Phương pháp giải một số dạng bài tập về giao thoa sóng

I. Phương pháp giải bài tập xác định cực đại - Cực tiểu trong giao thoa sóng

1. DẠNG 1: TÌM SỐ ĐIỂM DAO ĐỘNG CỰC ĐẠI - CỰC TIỂU GIỮA HAI NGUỒN.

Phương pháp

- Hai nguồn cùng pha:

( \({{\bf{S}}_{\bf{1}}}{{\bf{S}}_{\bf{2}}} = {\bf{AB}}{\rm{ }} = \ell \))

Số Cực đại giữa hai nguồn:  \( - \dfrac{l}{\lambda } < k < \dfrac{l}{\lambda }\)   và \(k \in Z\)

Số Cực tiểu giữa hai nguồn: \( - \dfrac{l}{\lambda } - \dfrac{1}{2} < k < \dfrac{l}{\lambda } - \dfrac{1}{2}\)  và \(k \in Z\) . hay \( - \dfrac{l}{\lambda } < k + 0,5 <  + \dfrac{l}{\lambda }{\rm{     (k}} \in {\rm{Z)}}\)

- Hai nguồn ngược pha: \(\Delta \varphi = {\varphi _1} - {\varphi _2} = \pi \)

Điểm dao động cực đại:  \({d_1}-{\rm{ }}{d_2} = \left( {2k + 1} \right)\dfrac{\lambda }{2}{\rm{       }}(k \in Z)\)

Số đường hoặc số điểm dao động cực đại (không tính hai nguồn):

Số Cực đại: \( - \dfrac{l}{\lambda } - \dfrac{1}{2} < k < \dfrac{l}{\lambda } - \dfrac{1}{2}\)  Hay \( - \dfrac{l}{\lambda } < k + 0,5 <  + \dfrac{l}{\lambda }{\rm{     (k}} \in {\rm{Z)}}\)

Điểm dao động cực tiểu (không dao động): \({d_1}-{\rm{ }}{d_2} = k\lambda {\rm{     }}(k \in Z)\)

Số đường hoặc số điểm dao động cực tiểu  (không tính hai nguồn):

Số Cực tiểu: \( - \dfrac{l}{\lambda } < k <  + \dfrac{l}{\lambda }{\rm{     (k}} \in {\rm{Z)}}\)

- Hai nguồn vuông pha: \(\Delta \varphi = \left( {2k + 1} \right)\dfrac{\pi }{2}\)

+ Phương trình hai nguồn kết hợp: \({u_A} = A\cos \omega t\);\({u_B} = A\cos (\omega t + \dfrac{\pi }{2})\).

+ Phương trình sóng tổng hợp tại M: \(u = 2A\cos \left( {\dfrac{\pi }{\lambda }\left( {{d_2} - {d_1}} \right) - \dfrac{\pi }{4}} \right)\cos \left( {\omega t - \dfrac{\pi }{\lambda }\left( {{d_1} + {d_2}} \right) + \dfrac{\pi }{4}} \right)\)

+  Độ lệch pha của hai sóng thành phần tại M: \(\Delta \varphi  = \dfrac{{2\pi }}{\lambda }\left( {{d_2} - {d_1}} \right) - \dfrac{\pi }{2}\)

+ Biên độ sóng tổng hợp:   \(u = 2A\left| {\cos \left( {\dfrac{\pi }{\lambda }\left( {{d_2} - {d_1}} \right) - \dfrac{\pi }{4}} \right)} \right|{A_M} = \)

* Số Cực đại: \( - \dfrac{l}{\lambda } + \dfrac{1}{4} < k <  + \dfrac{l}{\lambda } + \dfrac{1}{4}{\rm{     (k}} \in {\rm{Z)}}\)    

* Số Cực tiểu:\( - \dfrac{l}{\lambda } - \dfrac{1}{4} < k <  + \dfrac{l}{\lambda } - \dfrac{1}{4}{\rm{     (k}} \in {\rm{Z)}}\)    Hay  \( - \dfrac{l}{\lambda } < k + 0,25 <  + \dfrac{l}{\lambda }{\rm{     (k}} \in {\rm{Z)}}\)

Nhận xét: số điểm cực đại và cực tiểu trên đoạn AB là bằng nhau nên có thể dùng 1 công thức là đủ

=> Số giá trị nguyên của k thoả mãn các biểu thức trên là số đường cần tìm.

