Phương pháp giải bài tập dao động điều hòa

Phương pháp giải.

Tìm A, ω, φ, f, x-v-pha tại thời điểm t.

- Tìm A:

+ Đề cho PTDĐ: $x = Ac{\text{os(}}\omega {\text{t + }}\varphi {\text{) }} \to {\text{A}}$

+ Tìm A: $\left\{ \begin{array}{l}
{A^2} = {x^2} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} = {\dfrac{a}{{{\omega ^4}}}^2} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}}\\
A = \dfrac{{{v_{{\rm{max}}}}}}{\omega } = \dfrac{{{a_{{\rm{max}}}}}}{{{\omega ^2}}} = \dfrac{L}{2} = \dfrac{S}{4} = \dfrac{{{v_{{\rm{max}}}}^2}}{{{a_{{\rm{max}}}}}}
\end{array} \right.$

Trong đó:

+ L: chiều dài quỹ đạo của dao động

+ S: quãng đường vật đi được trong một chu kì.

+ Đề cho x, v, ω hoặc v, a, ω:

Ta sử dụng công thức độc lập với thời gian: ${A^2} = {x^2} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}}{\text{  }}{\text{, }}{A^2} = {\dfrac{a}{{{\omega ^4}}}^2} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}}$

- Tìm T: $T = \dfrac{{\Delta t}}{N},f = \dfrac{N}{{\Delta t}}$ với N là tổng số dao động trong thời gian ∆t

- Tìm ω:  Đề cho f hoặc T:  Sử dụng công thức: $\omega  = \dfrac{{2\pi }}{T} = 2\pi f$

- Xác định x-v-a-pha dao động tại thời điểm t:

+ li độ x: $x = Ac{\text{os(}}\omega {\text{t + }}\varphi {\text{)}}$

+ vận tốc v: $v = x' =  - \omega A\sin (\omega t + \varphi ) = \omega Acos(\omega t + \varphi  + \dfrac{\pi }{2})$

hoặc sử dụng công thức: ${A^2} = {x^2} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}}$

+ gia tốc a: $a = v' =  - {\omega ^2}A\cos (\omega t + \varphi ) =  - {\omega ^2}x$

+ Pha dao động: ωt+φ

$x = Ac{\text{os(}}\omega {\text{t + }}\varphi {\text{)}}$

$v = x' =  - \omega A\sin (\omega t + \varphi ) = \omega Acos(\omega t + \varphi  + \dfrac{\pi }{2})$

$a = v' =  - {\omega ^2}A\cos (\omega t + \varphi ) =  - {\omega ^2}x$

2. Bài tập cho x, v hoặc a tìm các đại lượng còn lại tại cùng một thời điểm.

Sử dụng hệ thức độc lập

- Hệ thức độc lập A-x-v: ${A^2} = {x^2} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}}{\text{  }}$

- Hệ thức độc lập A-a-v: ${A^2} = {\dfrac{a}{{{\omega ^4}}}^2} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}}$

- Quan hệ giữa a-x: a=-ω2x

3. Bài tập cho x, v hoặc a tại một thời điểm t1 tìm x, v, a tại thời điểm trước (hoặc sau) đó T/4, T/2, 3T/4, ...

 Biết tại thời điểm t vật có li độ x = x0.

 * Từ phương trình dao động điều hoà: x = Acos(wt + j) cho x = x0

 Lấy nghiệm wt + j = a với $0 \leqslant \alpha  \leqslant \pi $ ứng với x đang giảm (vật chuyển động theo chiều âm vì v < 0) hoặc wt + j = - a  ứng với x đang tăng (vật chuyển động theo chiều dương)

* Li độ và vận tốc dao động sau (trước) thời điểm đó Dt giây là

$\left\{ \begin{gathered}{\text{x }} = {\text{ Acos}}( \pm \omega \Delta t + \alpha ) \hfill \\ v =  - \omega {\text{A}}\sin ( \pm \omega \Delta t + \alpha ) \hfill \\\end{gathered}  \right.$ hoặc $\left\{ \begin{gathered}{\text{x }} = {\text{ Acos}}( \pm \omega \Delta t - \alpha ) \hfill \\ v =  - \omega {\text{A}}\sin ( \pm \omega \Delta t - \alpha ) \hfill \\\end{gathered}  \right.$

- Bước 1: Tìm A: $\left\{ \begin{array}{l}
A = \dfrac{{{v_{{\rm{max}}}}}}{\omega } = \dfrac{{{a_{{\rm{max}}}}}}{{{\omega ^2}}} = \dfrac{L}{2} = \dfrac{S}{4} = \dfrac{{{v_{{\rm{max}}}}^2}}{{{a_{{\rm{max}}}}}}\\
{A^2} = {x^2} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} = {\dfrac{a}{{{\omega ^4}}}^2} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}}
\end{array} \right.$

• L: chiều dài quỹ đạo của dao động
• S: quãng đường vật đi được trong một chu kì

- Bước 2: Tìm Tìm  \(\omega\): \(\omega  = \sqrt {\dfrac{k}{m}}  = 2\pi f = \dfrac{{2\pi }}{T} = \sqrt {\dfrac{{{a_{{\rm{max}}}}}}{A}}  = \dfrac{{{v_{{\rm{max}}}}}}{A} = \dfrac{{{a_{{\rm{max}}}}}}{{{v_{{\rm{max}}}}}} = \sqrt {\dfrac{{{v^2}}}{{{A^2} - {x^2}}}} \)

Trong đó:

• Chu kì T: \(T = \dfrac{t}{N}\)
• Tần số f: \(f = \dfrac{N}{t}\)
• N là số dao động vật thực hiện được trong khoảng thời gian t

- Bước 3: Tìm \(\varphi \)

Tại t = 0: \(\left\{ \begin{array}{l}x = Ac{\rm{os}}\varphi \\{\rm{v =  - A}}\omega {\rm{sin}}\varphi \end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}{\rm{cos}}\varphi {\rm{ = }}\dfrac{{{x_0}}}{A}\\\sin \varphi  =  - \dfrac{v}{{A\omega }}\end{array} \right. \to \varphi  = ?\)

- Bước 1: Tìm A, ω: từ phương trình của v hoặc a.

