bất phương trình. Chọn C. Câu 15 (TH): Cách giải: Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0\,\,;\,\, - 1} \right)\) nên \(c = - 1\). Tọa độ đỉnh \(I\left( {1\,\,;\, - 3} \right)\), ta có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 1\\a{.1^2} + b.1 - 1 = - 3\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b = 0\\a + b = - 2\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 4\end{array} \right.\). Vậy parabol cần tìm là: \(y = 2{x^2} - 4x - 1\). Chọn D. Câu 16 (TH): Phương pháp: Sử dụng công thức tính diện tích tam giác \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = pr\). Cách giải: Nửa chu vi tam giác đều cạnh a là \(p = \frac{{a + a + a}}{2} = \frac{{3a}}{2}\). Tam giác đều cạnh a có diện tích \(S = \sqrt {\frac{{3a}}{2}\left( {\frac{{3a}}{2} - a} \right)\left( {\frac{{3a}}{2} - a} \right)\left( {\frac{{3a}}{2} - a} \right)} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\). Lại có \(S = pr \Leftrightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}:\frac{{3a}}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\). Chọn C. Câu 17 (NB): Phương pháp: Sử dụng hệ quả định lí Cosin trong tam giác: \(\cos C = \frac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2AC.BC}}\). Cách giải: Áp dụng hệ quả định lí Cosin trong tam giác ABC ta có: \(\begin{array}{l}\cos C = \frac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2AC.BC}}\\ \Leftrightarrow \cos {45^0} = \frac{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + B{C^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{2.\sqrt 3 .BC}}\\ \Leftrightarrow \sqrt 6 BC = B{C^2} + 1\\ \Leftrightarrow B{C^2} - \sqrt 6 BC + 1 = 0\\ \Leftrightarrow BC = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}\end{array}\). Chọn B. Câu 18 (TH): Phương pháp: Số chính phương có các chữ số tận cùng là \(0,{\rm{ }}1,{\rm{ }}4,{\rm{ }}5,{\rm{ }}6,{\rm{ }}9\). Dùng loại trừ để đưa ra đáp án đúng. Cách giải: Hàm số \(y = - {x^2} + 2x - 1\) có \(a = - 1 < 0\), nên loại C,D. Hoành độ đỉnh \({x_I} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{2}{{2.( - 1)}} = 1\) Chọn A. Câu 19 (NB): Phương pháp: Biểu diễn tập hợp trên trục số. Cách giải: Hình vẽ đã cho là minh họa cho tập hợp \(( - 3;5]\) Chọn D. Câu 20 (VD): Cách giải: Ta có \( - \frac{b}{{2a}} = \frac{1}{3}\) và \(a = - 3 < 0\). Suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{1}{3}; + \infty } \right)\). Mà \(\left[ {1;3} \right] \subset \left( {\frac{1}{3}; + \infty } \right)\). Do đó trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\) hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 1\), tức là \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 0\). Chọn B. Câu 21 (TH): Phương pháp: Áp dụng công thức \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\) Cách giải: Ta có \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{ - 3}}{{3.2}} = - \frac{1}{2}\) \( \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {120^o}\) Chọn D. Câu 22 (VD): Phương pháp: - Tính BC dựa vào định lí côsin trong tam giác cân ABC. - Tính BM. - Tính AM dựa vào định lí côsin trong tam giác ABM. Cách giải:
\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} - 2ABAC\cos {{120}^0}} = \sqrt {{a^2} + {a^2} - 2a.a.\left( { - \frac{1}{2}} \right)} = a\sqrt 3 {\rm{ }} \Rightarrow BM = \frac{{2a\sqrt 3 }}{5}\) \(AM = \sqrt {A{B^2} + B{M^2} - 2AB.BM.cos{{30}^0}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{{2a\sqrt 3 }}{5}} \right)}^2} - 2a.\frac{{2a\sqrt 3 }}{5}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}} = \frac{{a\sqrt 7 }}{5}\). Chọn C.
Câu 23 (TH): Phương pháp: Tìm phương trình đường thẳng d. Loại đáp án. Thay tọa độ điểm O(0;0) vào các bất phương trình chưa bị loại ở các đáp án, tiếp tục loại đáp án. Cách giải: Đường thẳng d đi qua điểm (3;0) nên loại đáp án A, B. Ta thấy điểm O(0;0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. + Thay tọa độ điểm O(0;0) vào biểu thức \(x - 2y\) ta có: \(0 - 2.0 = 0 < 3\) Do đó bất phươn trình cần tìm là \(x - 2y > 3\) Chọn D.