Bài tập ví dụ:

Hai nguồn sóng cơ A,B trên mặt chất lỏng cách nhau 20 cm, dao động theo phương trình: \({u_A} = 4\cos \left( {40\pi t + \frac{\pi }{6}} \right)\left( {cm} \right)\) và \({u_B} = 4\cos \left( {40\pi t + \frac{\pi }{2}} \right)\left( {cm} \right)\), Lan truyền trong môi trường với tốc độ v = 1,2 m/s. Tìm số điểm dao động với biên độ cực đại và cực tiểu giữa hai nguồn A và B.

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\Delta \varphi  = \frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{3}\)

\(\omega  = 40\pi  \Rightarrow f = 20Hz \Rightarrow \lambda  = \frac{v}{f} = \frac{{120}}{{20}} = 6cm\)

Số điểm dao động với biên độ cực đại giữa A,B là:

\(\begin{array}{l} - \frac{l}{\lambda } + \frac{{\Delta \varphi }}{{2\pi }} < k < \frac{l}{\lambda } + \frac{{\Delta \varphi }}{{2\pi }} \\\Leftrightarrow  - \frac{{20}}{6} + \frac{1}{6} < k < \frac{{20}}{6} + \frac{1}{6}\\ \Leftrightarrow  - 3,16 < k < 3,5\end{array}\)

\( \Rightarrow k = \left\{ { - 3, - 2, - 1,0,1,2,3} \right\}\) Vậy có 7 cực đại giữa hai nguồn A,B

Số điểm giao động với biên độ cực tiểu giữa A,B là:

\(\begin{array}{l} - \frac{l}{\lambda } - \frac{1}{2} + \frac{{\Delta \varphi }}{{2\pi }} < k < \frac{l}{\lambda } - \frac{1}{2} + \frac{{\Delta \varphi }}{{2\pi }}\\ \Leftrightarrow  - \frac{{20}}{6} - \frac{1}{2} + \frac{1}{6} < k < \frac{{20}}{6} - \frac{1}{2} + \frac{1}{6}\\ \Leftrightarrow  - 3,6 < k < 3\end{array}\)

\( \Rightarrow k = \left\{ { - 3, - 2, - 1,0,1,2} \right\}\) Vậy có 6 cực tiểu giữa hai nguồn A,B.

2. DẠNG 2: SỐ ĐIỂM DAO ĐỘNG VỚI BIÊN ĐỘ CỰC ĐẠI - CỰC TIỂU GIỮA HAI ĐIỂM BẤT KÌ

Phương pháp:

Số cực đại và cực tiểu trên đoạn thẳng nối hai điểm M và N trong vùng có giao thoa (M gần S₁ hơn S₂ còn N thì xa S₁ hơn S₂) là số các giá trị của k \((k \in Z)\) tính theo công thức sau ( không tính hai nguồn):

- Dùng công thức:

Số Cực đại: \(\dfrac{{{S_1}M - {S_2}M}}{\lambda } + \dfrac{{\Delta \varphi }}{2} < k < \dfrac{{{S_1}N - {S_2}N}}{\lambda } + \dfrac{{\Delta \varphi }}{2}\)

Số Cực tiểu: \(\dfrac{{{S_1}M - {S_2}M}}{\lambda } - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\Delta \varphi }}{2} < k < \dfrac{{{S_1}N - {S_2}N}}{\lambda } - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\Delta \varphi }}{2}\)

=> Với các nguồn:

+ Hai nguồn dao động cùng pha: ( $\Delta \varphi = k2\pi$)

* Số Cực đại: \(\dfrac{{{S_1}M - {S_2}M}}{\lambda } < {\rm{ }}k{\rm{ }} < \dfrac{{{S_1}N - {S_2}N}}{\lambda }\)

