Lý thuyết Phương trình và bất phương trình logarit - SGK Toán 11 Cùng khám phá

A. Lý thuyết

1. Phương trình logarit cơ bản

Phương trình mũ cơ bản có dạng \({\log _a}x = b\) \((a > 0,a \ne 1)\).

Lưu ý: Nếu \(b = {\log _a}\alpha \) \((\alpha  > 0)\) thì phương trình \({\log _a}x = b\) trở thành \({\log _a}x = {\log _a}\alpha \) với mọi b. Khi đó, phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \alpha \). Một cách tổng quát, với a > 0 và \(a \ne 1\) , ta có:

\({\log _a}A = {\log _a}B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A > 0\\B > 0\\A = B\end{array} \right.\).

2. Bất phương trình logarit cơ bản

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng \({\log _a}x > b\) hoặc \({\log _a}x \ge b\), \({\log _a}x < b\), \({\log _a}x \le b\) \((a > 0,a \ne 1)\).

Lưu ý:

Giải tương tự cho các trường hợp còn lại: \({\log _a}x \ge b\), \({\log _a}x < b\), \({\log _a}x \le b\).

Nếu \(b = {\log _a}\alpha \) \((\alpha  > 0)\) thì bất phương trình \({\log _a}x > b\) trở thành \({\log _a}x > {\log _a}\alpha \). Khi đó:

- Nếu a > 1 thì \({\log _a}x > {\log _a}\alpha  \Leftrightarrow x > \alpha \).

- Nếu 0 < a < 1 thì \({\log _a}x > {\log _a}\alpha  \Leftrightarrow x < \alpha \).

Một cách tổng quát, ta có:

- Khi a > 1 thì \({\log _a}A > {\log _a}B \Leftrightarrow A > B > 0\).

- Khi 0 < a < 1 thì \({\log _a}A > {\log _a}B \Leftrightarrow 0 < A < B\).

B. Bài tập

Bài 1: Giải các phương trình:

a) \({\log _2}(x + 1) = 3\).

b) \(\ln (x + 1) = ln({x^2} - 1)\).

Giải:

a) Điều kiện của phương trình là \(x + 1 > 0 \Leftrightarrow x >  - 1\).

Ta có \({\log _2}(x + 1) = 3 \Leftrightarrow x + 1 = {2^3} \Leftrightarrow x + 1 = 8 \Leftrightarrow x = 7\).

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 7.

b) Điều kiện của phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 > 0\\{x^2} - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - 1\\\left[ \begin{array}{l}x <  - 1\\x > 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1\).

Ta có \(\ln (x + 1) = ln({x^2} - 1) \Rightarrow x + 1 = {x^2} - 1\).

\(x + 1 = {x^2} - 1 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 2\end{array} \right.\).

Kết hợp với điều kiện của phương trình, ta loại x = -1 và nhận x = 2.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.

Bài 2: Giải các bất phương trình:

a) \({\log _2}x > 7\).

b) \({\log _{0,5}}(6x + 12) < {\log _{0,5}}({x^2} + 7x + 10)\).

Giải:

a) Vì cơ số 2 lớn hơn 1 nên \({\log _2}x > 7 \Leftrightarrow x > {2^7} \Leftrightarrow x > 128\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \((128; + \infty )\).

b) Điều kiện của bất phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}6x + 12 > 0\\{x^2} + 7x + 10 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - 2\\\left[ \begin{array}{l}x <  - 5\\x >  - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x >  - 2\).

Vì cơ số 0,5 nhỏ hơn 1 nên \({\log _{0,5}}(6x + 12) < {\log _{0,5}}({x^2} + 7x + 10) \Leftrightarrow 6x + 12 > {x^2} + 7x + 10 \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 < 0 \Leftrightarrow  - 2 < x < 1\).

Kết hợp điều kiện, ta được tập nghiệm của bất phương trình là \(( - 2;1)\).