Câu 24 (TH): Phương pháp: Sử dụng công thức: \(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}.\) Cách giải: Ta có: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\\ \Leftrightarrow 1 + {\left( { - 2\sqrt 2 } \right)^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{9}\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\\ \Leftrightarrow \sin \alpha = \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\end{array}\) Vì \({0^0} < \alpha < {180^0}\) \( \Rightarrow \sin \alpha > 0\). Vậy \(\sin \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\) Chọn C. Câu 25 (VD): Phương pháp: Áp dụng hệ quả định lí Sin trong tam giác ABC. Cách giải: Ta có: \(\angle ACB = {180^0} - {45^0} - {70^0} = {65^0}\) Áp dụng hệ quả định lí Sin trong tam giác ABC ta có: \(\begin{array}{l}\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Rightarrow \frac{{AC}}{{\sin {{70}^0}}} = \frac{{40}}{{\sin {{65}^0}}}\\ \Rightarrow AC = \frac{{40}}{{\sin {{65}^0}}}.\sin {70^0} \approx 41,47\,\,\left( m \right)\end{array}\) Chọn C. Câu 26 (VD): Phương pháp: Áp dụng quy tắc cộng vecto để tìm được vecto \(\vec u\). Cách giải:
Vì ABCD là hình vuông nên ta có: \(AB = BC = CD = DA = 2\); \(AC = BD = a\sqrt 2 \). Ta có: \(\vec u = \overrightarrow {MA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{\;}} - 3\overrightarrow {MD} \) \({\mkern 1mu} = \left( {\overrightarrow {MD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DC} } \right) - 3\overrightarrow {MD} \) \({\mkern 1mu} = \overrightarrow {MD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DC} {\rm{\;}} - 3\overrightarrow {MD} \) \( = \overrightarrow {DA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DC} \) \( = \left( {\overrightarrow {DA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DC} } \right) + \overrightarrow {DB} \) \( = \overrightarrow {DB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DB} \) \( = 2\overrightarrow {DB} \) \( \Rightarrow \vec u = 2\overrightarrow {DB} \) \( \Rightarrow \left| {\vec u} \right| = \left| {2.\overrightarrow {DB} } \right| = 2.a.\sqrt 2 {\rm{\;}} = 2\sqrt 2 a\) Chọn D. Câu 27 (VD): Phương pháp: Áp dụng tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = a.b.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\) Cách giải:
Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = a.a.\cos A = {a^2}\cos {60^ \circ } = \frac{1}{2}{a^2}\) => A đúng \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} = AC.CB.\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = a.a.\cos {120^ \circ } = - \frac{1}{2}{a^2}\) => B đúng + \(AG = \frac{2}{3}AM;AM = AC.\sin C = a.\sin {60^ \circ } = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) \( \Rightarrow AG = BG = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) \(\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GB} = GA.GB.\cos \left( {\overrightarrow {GA} ,\overrightarrow {GB} } \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\cos {120^ \circ } = - \frac{1}{6}{a^2}\) => C sai. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AG} = AB.AG.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AG} } \right) = a.\frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\cos {30^ \circ } = \frac{1}{2}{a^2}\) => D đúng.
Chọn C. Câu 28 (NB): Phương pháp: Nhóm \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} \); \(\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {AD} \), áp dụng quy tắc cộng vectơ. Cách giải: Ta có: \(\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {DC} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BC} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {AD} {\rm{ \;}} = \left( {\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BC} } \right) - \left( {\overrightarrow {AD} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {DC} } \right) = \overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} = \vec 0\). Chọn A. Câu 29 (NB): Phương pháp: Sử dụng quy tắc hình bình hành tính \(\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BC} \). Tính độ dài vectơ vừa tìm được. Cách giải: Ta có: \(\left| {\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = a\). Chọn A. Câu 30 (TH): Phương pháp: Áp dụng quy tắc cộng vecto, quy tắc hình bình hành để biểu diễn véctơ. Cách giải:
\(\overrightarrow {BM} {\rm{\;}} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \) \( \Rightarrow \overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BM} {\rm{\;}} = \frac{2}{3} \cdot \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \) Mặt khác, \(\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} = \vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {BC} {\rm{\;}} = \vec b\) nên ta có: \(\overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{1}{3}\vec a + \frac{1}{3}\vec b\) Vậy \(\overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{1}{3}\vec a + \frac{1}{3}\vec b\). Chọn A.