* Số Cực tiểu: \(\dfrac{{{S_1}M - {S_2}M}}{\lambda } - \dfrac{1}{2} < {\rm{ }}k{\rm{ }} < \dfrac{{{S_1}N - {S_2}N}}{\lambda } - \dfrac{1}{2}\)

+ Hai nguồn dao động ngược pha: \(\Delta \varphi  = \left( {{\bf{2k}} + {\bf{1}}} \right)\pi \)

* Số Cực đại: \(\dfrac{{{S_1}M - {S_2}M}}{\lambda } + \dfrac{1}{2} < {\rm{ }}k{\rm{ }} < \dfrac{{{S_1}N - {S_2}N}}{\lambda } + \dfrac{1}{2}\)

* Số Cực tiểu: \(\dfrac{{{S_1}M - {S_2}M}}{\lambda } < {\rm{ }}k{\rm{ }} < \dfrac{{{S_1}N - {S_2}N}}{\lambda }\)

+ Hai nguồn dao động vuông pha: \(\Delta \varphi  = \dfrac{{\left( {{\bf{2k}} + {\bf{1}}} \right)\pi }}{2}\)

* Số Cực đại: \(\dfrac{{{S_1}M - {S_2}M}}{\lambda } + \dfrac{1}{4} < {\rm{ }}k{\rm{ }} < \dfrac{{{S_1}N - {S_2}N}}{\lambda } + \dfrac{1}{4}\)

* Số Cực tiểu: \(\dfrac{{{S_1}M - {S_2}M}}{\lambda } - \dfrac{1}{4} < {\rm{ }}k{\rm{ }} < \dfrac{{{S_1}N - {S_2}N}}{\lambda } - \dfrac{1}{4}\)

Nhận xét: số điểm cực đại và cực tiểu trên đoạn AB là bằng nhau nên có thể dùng 1 công thức

Số giá trị nguyên của k thoả mãn các biểu thức trên là số điểm( đường)  cần tìm

3. DẠNG 3: SỐ ĐIỂM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU TRÊN ĐOẠN CD TẠO VỚI AB MỘT HÌNH VUÔNG HOẶC HÌNH CHỮ NHẬT.

Phương pháp:

• TH1: Hai nguồn A, B dao động cùng pha:

Cách 1: Ta tìm số điểm cực đại trên đoạn DI.  do DC =2DI, kể cả đường trung trực của CD.

 => Số điểm cực đại trên đoạn DC là: \(k' = 2k + 1\)

Đặt : \(DA = {d_1}\), \(DB = {d_2}\)

Bước 1: Số điểm cực đại trên đoạn DI thoã mãn :

\({d_2} - {d_1} = k\lambda  \Rightarrow k = \dfrac{{{d_2} - {d_1}}}{\lambda } = \dfrac{{BD - AD}}{\lambda }\) Với k thuộc Z.

Bước 2 :

Vậy số điểm cực đại trên đoạn CD là : \(k' = 2k + 1\)

Số điểm cực tiểu trên đoạn CD : \(k'' = 2k\)

Cách 2 : Số điểm cực đại trên đoạn CD thoã mãn : \(\left\{ \begin{array}{l}{d_2} - {d_1} = k\lambda \\AD - BD < {d_2} - {d_1} < AC - BC\end{array} \right.\)

Suy ra : \(AD - BD < k\lambda  < AC - BC\) Hay : \(\dfrac{{AD - BD}}{\lambda } < k < \dfrac{{AC - BC}}{\lambda }\).

Giải suy ra k

Số điểm cực tiểu trên đoạn CD thoã mãn : \(\left\{ \begin{array}{l}{d_2} - {d_1} = (2k + 1)\dfrac{\lambda }{2}\\AD - BD < {d_2} - {d_1} < AC - BC\end{array} \right.\)

Suy ra : \(AD - BD < (2k + 1)\dfrac{\lambda }{2} < AC - BC\) Hay : \(\dfrac{{2(AD - BD)}}{\lambda } < 2k + 1 < \dfrac{{2(AC - BC)}}{\lambda }\).

Giải suy ra k

• TH2: Hai nguồn A, B dao động ngược pha ta đảo lại kết quả.

