Lý thuyết tích của vectơ với một số

1. Định nghĩa

Cho một số $k \ne  0$ và vec tơ $\overrightarrow{a}\ne\overrightarrow{0}$.

Tích của một số k với vec tơ $\overrightarrow{a}$ là một vec tơ , kí hiệu là $k\overrightarrow{a}$

+) cùng hướng với $\overrightarrow{a}$ nếu $k > 0$

+) ngược hướng với $\overrightarrow{a}$  nếu $k< 0$

+) có độ dài bằng $|k|.\left | \overrightarrow{a} \right |$

Quy ước: $0\,.\overrightarrow a  = 0,\;\,k.\overrightarrow 0  = \overrightarrow 0$

2. Tính chất

a) Phân phối với phép cộng vec tơ:

$k (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) = k \overrightarrow{a}+ k\overrightarrow{b}$

b) Phân phối với phép cộng các số:

$(h+k)\overrightarrow{a} = h \overrightarrow{a} +k\overrightarrow{a}$

c) Kết hợp:

$h(k\overrightarrow{a}) = (h.k)\overrightarrow{a}$

d) $1. \overrightarrow{a} = \overrightarrow{a}$; $(-1)\overrightarrow{a}= -\overrightarrow{a}$

3. Trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác

a) Nếu $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ thì với mọi điểm $M$ ta có

$\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB} = 2 \overrightarrow{MI}$

b) Nếu $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ thi mọi điểm $M$ ta có

$\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}= 3\overrightarrow{MG}$

4. Điều kiện để hai vec tơ cùng phương

Điều kiện cần và đủ để hai vec tơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ ($\overrightarrow b  \ne \overrightarrow 0$) cùng phương là có một số $k$ để $\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{b}$.

Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để $\overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC}$.

5. Phân tích một vec tơ thành haivec tơ không cùng phương

Cho hai vec tơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương. Khi đó mọi vec tơ $\overrightarrow{x}$ đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vec tơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, nghĩa là có duy nhất một cặp số $h, k$ sao cho $\overrightarrow{x}= h\overrightarrow{a}+ k\overrightarrow{b}$.

Khi đó ta nói vecto $\overrightarrow{x}$ được phân tích ( hay biểu thị) theo hai vecto không cùng phương là  $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$.

HocTot.Nam.Name.Vn