II. Tự luận (3 điểm) Câu 1 (VD): Phương pháp: Áp dụng quy tắc hình bình hành. Vật đứng yên khi tổng các lực tác động lên điểm bằng 0. Cách giải:
Có cường độ lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {{F_2}} \) đều bằng 50 N và tam giác MAB vuông tại M \( \Rightarrow \) Tam giác MAB vuông cân tại M Lấy điểm D sao cho MADB là hình vuông \( \Rightarrow MD = \sqrt {M{A^2} + A{D^2}} {\rm{\;}} = \sqrt {M{A^2} + M{B^2}} {\rm{\;}} = 50\sqrt 2 {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} N\) Vì vật đứng yên nên tổng các lực tác động lên điểm bằng 0 \( \Rightarrow \overrightarrow {{F_1}} {\rm{\;}} + \overrightarrow {{F_2}} {\rm{\;}} + \overrightarrow {{F_3}} {\rm{\;}} = \vec 0\) hay \(\overrightarrow {MA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {{F_3}} {\rm{\;}} = \vec 0\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{F_3}} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - \left( {\overrightarrow {MA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MB} } \right) = {\rm{\;}} - \overrightarrow {MD} \) Vậy lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) có hướng ngược với \(\overrightarrow {MD} \) và có cường độ bằng \(50\sqrt 2 {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} N \approx 70,71{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} N\)
Câu 2 (VD): Cách giải: Ta có: \(\widehat {D{A_1}B} = {180^ \circ } - {49^ \circ } = {131^ \circ };\widehat {{A_1}D{B_1}} = {49^ \circ } - {35^ \circ } = {14^ \circ }\) Áp dụng định lý sin trong tam giác \(D{A_1}{B_1}\) ta có: \(\begin{array}{l}\frac{{{A_1}{B_1}}}{{\sin \widehat {{A_1}D{B_1}}}} = \frac{{D{B_1}}}{{\sin \widehat {D{A_1}{B_1}}}} \Leftrightarrow \frac{3}{{\sin {{14}^ \circ }}} = \frac{{D{B_1}}}{{\sin {{131}^ \circ }}}\\ \Rightarrow D{B_1} = \sin {131^ \circ }.\frac{3}{{\sin {{14}^ \circ }}}\end{array}\) Lại có: \(\Delta D{C_1}{B_1}\) vuông tại \({C_1}\) nên \(D{C_1} = D{B_1}.\sin {B_1} = D{B_1}.\sin {35^ \circ }\) \( \Rightarrow D{C_1} = \sin {131^ \circ }.\frac{3}{{\sin {{14}^ \circ }}}.\sin {35^ \circ } \approx 5,37\) Chiều cao CD của tháp là \(5,37 + 2 = 7,37(m)\) Vậy tháp cao khoảng 7,37m. Câu 3 (VD): Cách giải: Parabol (P) \(y = a{x^2} + bx + c\) giao với Oy tại điểm có tọa độ \((0;c)\), do đó \(c = - 1\) (P) có hoành độ đỉnh \({x_I} = - \frac{b}{{2a}} = 2 \Rightarrow b = - 4a\) Điểm \(I(2;3)\) thuộc (P) nên \(a{.2^2} + b.2 - 1 = 3\) hay \(4a + 2b = 4\) Từ đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}4a + 2b = 4\\b = - 4a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 4\\a = - 1\end{array} \right.\) Vậy parabol cần tìm là \(y = - {x^2} + 4x - 1\) * Vẽ parabol Đỉnh \(I(2;3)\) Trục đối xứng \(x = 2\) Giao với Oy tại A(0;-1), lấy điểm B(4;-1) đối xứng với A qua trục đối xứng Lấy điểm C(1;2) và D(3;2) thuộc đồ thị. Đề 10 Phần 1: Trắc nghiệm (25 câu – 5 điểm) Câu 1: Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là không phải là mệnh đề? a) Huế là một thành phố của Việt Nam. b) Sông Hương chảy ngang qua thành phố Huế. c) Hãy trả lời câu hỏi này! d) \(5 + 19 = 24.\) e) \(6 + 81 = 25.\) f) Bạn có mang theo máy tính không? g) \(x + 2 = 11.\) A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 2: Cho parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị như hình sau
Phương trình của parabol này là A. \(y = - {x^2} + x - 1\). B. \(y = 2{x^2} + 4x + 1\). C. \(y = {x^2} - 2x - 1\). D. \(y = 2{x^2} - 4x - 1\). Câu 3: Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(O\) là giao điểm của hai đường chéo. Đẳng thức nào sau đây sai? A. \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \vec 0.\) B. \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} .\) C. \(\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} } \right|.\) D. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} .\) Câu 4: Lớp 10E có \(7\) học sinh giỏi Toán, \(5\) học sinh giỏi Lý, \(6\) học sinh giỏi Hóa, \(3\) học sinh giỏi cả Toán và Lý, \(4\) học sinh giỏi cả Toán và Hóa, \(2\) học sinh giỏi cả Lý và Hóa, \(1\) học sinh giỏi cả \(3\) môn Toán, Lý, Hóa. Số học sinh giỏi ít nhất một môn (Toán, Lý, Hóa) của lớp 10E là A. \(9.\) B. \(10.\) C. \(18.\) D. \(28.\) Câu 5: Miền nghiệm của bất phương trình: \(3x + 2\left( {y + 3} \right) > 4\left( {x + 1} \right) - y + 3\) là nửa mặt phẳng chứa điểm: A. \(\left( {3;0} \right).\) B. \(\left( {3;1} \right).\) C. \(\left( {2;1} \right).\) D. \(\left( {0;0} \right).\) Câu 6: Phần không tô đậm trong hình vẽ dưới đây (không chứa biên), biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình nào trong các hệ bất phương trình sau?