Đặt : \(AD = {d_1}\), \(BD = {d_2}\)

Tìm Số Điểm Cực Đại Trên Đoạn CD :

Số điểm cực đại trên đoạn CD thoã mãn : \(\left\{ \begin{array}{l}{d_2} - {d_1} = (2k + 1)\dfrac{\lambda }{2}\\AD - BD < {d_2} - {d_1} < AC - BC\end{array} \right.\)

Suy ra : \(AD - BD < (2k + 1)\dfrac{\lambda }{2} < AC - BC\) Hay : \(\dfrac{{2(AD - BD)}}{\lambda } < 2k + 1 < \dfrac{{2(AC - BC)}}{\lambda }\) 

Giải suy ra k

Tìm Số Điểm Cực Tiểu Trên Đoạn CD:

Số điểm cực tiểu trên đoạn CD thoã mãn : \(\left\{ \begin{array}{l}{d_2} - {d_1} = k\lambda \\AD - BD < {d_2} - {d_1} < AC - BC\end{array} \right.\)

Suy ra : \(AD - BD < k\lambda  < AC - BC\) Hay : \(\dfrac{{AD - BD}}{\lambda } < k < \dfrac{{AC - BC}}{\lambda }\)

Giải suy ra k

4. DẠNG 4: XÁC ĐỊNH SỐ ĐIỂM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU TRÊN ĐOẠN THẲNG LÀ ĐƯỜNG CHÉO CỦA MỘT HÌNH VUÔNG HOẶC HÌNH CHỮ NHẬT

Phương pháp:  

Xác định số điểm dao động cực đại trên đoạn CD,

biết ABCD là hình vuông .Giả sử tại C dao động cực đại, ta có:

\({d_2}-{\rm{ }}{d_1} = k\lambda  = AB\sqrt 2  - AB\)

\( \to k = \dfrac{{AB(\sqrt 2  - 1)}}{\lambda } \to \) Số điểm dao động cực đại

5. DẠNG 5: TÌM SỐ ĐIỂM DAO ĐỘNG VỚI BIÊN ĐỘ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU TIỂU TRÊN ĐƯỜNG TRÒN (HOẶC TÌM SỐ ĐIỂM DAO ĐỘNG VỚI BIÊN ĐỘ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU TRÊN ĐƯỜNG ELIP, HÌNH CHỮ NHẬT, HÌNH VUÔNG, PARABOL… )

 Phương pháp:

Ta tính số điểm cực đại hoặc cực tiểu trên đoạn AB là k. Suy ra số điểm cực đại hoặc cực tiểu trên đường tròn là 2.k . Do mỗi đường cong hypebol cắt đường tròn tại 2 điểm.

6. DẠNG 6: XÁC ĐỊNH VỊ TRÍ, KHOẢNG CÁCH CỦA ĐIỂM M DAO ĐỘNG CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU TRÊN ĐOẠN THẲNG LÀ ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA AB , HOẶC TRÊN ĐOẠN THẲNG VUÔNG GÓC VỚI HAI NGUỒN A,B.

Phương pháp:

Xét 2 nguồn cùng pha ( Xem hình vẽ bên)

 Giả sử tại M có dao động với biên độ cực đại.

- Khi  \(\left| k \right|{\rm{ }} = {\rm{ }}1\) thì :

Khoảng cách lớn nhất từ một điểm M  đến hai nguồn là : d₁=MA

Từ công thức :\(\dfrac{{ - AB}}{\lambda } < k < \dfrac{{AB}}{\lambda }\)  với  \(k = 1\) , Suy ra được AM 

- Khi  \(\left| {k{\rm{ }}} \right| = \left| {{K_{max}}} \right|\) thì :

Khoảng cách ngắn nhất từ một điểm M’ đến hai nguồn là: d₁= M’A

Từ công thức :\(\dfrac{{ - AB}}{\lambda } < k < \dfrac{{AB}}{\lambda }\) với  \(k{\rm{ }} = {\rm{ }}{k_{max}}\) _, Suy ra được AM’

Lưu ý :

 -Với 2 nguồn ngược pha ta làm tương tự.

 - Nếu  tại M có dao đông với biên độ cực tiểu ta cũng làm tương tự.