- Bước 2: Tìm \({\varphi _x}:\left\{ \begin{array}{l}{\varphi _x} = {\varphi _v} - \frac{\pi }{2}\\{\varphi _x} = {\varphi _a} - \pi \end{array} \right.\)

(do vận tốc nhanh pha hơn x một góc \(\pi /2\) và gia tốc a ngược pha với x)

- Cách 1: Sử dụng đường tròn lượng giác

+ Bước 1: Xác định góc ∆φ

+ Bước 2: \(\Delta t = \frac{{\Delta \varphi }}{\omega } = \frac{{\Delta \varphi }}{{\frac{{2\pi }}{T}}} = \frac{{\Delta \varphi }}{{2\pi }}.T = \frac{{\Delta {\varphi ^0}}}{{360}}.T\)

Trong đó:

φ: góc theo rad

φ0: góc theo độ

Cách 2: Sử dụng trục thời gian trên đường thẳng được suy ra từ đường tròn.

- Qua x không kể đến chiều:

+ n chẵn: \(t = \frac{{n - 2}}{2}T + {t_2}\) với t2: thời gian để vật đi qua vị trí x lần thứ 2 kể từ thời điểm ban đầu.

+ n lẻ: \(t = \frac{{n - 1}}{2}T + {t_1}\) với t1: thời gian để vật đi qua vị trí x lần thứ 1 kể từ thời điểm ban đầu.

- Qua x kể đến chiều (theo chiều + hoặc -)

$t = (n - 1)T + {t_1}$ với t1 là thời gian để vật đi qua vị trí x theo chiều đầu bài yêu cầu lần thứ 1 kể từ thời điểm ban đầu.

Xác định t1, t2 như mục 1

3. Xác định số lần vật đi qua vị trí đã biết từ thời điểm t1 đến thời điểm t2

- Cách 1: Phương pháp đại số

+ Giải phương trình lượng giác được các nghiệm

+ Từ t1 < t ≤ t2 Þ Phạm vi giá trị của (Với k Î Z)

+ Tổng số giá trị của k chính là số lần vật đi qua vị trí đó.

- Cách 2: Phương pháp ứng dụng vòng tròn lượng giác

+ Bước 1: Xác định T

+ Bước 2: tách \(\Delta t = aT + {t^*}\)

+ Bước 3: Xác định số lần vật qua vị trí x trong khoảng thời gian t* (n*)

=> Số lần vật qua vị trí x:

+ n= 2a + n* (nếu không kể đến chiều chuyển động)

+ n= a+n* (nếu qua vị trí biên hoặc khi kể đến chiều chuyển động)

- Cách 1: Phương pháp đại số

+ Bước 1:Xác định: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = A\cos (\omega {t_1} + \varphi )\\
{v_1} = - A\omega \sin (\omega {t_1} + \varphi )
\end{array} \right.\) và 

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_2} = A\cos (\omega {t_2} + \varphi )\\
{v_2} = - A\omega \sin (\omega {t_2} + \varphi )
\end{array} \right.\)

(v1 và v2 chỉ cần xác định dấu)

+ Bước 2: Phân tích: t2 – t1 = nT/2 + Dt (n ÎN; 0 ≤ Dt < T/2)

+ Bước 3: Tính quãng đường:

Quãng đường đi được trong thời gian nT/2 là S1 = 2nA, trong thời gian Dt là S2.

Quãng đường tổng cộng là S = S1 + S2

( Tính S2 bằng cách định vị trí x1, x2 và chiều chuyển động của vật trên trục Ox)

- Cách 2: Phương pháp ứng dụng vòng tròn lượng giác

+ Bước 1: Phân tích: t2 – t1 = nT/4 + Dt (n ÎN; 0 ≤ Dt < T/4)

+ Bước 2: Tính quãng đường:

Quãng đường đi được trong thời gian nT/4 là S1 = nA, trong thời gian Dt là S2.

Quãng đường tổng cộng là S = S1 + S2

Tính S2 bằng cách xác định trên vòng tròn lượng giác (tọa độ và hướng của x1, x2)

- Tốc độ trung bình của vật đi từ thời điểm t1 đến t2:

\({v_{tb}} = \dfrac{S}{{{t_2} - {t_1}}}\) với S là quãng đường tính như trên.

Tốc độ trung bình trong 1 chu kì: \({v_{tb}} = \dfrac{{4A}}{T} = \dfrac{{4A}}{{\dfrac{{2\pi }}{\omega }}} = \dfrac{{2A\omega }}{\pi } = \dfrac{{2{v_{{\rm{max}}}}}}{\pi }\)

\({S_{M{\rm{ax}}}} = 2{\rm{A}}\sin \dfrac{{\Delta \varphi }}{2}\)

\({S_{Min}} = 2A(1 - c{\rm{os}}\dfrac{{\Delta \varphi }}{2})\)