A. \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \le 0\\x + 3y \ge - 2\end{array} \right..\) B. \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y > 0\\x + 3y < - 2\end{array} \right..\) C. \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \le 0\\x + 3y \le - 2\end{array} \right..\) D. \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y < 0\\x + 3y > - 2\end{array} \right..\) Câu 7: Tam giác \(ABC\) có \(AB = 3,{\rm{ }}AC = 6\) và \(\widehat A = 60^\circ \). Tính bán kính \(R\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). A. \(R = 3\). B. \(R = 3\sqrt 3 \). C. \(R = \sqrt 3 \). D. \(R = 6\). Câu 8: Bảng biến thiên của hàm số \(y = - {x^2} + 4x - 5\) là: A. C. Câu 9: Tính giá trị biểu thức \(S = {\sin ^2}15^\circ + {\cos ^2}20^\circ + {\sin ^2}75^\circ + {\cos ^2}110^\circ \). A. \(S = 0.\) B. \(S = 1.\) C. \(S = 2.\) D. \(S = 4.\) Câu 10: Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\). Tính \(P = \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CA} } \right).\) A. \(P = - 1.\) B. \(P = 3{a^2}.\) C. \(P = - 3{a^2}.\) D. \(P = 2{a^2}.\) Câu 11: Tìm tập xác định \({\rm{D}}\) của hàm số \(y = \sqrt {6 - 2x} - \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }}.\) A. \({\rm{D}} = \left[ { - 1;3} \right].\) B. \({\rm{D}} = \left( { - 1;3} \right).\) C. \({\rm{D}} = ( - 1;3].\) D. \({\rm{D}} = \left[ {1;3} \right].\) Câu 12: Cho hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x - 3} + 10}}{{x + 5}}\). Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số: A. \((7;1)\). B. \(( - 5;2)\). C. \((4;1,1)\). D. \((0;6)\). Câu 13: Gọi \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\). Đặt \(\overrightarrow {GA} {\rm{\;}} = \vec a;\overrightarrow {GB} {\rm{\;}} = \vec b\). Xác định giá trị của \(m,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} n\) để \(\overrightarrow {BC} {\rm{\;}} = m\vec a + n\vec b\). A. \(m = 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} n = 2\) B. \(m = {\rm{\;}} - 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} n = {\rm{\;}} - 2\) C. \(m = 2,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} n = 1\) D. \(m = {\rm{\;}} - 2,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} n = {\rm{\;}} - 1\) Câu 14: Tam giác \(ABC\) có \(AC = 4,{\rm{ }}\widehat {BAC} = 30^\circ ,{\rm{ }}\widehat {ACB} = 75^\circ \). Tính diện tích tam giác \(ABC\). A. \({S_{\Delta ABC}} = 8\). B. \({S_{\Delta ABC}} = 4\sqrt 3 \). C. \({S_{\Delta ABC}} = 4\). D. \({S_{\Delta ABC}} = 8\sqrt 3 \). Câu 15: Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\), \((a > 0)\) đồng biến trong khoảng nào sau đậy? A. \(\left( { - \infty ;\, - \frac{b}{{2a}}} \right).\) B. \(\left( { - \frac{b}{{2a}};\, + \infty } \right).\) C. \(\left( { - \frac{\Delta }{{4a}};\, + \infty } \right).\) D. \(\left( { - \infty ;\, - \frac{\Delta }{{4a}}} \right).\) Câu 16: Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(a.\) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} .\) A. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = {a^2}.\) B. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.\) C. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = - \frac{{{a^2}}}{2}.\) D. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = \frac{{{a^2}}}{2}.\) Câu 17: Cho tập hợp \(A = {\rm{\{ }}x \in \mathbb{N}\left| x \right.\) là ước chung của \(36\;{\rm{v\`a }}\;{\rm{120\} }}\). Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp \(A\). A. \(A = \left\{ {1;2;3;4;6;12} \right\}.\) B. \(A = \left\{ {1;2;4;6;8;12} \right\}.\) C. \(A = \left\{ {2;4;6;8;10;12} \right\}.\) D. \(A = \left\{ {1;36;120} \right\}.\) Câu 18: Cho hai tập hợp \(A = \left\{ {0;1;2;3;4} \right\},{\rm{ }}B = \left\{ {1;3;4;6;8} \right\}.\) Mệnh đề nào sau đây đúng? A. \(A \cap B = B.\) B. \(A \cup B = A.\) C. \(A\backslash B = \left\{ {0;2} \right\}.\) D. \(B\backslash A = \left\{ {0;4} \right\}.\) Câu 19: Điểm \(M\left( {0; - 3} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trìnhnào sau đây? A. \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y \le 3\\3x + 5y \le 1\end{array} \right..\) B. \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y > 3\\3x + 5y \le - 3\end{array} \right..\) C. \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y > - 3\\3x + 5y \ge 8\end{array} \right..\) D. \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y \le - 3\\3x + 5y \ge 0\end{array} \right..\) Câu 20: Giá trị nhỏ nhất \({F_{\min }}\) của biểu thức \(F\left( {x;y} \right) = y--x\) trên miền xác định bởi hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y - 2x \le 2}\\{2y - x \ge 4}\\{x + y \le 5}\end{array}} \right.