II. Phương trình sóng cơ

1. DẠNG 1: XÁC ĐỊNH PHƯƠNG TRÌNH SÓNG CƠ TẠI MỘT ĐIỂM TRONG TRƯỜNG GIAO THOA:

Giao thoa của hai sóng phát ra từ hai nguồn sóng kết hợp S₁, S₂ cách nhau một khoảng l:

+ Phương trình sóng tại 2 nguồn : (Điểm M cách hai nguồn lần lượt d₁, d₂)

\({u_1} = {\rm{Acos}}(2\pi ft + {\varphi _1})\) và \({u_2} = {\rm{Acos}}(2\pi ft + {\varphi _2})\)

+Phương trình sóng tại M do hai sóng từ hai nguồn truyền tới:

\({u_{1M}} = {\rm{Acos}}(2\pi ft - 2\pi \frac{{{d_1}}}{\lambda } + {\varphi _1})\) và \({u_{2M}} = {\rm{Acos}}(2\pi ft - 2\pi \frac{{{d_2}}}{\lambda } + {\varphi _2})\)

+Phương trình giao thoa sóng tại M: \({u_M} = {\rm{ }}{u_{1M}} + {\rm{ }}{u_{2M}}\)

\({u_M} = 2Ac{\rm{os}}\left( {\pi \frac{{{d_1} - {d_2}}}{\lambda } + \frac{{\Delta \varphi }}{2}} \right)c{\rm{os}}\left( {2\pi ft - \pi \frac{{{d_1} + {d_2}}}{\lambda } + \frac{{{\varphi _1} + {\varphi _2}}}{2}} \right)\)

+Biên độ dao động tại M: \({A_M} = 2A\left| {c{\rm{os}}\left( {\pi \frac{{{d_1} - {d_2}}}{\lambda } + \frac{{\Delta \varphi }}{2}} \right)} \right|\) với \(\Delta \varphi  = {\varphi _2} - {\varphi _1}\)

Bài tập ví dụ:

Tại hai điểm A,B  trên mặt nước có hai nguồn dao động theo phương thẳng đứng với phương trình \({u_A} = {u_B} = 3\cos \left( {20\pi t} \right)\left( {cm} \right)\), tốc độ truyền sóng v = 6 m/s. Viết phương trình sóng tại điểm M cách A đoạn 15 cm, các B đoạn 20 cm.

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\omega  = 20\pi  \Rightarrow f = \frac{{20\pi }}{{2\pi }} = 10Hz\)

Bước sóng: \(\lambda  = \frac{v}{f} = \frac{{600}}{{10}} = 60cm\)

Phương trình sóng tại M:

\({u_M} = 2A\cos \left[ {\pi \frac{{{d_1} - {d_2}}}{\lambda } + \frac{{\Delta \varphi }}{2}} \right]\cos \left[ {\omega t - \pi \frac{{{d_1} + {d_2}}}{\lambda } + \frac{{{\varphi _1} + {\varphi _2}}}{2}} \right]\)

\( \Leftrightarrow {u_M} = 2.3\cos \left[ {\pi \frac{{15 - 20}}{{60}} + 0} \right]\cos \left[ {20\pi t - \pi \frac{{15 + 20}}{{60}} - 0} \right]\)

\( \Leftrightarrow {u_M} = 6\cos \left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right)\cos \left( {20\pi t - \frac{{7\pi }}{{12}}} \right)\)

2. XÁC ĐỊNH BIÊN ĐỘ, LY ĐỘ TẠI MỘT ĐIỂM  TRONG MIỀN GIAO THOA CỦA SÓNG CƠ.

Phương trình sóng tại 2 nguồn: (Điểm M cách hai nguồn lần lượt d₁, d₂)

\({u_1} = {{\rm{A}}_1}{\rm{cos}}(2\pi ft + {\varphi _1})\) và \({u_2} = {{\rm{A}}_2}{\rm{cos}}(2\pi ft + {\varphi _2})\)

Phương trình sóng tại M do hai sóng từ hai nguồn truyền tới:

