Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

1. Kiến thức cần nhớ

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \({x_0}\). Khi đó:

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tiếp tuyến tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số.

Cho hàm số \(\left( C \right):y = f\left( x \right)\) và điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại \(M\).

Phương pháp:

- Bước 1: Tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\) và tìm hệ số góc của tiếp tuyến \(k = f'\left( {{x_0}} \right)\).

- Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến tại \(M\): \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\).

Dạng 2: Tiếp tuyến có hệ số góc \(k\) cho trước.

Phương pháp:

- Bước 1: Gọi \(\left( \Delta  \right)\) là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc \(k\).

- Bước 2: Giả sử \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tiếp điểm. Khi đó \({x_0}\) thỏa mãn \(f'\left( {{x_0}} \right) = k\).

- Bước 3: Giải phương trình trên tìm \({x_0} \Rightarrow {y_0} = f\left( {{x_0}} \right)\).

- Bước 4: Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: \(y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\).

Dạng 3: Tiếp tuyến đi qua một điểm.

Cho đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = f\left( x \right)\) và điểm \(A\left( {a;b} \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) biết tiếp tuyến đi qua \(A\).

Phương pháp:

- Bước 1: Gọi \(\Delta \) là đường thẳng qua \(A\) và có hệ số góc \(k\). Khi đó \(\Delta :y = k\left( {x - a} \right) + b\)

- Bước 2: Để \(\Delta \) là tiếp tuyến của \(\left( C \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = k\left( {x - a} \right) + b\\f'\left( x \right) = k\end{array} \right.\)  có nghiệm.

- Bước 3: Giải hệ phương trình trên tìm \(k\), thay vào ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

3. Bài tập

1) Cho hàm số \(y = f(x) = {x^2}\) có đồ thị (C) và điểm \(M(2;4) \in (C)\). Tính hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại điểm \(M\) và viết phương trình của tiếp tuyến đó.

Giải:

Ta có \({({x^2})^\prime } = 2x\) nên tiếp tuyến của (C) tại \(M\) có hệ số góc là \(f'(2) = 2.2 = 4\).

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại \(M\) là \(y - 4 = 4(x - 2) \Leftrightarrow y = 4x - 4\).

2) Viết phương trình tiếp tuyến của parabol (P): \(y = 3{x^2}\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 1\).

Ta có \(y' = 6x\). Do đó, hệ số góc của tiếp tuyến là \(k = f'(1) = 6\). Ngoài ra, ta có \(f(1) = 3\) nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y - 3 = 6(x - 1)\) hay \(y = 6x - 3\).

3) Cho hàm số \(y =  - {x^2}\) có đồ thị (C).

a) Xác định hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 3.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm \(M(3; - 9)\).

Giải:

a) Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 3 có hệ số góc là:

\(f'(3) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(x) - f(3)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{ - {x^2} - ( - {3^2})}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} ( - x - 3) =  - 6\).

b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm \(M(3; - 9)\) là: \(y =  - 6(x - 3) + ( - 9)\) hay \(y =  - 6x + 9\).

Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) với hệ số góc k, ta thực hiện:

B1: Tính đạo hàm f’(x).

B2: Giải phương trình f’(x) = 0, được các nghiệm x = a, x = b,...

B3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại các điểm có hoành độ là các nghiệm vừa tìm được:

\(y = k(x - a) + f(a)\); \(y = k(x - b) + f(b)\);...

4) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x - 2}}\) biết tiếp tuyến có hệ số góc là \(k =  - 1\).

Giải:

Ta có: \(y' = \frac{{ - 1}}{{{{(x - 2)}^2}}}\).

Do tiếp tuyến có hệ số góc \(k =  - 1\) nên ta có: \(\frac{{ - 1}}{{{{(x - 2)}^2}}} =  - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.\)

Với \({x_0} = 3 \Rightarrow {y_0} = 2 \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến là: \(y =  - 1(x - 3) + 2 =  - x + 5\).

Với \({x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} = 0 \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến là: \(y =  - (x - 1) =  - x + 1\).

5) Cho hàm số: \(y = \frac{{x + 2}}{{x - 1}}\) (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến qua \(A(1;7)\).

Giải:

Ta có: \(y = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} - 1}}\). Tiếp tuyến qua \(A(1;7)\) nên:

\(7 = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {1 - {x_0}} \right) + \frac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} - 1}} = \frac{{{x_0} + 5}}{{{x_0} - 1}} \Leftrightarrow 7({x_0} - 1) = {x_0} + 5 \Leftrightarrow {x_0} = 2\).

Phương trình tiếp tuyến là: \(y =  - 3(x - 2) + 4\) hay \(y =  - 3x + 10\).

6) Cho hàm số \(y = {x^4} + 2{x^2} + 5(C)\). Viết phương trình tiếp tuyến của \((C)\) biết tiếp tuyến đi qua gốc toạ độ.

Giải:

Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M({x_0};x_0^4 + 2x_0^2)\) là \(y = (4x_0^3 + 4{x_0})(x - {x_0}) + x_0^4 + 2x_0^2 + 5\) (d).

Do \(O(0;0) \in d\) nên \(0 =  - 3x_0^4 - 2x_0^2 + 5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{x_0} =  - 1\end{array} \right.\) .

Do đó phương trình tiếp tuyến là \(\left[ \begin{array}{l}y = 8x\\y =  - 8x\end{array} \right.\).

7) Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\) (C). Viết phương trình các tiếp tuyến kẻ từ điểm \(A(2; - 8)\) đến đồ thị (C).

Giải:

Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M({x_0};\frac{{2{x_0} + 1}}{{{x_0} - 2}})\) là \(y = \frac{{ - 5}}{{({x_0} - 2)}}(x - {x_0}) + \frac{{2{x_0} + 1}}{{{x_0} - 2}}\) (d).

Do \(A(2; - 8) \in d\) nên ta có: \( - 8 = \frac{{ - 5(2 - {x_0})}}{{{{({x_0} - 2)}^2}}} + \frac{{2{x_0} + 1}}{{{x_0} - 2}} = \frac{{2{x_0} + 6}}{{{x_0} - 2}} \Leftrightarrow {x_0} = 1\).

Do vậy phương trình tiếp tuyến là: \(y =  - 5(x - 1) - 3 =  - 5x + 2\).

2. Một số dạng toán thường gặp