Tổng hợp lí thuyết chương 1

1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$, khi đó:

+) $f'\left( x \right) > 0$ trên khoảng nào thì hàm số đồng biến trên khoảng đó.

+) $f'\left( x \right) < 0$ trên khoảng nào thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

Điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\)

+) Để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {a,b} \right)$ thì $f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( {a,b} \right)$.

+) Để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {a,b} \right)$ thì $f'\left( x \right) \le 0,\forall x \in \left( {a,b} \right).$

2. Cực trị của hàm số

Dấu hiệu 1:

+) Nếu  $f'\left( {{x_0}} \right) = 0$ hoặc $f'\left( x \right)$ không xác định tại ${x_0}$ và nó đổi dấu từ dương sang âm khi qua ${x_0}$ thì ${x_0}$ là điểm cực đại của hàm số.

+) Nếu  $f'\left( {{x_0}} \right) = 0$ hoặc $f'\left( x \right)$ không xác định tại ${x_0}$ và nó đổi dấu từ âm sang dương khi qua ${x_0}$ thì ${x_0}$ là điểm cực tiểu của hàm số.

Dấu hiệu 2:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm đến cấp $2$ tại ${x_0}$.

+) ${x_0}$ là điểm cực đại $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) < 0\end{array} \right.$

+) ${x_0}$ là điểm cực tiểu $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) > 0\end{array} \right.$

3. Giá trị lớn nhất và giá tị nhỏ nhất của hàm số

Quy tắc tìm GTLN – GTNN của hàm số:

*) Quy tắc chung: (Thường dùng cho $D$ là một khoảng)

- Tính $f'\left( x \right)$, giải phương trình $f'\left( x \right) = 0$ tìm nghiệm trên $D.$

- Lập BBT cho hàm số trên $D.$

- Dựa vào BBT và định nghĩa từ đó suy ra GTLN, GTNN.

*) Quy tắc riêng: (Dùng cho $\left[ {a;b} \right]$) . Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$

- Tính $f'\left( x \right)$, giải phương trình $f'\left( x \right) = 0$ tìm nghiệm trên $\left[ {a,b} \right]$.

- Giả sử phương trình có các nghiệm ${x_1},{x_2},... \in \left[ {a,b} \right]$.

- Tính các giá trị $f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),...$.

- So sánh chúng và kết luận.

4. Tiệm cận của đồ thị hàm số

+) Đường thẳng $x = a$ là TCĐ của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ nếu có một trong các điều kiện sau:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} y =  + \infty $ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} y =  - \infty $ hoặc$\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} y =  + \infty $ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} y =  - \infty $

+) Đường thẳng $y = b$ là TCN của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ nếu có một trong các điều kiện sau:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = b$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = b$

5. Bảng biến thiên và đồ thị hàm số

a) Các dạng đồ thị hàm số bậc ba $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$

b) Các dạng đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương $y = a{x^4} + b{x^2} + c$

c) Các dạng đồ thị hàm số $y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}$

+) Tập xác định: $D = R\backslash \left\{ { - \dfrac{d}{c}} \right\}$

+) Đạo hàm: $y = \dfrac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}$

- Nếu $ad - bc > 0$ hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm góc phần tư $2$ và $4.$

- Nếu $ad - bc < 0$ hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm góc phần tư $1$ và $3.$

+) Đồ thị hàm số có: TCĐ: $x =  - \dfrac{d}{c}$ và TCN: $y = \dfrac{a}{c}$

+) Đồ thị có tâm đối xứng: $I\left( { - \dfrac{d}{c};\dfrac{a}{c}} \right)$

6. Sự tương giao của đồ thị hàm số

a) Tìm giao điểm của hai đồ thị hàm số

Phương pháp:

Cho $2$ hàm số $y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)$ có đồ thị lần lượt là $\left( C \right)$ và $\left( {C'} \right).$  

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và $\left( {C'} \right):$$f\left( x \right) = g\left( x \right)\,\,\,\left( * \right)$

+) Giải phương trình tìm $x$ từ đó suy ra $y$ và tọa độ giao điểm.

+) Số nghiệm của $\left( * \right)$ là số giao điểm của $\left( C \right)$ và $\left( {C'} \right).$

b) Tương giao của đồ thị hàm số bậc ba

Phương pháp 1: Bảng biến thiên (PP đồ thị)

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng $F\left( {x,m} \right) = 0$ (phương trình ẩn $x$ tham số $m$)

+) Cô lập $m$ đưa phương trình về dạng $m = f\left( x \right)$

+) Lập BBT cho hàm số $y = f\left( x \right)$.

+) Dựa vào giả thiết và BBT từ đó suy ra $m.$

*) Dấu hiệu: Sử dụng PP bảng biến thiên khi $m$ độc lập với $x.$

Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc 2.

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm $F\left( {x,m} \right) = 0$

+) Nhẩm nghiệm: (Khử tham số). Giả sử $x = {x_0}$ là $1$ nghiệm của phương trình.

+) Phân tích: $F\left( {x,m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - {x_0}} \right).g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {x_0}\\g\left( x \right) = 0\end{array} \right.$ ($g\left( x \right) = 0$ là phương trình bậc $2$ ẩn $x$ tham số $m$).

+) Dựa vào yêu cầu bài toán đi xử lý phương trình bậc $2$ $g\left( x \right) = 0$.