\({u_{1M}} = {{\rm{A}}_1}{\rm{cos}}(2\pi ft - 2\pi \frac{{{d_1}}}{\lambda } + {\varphi _1})\) và \({u_{2M}} = {{\rm{A}}_2}{\rm{cos}}(2\pi ft - 2\pi \frac{{{d_2}}}{\lambda } + {\varphi _2})\)

- Nếu 2 nguồn cùng pha thì:

\({u_{1M}} = 2{{\rm{A}}_2}{\rm{cos}}(2\pi ft - 2\pi \frac{{{d_1}}}{\lambda })\) và \({u_{2M}} = {{\rm{A}}_2}{\rm{cos}}(2\pi ft - 2\pi \frac{{{d_2}}}{\lambda })\)

Phương trình giao tổng hợp sóng tại M: \({u_M} = {\rm{ }}{u_{1M}} + {\rm{ }}{u_{2M}}\)

Thế các số liệu  từ đề cho để tính kết quả( giống như tổng hợp dao động nhờ số phức)

- Nếu 2 nguồn cùng biên độ thì:

+ Phương trình sóng tại 2 nguồn :

   \({u_1} = {\rm{Acos}}(2\pi ft + {\varphi _1})\) và \({u_2} = {\rm{Acos}}(2\pi ft + {\varphi _2})\)

+ Phương trình sóng tại M do hai sóng từ hai nguồn truyền tới:

   \({u_{1M}} = {\rm{Acos}}(2\pi ft - 2\pi \frac{{{d_1}}}{\lambda } + {\varphi _1})\) và \({u_{2M}} = {\rm{Acos}}(2\pi ft - 2\pi \frac{{{d_2}}}{\lambda } + {\varphi _2})\)

+ Phương trình giao thoa sóng tại M: \({u_M} = {\rm{ }}{u_{1M}} + {\rm{ }}{u_{2M}}\)

   \({u_M} = 2Ac{\rm{os}}\left( {\pi \frac{{{d_1} - {d_2}}}{\lambda } + \frac{{\Delta \varphi }}{2}} \right)c{\rm{os}}\left( {2\pi ft - \pi \frac{{{d_1} + {d_2}}}{\lambda } + \frac{{{\varphi _1} + {\varphi _2}}}{2}} \right)\)

+ Biên độ dao động tại M: \({A_M} = 2A\left| {c{\rm{os}}\left( {\pi \frac{{{d_1} - {d_2}}}{\lambda } + \frac{{\Delta \varphi }}{2}} \right)} \right|\) với \(\Delta \varphi  = {\varphi _2} - {\varphi _1}\)

* TH1: Hai nguồn A, B dao động cùng pha

• Từ phương trình giao thoa sóng: \({u_M} = 2A.cos\left( {\frac{{\pi ({d_2} - {d_1}}}{\lambda }} \right).cos\left( {\omega .t - \frac{{\pi ({d_1} + {d_2})}}{\lambda }} \right)\)
• Ta nhận thấy biên độ giao động tổng hợp là: \({A_M} = 2A.\left| {\cos (\frac{{\pi ({d_2} - {d_1})}}{\lambda }} \right|\)
• Biên độ đạt giá trị cực đại \({A_M} = 2A \Leftrightarrow cos\frac{{\pi ({d_2} - {d_1})}}{\lambda } =  \pm 1 \Leftrightarrow {d_2} - {d_1} = k\lambda \)
• Biên độ đạt giá trị cực tiểu \({A_M} = 0 \Leftrightarrow cos\frac{{\pi ({d_2} - {d_1})}}{\lambda } = 0 \Leftrightarrow {d_2} - {d_1} = (2k + 1)\frac{\lambda }{2}\)

Nếu O là trung điểm của đoạn AB thì tại 0 hoặc các điểm nằm trên đường trung trực của đoạn A,B sẽ dao động với biên độ cực đại và bằng: \({A_M} = 2A\)(vì lúc này \({d_1} = {d_2}\))

* TH2: Hai nguồn A, B dao động ngược pha

Ta nhận thấy biên độ giao động tổng hợp là: \({A_M} = 2A.\left| {\cos (\frac{{\pi ({d_2} - {d_1})}}{\lambda } \pm \frac{\pi }{2}} \right|\)