\) là A. \({F_{\min }} = 1.\) B. \({F_{\min }} = 2.\) C. \({F_{\min }} = 3.\) D. \({F_{\min }} = 4.\) Câu 21: Hàm số bậc hai nào sau đây có đồ thị là parabol có hoành độ đỉnh là \(\frac{5}{2}\)và đi qua \(A\left( {1; - 4} \right)\)? A. \(y = {x^2} - 5x + 8\). B. \(y = 2{x^2} + 10x - 16\). C. \(y = {x^2} - 5x\). D. \(y = - 2{x^2} + 5x + 1\). Câu 22: Cho biết \(\tan \alpha = - 3.\) Giá trị của \(P = \frac{{6\sin \alpha - 7\cos \alpha }}{{6\cos \alpha + 7\sin \alpha }}\) bằng bao nhiêu? A. \(P = \frac{4}{3}.\) B. \(P = \frac{5}{3}.\) C. \(P = - \frac{4}{3}.\) D. \(P = - \frac{5}{3}.\) Câu 23: Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm \(D\) sao cho \(\overrightarrow {BD} {\rm{\;}} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \). Khi đó, vectơ \(\overrightarrow {AD} \) bằng A. \(\frac{2}{3}\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \) B. \(\frac{1}{3}\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \) C. \(\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \) D. \(\frac{5}{3}\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \) Câu 24: Cho hai vecto \(\vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec b\) bất kỳ; \(\forall k,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} h \in \mathbb{R}\). Khẳng định nào sau đây không đúng? A. \(0.\vec a = 0\) B. \(k\left( {\vec a + \vec b} \right) = k\vec a + k\vec b\) C. \(k.\vec 0 = \vec 0\) D. \(h\left( {k\vec a} \right) = \left( {hk} \right)\vec a\) Câu 25: Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 6\)cm, \(BC = 10\)cm. Tính bán kính \(r\) của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho. A. \(r = 1\) cm. B. \(r = \sqrt 2 \) cm. C. \(r = 2\) cm. D. \(r = 3\) cm. Phần 2: Tự luận (5 điểm) Câu 1: Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí \(A\), đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau góc \({60^0}\). Tàu \(B\) chạy với tốc độ \(20\) hải lí một giờ. Tàu \(C\) chạy với tốc độ \(15\) hải lí một giờ. Sau hai giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí (làm tròn đến số thập phân)? Câu 2: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn a) \(|\overrightarrow {{\rm{MB}}} + \overrightarrow {{\rm{MC}}} | = |\overrightarrow {{\rm{MB}}} - \overrightarrow {{\rm{MC}}} |\) b) \(|2\overrightarrow {{\rm{MA}}} + 3\overrightarrow {{\rm{MB}}} | = |3\overrightarrow {{\rm{MB}}} + 2\overrightarrow {{\rm{MC}}} |\) c) \(|4\overrightarrow {{\rm{MA}}} + \overrightarrow {{\rm{MB}}} + \overrightarrow {{\rm{MC}}} | = |2\overrightarrow {{\rm{MA}}} - \overrightarrow {{\rm{MB}}} - \overrightarrow {{\rm{MC}}} |\) Câu 3: Tìm parabol (P) \(y = a{x^2} + bx + c\) biết (P) có đỉnh \(I(1; - 2)\) và giao với Oy tại điểm có tung độ bằng -1. Vẽ đồ thị hàm số tìm được.
----- HẾT ----- Giải đề 10 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Phần 1: Trắc nghiệm (25 câu – 5 điểm)
Câu 1 (NB): Phương pháp: Mệnh đề là câu khẳng định có tính đúng hoặc sai. Cách giải: Các câu c), f), g) không phải là mệnh đề Chọn C. Câu 2 (TH): Cách giải: Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0\,\,;\,\, - 1} \right)\) nên \(c = - 1\). Tọa độ đỉnh \(I\left( {1\,\,;\, - 2} \right)\), ta có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 1\\a{.1^2} + b.1 - 1 = - 2\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b = 0\\a + b = - 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 2\end{array} \right.\). Vậy parabol cần tìm là: \(y = {x^2} - 2x - 1\). Chọn C. Câu 3 (TH): Phương pháp: Sử dụng tính chất trung điểm: \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow 0 \) với O là trung điểm của AB. Sử dụng quy tắc hình bình hành \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \) Cách giải:
Xét các đáp án: Đáp án A. Ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} } \right) + \left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} } \right) = \vec 0.\) Đáp án B. Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc hình bình hành). Đáp án C. Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD\\\left| {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right| = BD\end{array} \right.\). Đáp án D. Do \(\overrightarrow {CD} \ne \overrightarrow {CB} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} } \right) \ne \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} } \right).\) Chọn D. Câu 4 (TH): Cách giải: Ta dùng biểu đồ Ven để giải: Gọi A là tập hợp các học sinh giỏi Toán của lớp 10E B là tập hợp các học sinh giỏi Lý của lớp 10E C là tập hợp các học sinh giỏi Hóa của lớp 10E \( \Rightarrow n(A) = 7;n(B) = 5;n(6)\) Hơn nữa \(n(A \cap B) = 3;n(A \cap C) = 4;n(B \cap C) = 2;n(A \cap B \cap C) = 1\) Số học sinh giỏi Toán và Lý mà không giỏi Hóa là: \(3 - 1 = 2\) (học sinh) Số học sinh giỏi Toán và Hóa mà không giỏi Lý là: \(4 - 1 = 3\) (học sinh) Số học sinh giỏi Lý và Hóa mà không giỏi Toán là: \(2 - 1 = 1\) (học sinh)