Nếu O là trung điểm của đoạn AB thì tại 0 hoặc các điểm nằm trên đường trung trực của đoạn A,B sẽ dao động với biên độ cực tiểu và bằng: \({A_M} = 0\) (vì lúc này \({d_1} = {d_2}\))

* TH3: Hai nguồn A, B dao động vuông pha

Ta nhận thấy biên độ giao động tổng hợp là: \({A_M} = 2A.\left| {\cos (\frac{{\pi ({d_2} - {d_1})}}{\lambda } \pm \frac{\pi }{4}} \right|\)

Nếu O là trung điểm của đoạn AB thì tại 0 hoặc các điểm nằm trên đường trung trực của đoạn A,B sẽ dao động với biên độ : \({A_M} = A\sqrt 2 \)  (vì lúc này \({d_1} = {d_2}\))

III. Pha dao động tại một điểm trong trường giao thoa

1. DẠNG 1: XÁC ĐỊNH TẠI VỊ TRÍ ĐIỂM M DAO ĐỘNG CÙNG PHA HOẶC NGƯỢC PHA VỚI NGUỒN.

Phương pháp

Xét hai nguồn cùng pha:

Cách 1: Dùng phương trình sóng.

Gọi M là điểm dao động ngược pha với nguồn

Phương trình sóng tổng hợp tại M là: \({u_M} = 2acos(\pi \frac{{{d_2} - {d_1}}}{\lambda })cos(20\pi t - \pi \frac{{{d_2} + {d_1}}}{\lambda })\)

- Nếu M dao động cùng pha với S₁, S₂ thì: \(\pi \frac{{{d_2} + {d_1}}}{\lambda } = 2k\pi \)

Suy ra: \({d_2} + {d_1} = 2k\lambda \) .Với \({d_1} = {\rm{ }}{d_{2}}\) ta có:    \({d_2} = {d_1} = k\lambda \)

Gọi x là khoảng cách từ M đến AB: \({d_1} = {\rm{ }}{d_2} = \sqrt {{x^2} + {{\left( {\frac{{{S_1}{S_2}}}{2}} \right)}^2}}  = k\lambda \)

=> Rồi suy ra x

- Nếu M dao động ngược pha với S₁, S₂ thì: \(\pi \frac{{{d_2} + {d_1}}}{\lambda } = (2k + 1)\pi \)

Suy ra: \({d_2} + {d_1} = \left( {2k + 1} \right)\lambda \) . Với \({d_1} = {\rm{ }}{d_{2}}\)ta có: \({d_2} = {d_1} = \left( {2k + 1} \right)\frac{\lambda }{2}\)

Gọi x là khoảng cách từ M đến AB: \({d_1} = {\rm{ }}{d_2} = \sqrt {{x^2} + {{\left( {\frac{{{S_1}{S_2}}}{2}} \right)}^2}}  = \left( {2k + 1} \right)\frac{\lambda }{2}\)

=> Rồi suy ra x

Cách 2: Giải nhanh:          

  Ta có:      \(k = \left( {\frac{{{S_1}{S_2}}}{{2\lambda }}} \right)\) (lấy phần nguyên)

- Tìm điểm cùng pha gần nhất: k +  1

- Tìm điểm ngược pha gần nhất: k +  0.5  

- Tìm điểm cùng pha thứ    n: k +  n

- Tìm điểm ngược pha thứ n : k + n - 0.5

Sau đó,  ta tính:\(k\lambda  = d\).

Khoảng cách cần tìm: \(x = OM{\rm{ }} = \sqrt {{d^2} - {{\left( {\frac{{{S_1}{S_2}}}{2}} \right)}^2}} \)

2. DẠNG 2: XÁC ĐỊNH SỐ ĐIỂM DAO ĐỘNG CÙNG PHA, NGƯỢC PHA VỚI NGUỒN TRÊN 1 ĐOẠN THẲNG.

Phương pháp

Cách 1: Phương trình sóng tại 2 nguồn cùng biên độ A:(Điểm M cách hai nguồn lần lượt d₁, d₂)

\({u_1} = {\rm{Acos}}(2\pi ft + {\varphi _1})\) và \({u_2} = {\rm{Acos}}(2\pi ft + {\varphi _2})\)

+Phương trình sóng tại M do hai sóng từ hai nguồn truyền tới:

\({u_{1M}} = {\rm{Acos}}(2\pi ft - 2\pi \frac{{{d_1}}}{\lambda } + {\varphi _1})\) và \({u_{2M}} = {\rm{Acos}}(2\pi ft - 2\pi \frac{{{d_2}}}{\lambda } + {\varphi _2})\)

+Phương trình giao thoa sóng tại M: \({u_M} = {\rm{ }}{u_{1M}} + {\rm{ }}{u_{2M}}\)

\({u_M} = 2Ac{\rm{os}}\left( {\pi \frac{{{d_1} - {d_2}}}{\lambda } + \frac{{\Delta \varphi }}{2}} \right)c{\rm{os}}\left( {2\pi ft - \pi \frac{{{d_1} + {d_2}}}{\lambda } + \frac{{{\varphi _1} + {\varphi _2}}}{2}} \right)\)

Pha ban đầu sóng tại M : \({\varphi _M} =  - \pi \frac{{{d_1} + {d_2}}}{\lambda } + \frac{{{\varphi _1} + {\varphi _2}}}{2}\)

Pha ban đầu sóng tại nguồn S₁ hay S₂ : \({\varphi _{S1}} = {\varphi _1}\) hay \({\varphi _{S2}} = {\varphi _2}\)

Độ lệch pha giữa 2 điểm M và nguồn S₁ (hay S₂ )

\(\Delta \varphi  = {\varphi _{S1}} - {\varphi _M} = {\varphi _1} + \pi \frac{{{d_1} + {d_2}}}{\lambda }\) 

\(\Delta \varphi  = {\varphi _{S2}} - {\varphi _M} = {\varphi _2} + \pi \frac{{{d_1} + {d_2}}}{\lambda }\)

Để điểm M  dao động cùng pha với nguồn 1:\(\Delta \varphi  = k2\pi  = {\varphi _1} + \pi \frac{{{d_1} + {d_2}}}{\lambda }\)

 => \({d_1} + {d_2} = 2k\lambda  - \frac{{{\varphi _1}\lambda }}{\pi }\)

Để điểm M dao động ngược pha với nguồn 1:\(\Delta \varphi  = (2k + 1)\pi  = {\varphi _1} + \pi \frac{{{d_1} + {d_2}}}{\lambda }\)

=>\({d_1} + {d_2} = (2k + 1)\lambda  - \frac{{{\varphi _1}\lambda }}{\pi }\)

Tập hợp những điểm dao động cùng pha với 2 nguồn là họ đường Ellip nhận S₁ và S₂ làm 2 tiêu điểm.

Tập hợp những điểm dao động ngược pha với 2 nguồn là họ đường Ellip nhận S₁ và S₂ làm 2 tiêu điểm xen kẻ với họ đường Ellip trên

Cách 2: Phương pháp  nhanh :

Xác định số điểm cùng pha, ngược pha với nguồn S₁S₂  giữa 2 điểm MN trên đường trung trực

Ta có: \(k = \left( {\frac{{{S_1}{S_2}}}{{2\lambda }}} \right)\)

\({d_{M}} = \sqrt {O{M^2} + {{\left( {\frac{{{S_1}{S_2}}}{2}} \right)}^2}} \) ;   \({d_N} = \sqrt {O{N^2} + {{\left( {\frac{{{S_1}{S_2}}}{2}} \right)}^2}} \) 

- Cùng pha khi:   \({k_M} = \frac{{{d_M}}}{\lambda }\)   ;                   \({k_N} = \frac{{{d_N}}}{\lambda }\)          

- Ngược pha khi: \({k_M} + 0,5 = \frac{{{d_M}}}{\lambda }\)  ;   \({k_N} + 0,5 = \frac{{{d_N}}}{\lambda }\)       

 Từ  k  và  k_M  =>   số điểm trên  OM

 Từ  k  và  k_N  =>  số điểm trên  ON

=>  số điểm trên MN ( cùng phía thì trừ, khác phía thì cộng)