Số học sinh chỉ giỏi Toán là: \(7 - 2 - 1 - 3 = 1\) (học sinh) Số học sinh chỉ giỏi Lí là: \(5 - 2 - 1 - 1 = 1\) (học sinh) Số học sinh chỉ giỏi Hóa là: \(6 - 3 - 1 - 1 = 1\) (học sinh) Nhìn vào biểu đồ, số học sinh giỏi ít nhất \(1\) trong \(3\) môn là: \(1 + 2 + 1 + 3 + 1 + 1 + 1 = 10\) Chọn B. Câu 5 (TH): Cách giải: Ta có \(3x + 2\left( {y + 3} \right) > 4\left( {x + 1} \right) - y + 3\, \Leftrightarrow \, - x + 3y - 1 > 0\). Vì \( - 2 + 3.1 - 1 > 0\) là mệnh đề đúng nên miền nghiệm của bất phương trình trên chứa điểm có tọa độ \(B\). Chọn C. Câu 6 (TH): Cách giải: Do miền nghiệm không chứa biên nên ta loại đáp án A và C. Chọn điểm \(M\left( {0;1} \right)\)thử vào các hệ bất phương trình. Xét đáp án B, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}0 - 2.1 > 0\\0 + 3.1 < - 2\end{array} \right.\): Sai. Chọn D. Câu 7 (VD): Phương pháp: Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC tính BC: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A\). Cách giải: Áp dụng định lí Cosin, ta có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A\) \( = {3^2} + {6^2} - 2.3.6.\cos {60^ \circ } = 27 \Leftrightarrow B{C^2} = 27 \Rightarrow B{C^2} + A{B^2} = A{C^2}.\) Suy ra tam giác ABC vuông tại B do đó bán kính \(R = \frac{{AC}}{2} = 3\) Chọn A. Câu 8 (TH): Cách giải: Hàm số \(y = - {x^2} + 4x - 5\) có \(a = - 1 < 0\), nên loại C,D. Hoành độ đỉnh \({x_I} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{4}{{2.( - 1)}} = 2\) Chọn B. Câu 9 (TH): Phương pháp: Sử dụng \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\). Cách giải: Hai góc \(15^o\) và \(75^o\) phụ nhau nên \(\sin 75^o =\cos 15^o\) Hai góc \(20^o\) và \(110^o\) hơn kém nhau \(90^o\) nên \(\sin 20^o =-\cos 110^o\) Do đó, \(\begin{array}{l}S = {\sin ^2}{15^ \circ } + {\cos ^2}{20^ \circ } + {\sin ^2}{75^ \circ } + {\cos ^2}{110^ \circ }\\ = {\sin ^2}{15^ \circ } + {\cos ^2}{20^ \circ } + {\cos ^2}{15^ \circ } + {\left( { - \sin {{20}^ \circ }} \right)^2}\\ = {\sin ^2}{15^ \circ } + {\cos ^2}{15^ \circ } + {\cos ^2}{20^ \circ } + \sin {20^ \circ }^2\\ = 2\end{array}\) Chọn C. Câu 10 (VD): Phương pháp: Sử dụng quy tắc ba điểm, phép nhân vectơ với một số. Cách giải:
Từ giả thiết suy ra \(AC = a\sqrt 2 \) Ta có \(P = \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CA} } \right) = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CA} = - \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CD} - {\overrightarrow {AC} ^2}\) \( = - CA.CD.\cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CD} } \right) - A{C^2} = - a\sqrt 2 .a.\cos {45^ \circ } - {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = - 3{a^2}\) Chọn C. Câu 11 (TH): Phương pháp:
Cách giải: Hàm số \(y = \sqrt {6 - 2x} - \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }}\) xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}6 - 2x \ge 0\\x + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 3\\x > - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 < x \le 3\) Vậy tập xác định \(D = ( - 1;3]\) Chọn C. Câu 12 (TH): Phương pháp: Thay tọa độ các điểm vào hàm số Cách giải: Với \(x = - 5,x = 0\)thì \(y = \frac{{\sqrt {x - 3} + 10}}{{x + 5}}\) không xác định. Suy ra điểm \(( - 5;2)\) và \((0;6)\)không thuộc đồ thị hàm số Với \(x = 4\) thì \(y = \frac{{\sqrt {4 - 3} + 10}}{{4 + 5}} = \frac{{11}}{9} \ne 1,1\). Suy ra điểm \((4;1,1)\)không thuộc đồ thị hàm số.
Với \(x = 7\) thì \(y = \frac{{\sqrt {7 - 3} + 10}}{{7 + 5}} = 1\). Suy ra điểm \((7;1)\) thuộc đồ thị hàm số. Chọn A. Câu 13 (TH): Phương pháp: Áp dụng phương pháp phân tích một vecto theo hai vecto cùng phương. Tính chất trọng tâm của tam giác. Cách giải:
Vì \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) nên \(\overrightarrow {GA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {GB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {GC} {\rm{\;}} = \vec 0\)\( \Rightarrow \overrightarrow {GC} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - \overrightarrow {GA} {\rm{\;}} - \overrightarrow {GB} \) . Ta có: \(\overrightarrow {BC} {\rm{\;}} = \overrightarrow {BG} {\rm{\;}} + \overrightarrow {GC} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {BC} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - \overrightarrow {GB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {GC} \) \( \Rightarrow \overrightarrow {BC} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - \overrightarrow {GA} {\rm{\;}} - 2\overrightarrow {GB} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - \vec a - 2\vec b\)\( = {\rm{\;}} - \overrightarrow {GB} {\rm{\;}} - \overrightarrow {GA} {\rm{\;}} - \overrightarrow {GB} \) \( = {\rm{\;}} - \overrightarrow {GA} {\rm{\;}} - 2\overrightarrow {GB} \) Mà \(\overrightarrow {BC} {\rm{\;}} = m\vec a + n\vec b\) suy ra \(m = {\rm{\;}} - 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} n = {\rm{\;}} - 2\). Chọn B. Câu 14 (TH): Cách giải: Ta có \(\widehat {ABC} = {180^ \circ } - \left( {\widehat {BAC} + \widehat {ACB}} \right) = {75^ \circ } = \widehat {ACB}\) Suy ra tam giác ABC cân tại A nên AB=AC=4. Diện tích tam giác ABC là \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} = 4\) Chọn C. Câu 15 (NB): Cách giải: Với \(a > 0\), ta có bảng biến thiên Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right).\) Chọn B. Câu 16 (NB): Phương pháp: Sử dụng định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ:\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\) Cách giải: Xác định được góc \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right)\) là góc ngoài của góc \(\widehat B\) nên \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {120^ \circ }\) Do đó \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = AB.BC.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = a.a.\cos {120^ \circ } = - \frac{{{a^2}}}{2}\) Chọn C. Câu 17 (NB): Phương pháp: Liệt kê các ước chung của 36 và 120. Cách giải: Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}36 = {2^2}{.3^2}\\120 = {2^3}.3.5\end{array} \right.\). Do đó \(A = \left\{ {1;2;3;4;6;12} \right\}\). Chọn A. Câu 18 (NB): Phương pháp: \(A \cap B = \{ x \in A\) và \(x \in B\} .\) \(A \cup B = \{ x \in A\) hoặc \(x \in B\} .\) \(A\backslash B = \{ x \in A\) và \(x \notin B\} .\) Cách giải: Ta có: \(A = \left\{ {0;1;2;3;4} \right\},{\rm{ }}B = \left\{ {1;3;4;6;8} \right\}.\) \(A \cap B = \{ 1;3;4\} \ne B.\) \(A \cup B = \{ 0;1;2;3;4;6;8\} \ne A.\) \(A\backslash B = \left\{ {0;2} \right\}.\) \(B\backslash A = \{ 6;8\} \ne \left\{ {0;4} \right\}.\) Chọn C. Câu 19 (NB): Phương pháp: Thay tọa độ điểm M vào từng hệ bất phương trình. Cách giải: Thay tọa độ \(M\left( {0; - 3} \right)\) vào biểu thức \(2x - y\)ta được: \(2.0 - ( - 3) = 3\) \( \Rightarrow \)Loại B, D. Thay tọa độ \(M\left( {0; - 3} \right)\) vào biểu thức \(3x + 5y\)ta được: \(3.0 + 5.( - 3) = - 15\) \( \Rightarrow \)Loại C Chọn A. Câu 20 (TH): Phương pháp: Bước 1. Biểu diễn miền nghiệm của hệ BPT Bước 2. Xác định tọa độ đỉnh của miền nghiệm Bước 3. Tính giá trị của F tại các đỉnh. KL giá trị nhỏ nhất. Cách giải: Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y - 2x \le 2}\\{2y - x \ge 4}\\{x + y \le 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y - 2x - 2 \le 0}\\{2y - x - 4 \ge 0}\\{x + y - 5 \le 0}\end{array}} \right..\) \(\left( * \right)\) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\)vẽ các đường thẳng \(\begin{array}{l}{d_1}:y - 2x - 2 = 0,\,\,{\rm{ }}{d_2}:2y - x - 4 = 0,{\rm{ }}\\{\rm{ }}{d_3}:x + y - 5 = 0.\end{array}\) Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left( * \right)\) là phần mặt phẳng (tam giác \(ABC\) kể cả biên) tô màu như hình vẽ. Xét các đỉnh của miền khép kín tạo bởi hệ \(\left( * \right)\) là \(A\left( {0;2} \right),{\rm{ }}B\left( {2;3} \right),{\rm{ }}C\left( {1;4} \right).\) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}F\left( {0;2} \right) = 2\\F\left( {2;3} \right) = 1\\F\left( {1;4} \right) = 3\end{array} \right. \Rightarrow {\rm{ }}{F_{\min }} = 1{\rm{ }}{\rm{.}}\) Chọn A. Câu 21 (TH): Cách giải: Hàm số bậc hai cần tìm có phương trình: \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) Đồ thị là parabol có hoành độ đỉnh là \(\frac{5}{2}\)và đi qua \(A\left( {1; - 4} \right)\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{5}{2}\\a + b + c = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{a} = 5\\a + b + c = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 5a\\a + b + c = - 4\end{array} \right.\) \(A\left( {1; - 4} \right)\) không thuộc hàm số \(y = {x^2} - 5x + 8\)=> Loại A. Hàm số \(y = 2{x^2} + 10x - 16\) có \(b = 10,a = 2 \Rightarrow b \ne - 5a\) => Loại B Hàm số \(y = {x^2} - 5x\) có \(b = - 5,a = 1 \Rightarrow b = - 5a\), đi qua \(A\left( {1; - 4} \right)\) (TM) Hàm số \(y = - 2{x^2} + 5x + 1\) có \(b = 5,a = - 2 \Rightarrow b \ne - 5a\) => Loại D Chọn C. Câu 22 (VD): Phương pháp: Chia cả tử và mẫu biểu thức P cho \(\cos \alpha \) và biểu diễn biểu thức P theo \(\tan \alpha \). Cách giải: Ta có \(P = \frac{{6\sin \alpha - 7\cos \alpha }}{{6\cos \alpha + 7\sin \alpha }} = \frac{{6\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 7}}{{6 + 7\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}} = \frac{{6\tan \alpha - 7}}{{6 + 7\tan \alpha }} = \frac{5}{3}\) Chọn B. Chọn B. Câu 23 (TH): Phương pháp: Áp dụng định nghĩa tích của vecto với một số, quy tắc cộng vecto để phân tích vecto. Cách giải:
Ta có: \(\overrightarrow {AD} {\rm{\;}} = \overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {BD} {\rm{\;}} = \overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \) \({\mkern 1mu} = \overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AC} } \right)\)\( = \overrightarrow {AB} {\rm{\;}} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)\({\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \) \( \Rightarrow \overrightarrow {AD} {\rm{\;}} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \) Chọn A. Câu 24 (NB): Phương pháp: Áp dụng các tính chất của phép nhân véctơ với một số. Cách giải: Với \(\vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec b\) tùy ý; \(\forall k,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} h \in \mathbb{R}\) ta có: +) \(0.\vec a = 0\) là đáp án sai vì \(0.\vec a = \vec 0\). +) \(k\left( {\vec a + \vec b} \right) = k\vec a + k\vec b\) (đúng) +) \(k.\vec 0 = \vec 0\) (đúng) +) \(h\left( {k\vec a} \right) = \left( {hk} \right)\vec a\) (đúng) Chọn A. Câu 25 (NB): Cách giải: Dùng Pitago tính được \(AC = 8\), suy ra \(p = \frac{{AB + BC + CA}}{2} = 12\) Diện tích tam giác vuông \(S = \frac{1}{2}AB.AC = 24\) .Lại có \(S = p.r \Rightarrow r = \frac{S}{p}2cm\) Chọn C. Phần 2: Tự luận (5 điểm) Câu 1 (VD): Phương pháp: Áp dụng định lí côsin \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\) Cách giải: Sau giờ tàu đi được hải lí, tàu đi được hải lí. Vậy tam giác có \(AB = 40,AC = 30\) và \(\widehat A = {60^ \circ }.\) Áp dụng định lí côsin vào tam giác ta có \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A = {30^2} + {40^2} - 2.30.40\cos {60^ \circ } = 900 + 1600 - 1200 = 1300\) Vậy \(BC = \sqrt {1300} \approx 36\)(hải lí). Sau giờ, hai tàu cách nhau khoảng 36 hải lí. Câu 2 (VD): Cách giải: a) Gọi I là trung điểm \({\rm{BC}}\) ta có: \(|\overrightarrow {{\rm{MB}}} + \overrightarrow {{\rm{MC}}} | = |\overrightarrow {{\rm{MB}}} - \overrightarrow {{\rm{MC}}} | \Leftrightarrow {\rm{ }}|\overrightarrow {{\rm{MI}}} | = |\overrightarrow {{\rm{CB}}} | \Leftrightarrow {\rm{MI}} = \frac{{{\rm{BC}}}}{2}\) Vậy tập hợp điểm \({\rm{M}}\) là đường tròn tâm \({\rm{I}}\), bán kính \({\rm{R}} = \frac{{{\rm{BC}}}}{2}\). b) Gọi \({\rm{K}}\) là điểm thoả mān: L là điểm thoả mān: \(3\overrightarrow {{\rm{LB}}} + 2\overrightarrow {{\rm{LC}}} = \vec 0\) Ta có: \(|2\overrightarrow {{\rm{MA}}} + 3\overrightarrow {{\rm{MB}}} | = |3\overrightarrow {{\rm{MB}}} + 2\overrightarrow {{\rm{MC}}} |\) \( \Leftrightarrow |5\overrightarrow {{\rm{MK}}} | = |5\overrightarrow {{\rm{ML}}} | \Leftrightarrow {\rm{MK}} = {\rm{ML}}\) \( \Rightarrow \) Tập hợp điểm \({\rm{M}}\) là đường trung trực của đoạn thẳng \({\rm{KL}}\). c) Với I là trung điểm của \({\rm{BC}}\). Gọi \({\rm{J}}\) là điểm thoả mān: \(4\overrightarrow {{\rm{JA}}} + \overrightarrow {{\rm{JB}}} + \overrightarrow {{\rm{JC}}} = \vec 0\) Ta có: \(|4\overrightarrow {{\rm{MA}}} + \overrightarrow {{\rm{MB}}} + \overrightarrow {{\rm{MC}}} | = |2\overrightarrow {{\rm{MA}}} - \overrightarrow {{\rm{MB}}} - \overrightarrow {{\rm{MC}}} |\) \( \Leftrightarrow |6\overrightarrow {{\rm{MJ}}} | = |2\overrightarrow {{\rm{MA}}} - 2\overrightarrow {{\rm{MI}}} | \Leftrightarrow |6\overrightarrow {{\rm{MJ}}} | = |2\overrightarrow {{\rm{IA}}} | \Leftrightarrow {\rm{MJ}} = \frac{1}{3}{\rm{IA}} = \) const Vậy tập hợp điểm \(M\) là đường tròn tâm \({\rm{J}}\) bán kính \({\rm{R}} = \frac{1}{3}{\rm{IA}}\). Câu 3 (VD): Cách giải: Parabol (P) \(y = a{x^2} + bx + c\) giao với Oy tại điểm có tọa độ \((0;c)\), do đó \(c = - 1\) (P) có hoành độ đỉnh \({x_I} = - \frac{b}{{2a}} = 1 \Rightarrow b = - 2a\) Điểm \(I(1; - 2)\) thuộc (P) nên \(a{.1^2} + b.1 - 1 = - 2\) hay \(a + b = - 1\) Từ đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = - 1\\b = - 2a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 2\\a = 1\end{array} \right.\) Vậy parabol cần tìm là \(y = {x^2} - 2x - 1\) * Vẽ parabol Đỉnh \(I(1; - 2)\) Trục đối xứng \(x = 1\) Giao với Oy tại A(0;-1), lấy điểm B(2;-1) đối xứng với A qua trục đối xứng Lấy điểm C(-1;2) và D(3;2) thuộc đồ thị.  Chia sẻ Bình luận
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
|
B. 
C. 
D. 
B.
C. 
D. 
B. 
C. 
D. 
. B.
.
. D. 
`
B. 
C. 
D. 
. B. 
.
. D. 
.
B. 
D. 
B. 
D. 
