Lý thuyết phương trình mặt phẳng

Lý thuyết

1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

* Cho mặt phẳng \((P)\) , vectơ  \(\overrightarrow{n}\neq \overrightarrow{0}\) mà giá của nó vuông góc với mặt phẳng \((P)\) thì \(\overrightarrow{n}\) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

* Cho mặt phẳng \((P)\) , cặp vectơ  \(\overrightarrow{a}\neq \overrightarrow{0}\), \(\overrightarrow{b}\neq \overrightarrow{0}\) không cùng phương mà giá của chúng là hai đường thẳng song song hay nằm trong mặt phẳng \((P)\) được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((P)\). Khi đó vectơ \(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \right ]\). là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

* Nếu \(\overrightarrow{a}\) \( = \;\left( {{a_1};{\rm{ }}\;{a_{2\;}};{\rm{ }}{a_3}} \right)\), \(\overrightarrow{b}\) \( = \;\left( {{b_1}\;;{\rm{ }}{b_2}\;;{\rm{ }}{b_3}} \right)\) thì :

\(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \right ]=(\begin{vmatrix} a_{2}&a_{3} \\ b_{2}& b_{3} \end{vmatrix};\begin{vmatrix} a_{3} & a_{1}\\ b_{3}&b_{1} \end{vmatrix};\begin{vmatrix} a_{1} & a_{2}\\ b_{1}& b_{2} \end{vmatrix})\)

\( = \left( {{a_2}{b_3}\;-{\rm{ }}{a_3}{b_{2\;}};{\rm{ }}{a_3}{b_1}\;-{\rm{ }}{a_1}{b_3}\;;{\rm{ }}{a_1}{b_2}\;-{\rm{ }}{a_2}{b_1}} \right).\)

* Mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó, hay một điểm thuộc mặt phẳng và cặp vectơ chỉ phương của nó.

2. Phương trình mặt phẳng

* Mặt phẳng \((P)\) qua điểm \({M_{0\;}}\left( {{x_0}\;;{\rm{ }}{y_{0\;}};{\rm{ }}{z_0}} \right){\rm{ }}\;\) và nhận \(\overrightarrow{n}\) \(\left( {A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình có dạng: \(A\left( {x\;-\;{x_0}} \right) + B\left( {y-{y_0}} \right) + C\left( {z-{z_0}} \right) = 0\)

* Mọi mặt phẳng trong không gian có phương trình tổng quát có dạng:

\(\;Ax{\rm{ }} + {\rm{ }}By + Cz + D = 0{\rm{ }}\;{\rm{ }} \) trong đó \(\;{A^2} + {\rm{ }}{B^2}\; + {C^{2\;}} > 0.\) Khi đó vectơ \(\vec n\,(A;B;C)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

* Mặt phẳng đi qua ba điểm \(M\left( {a;0;0} \right),{\rm{ }}N\left( {0;b;0} \right),{\rm{ }}C\left( {0;0;c} \right)\) ở đó \(abc\; \ne 0\) có phương trình :\(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1\). Phương trình này còn được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

 Cho hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\) có phương trình:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\left( {{P_1}} \right):\;{A_1}x + {B_1}y\; + {C_1}z + {D_1}\; = 0;}\\
{\left( {{P_2}} \right):\;{A_2}x + {B_2}y\; + {C_2}z + {D_2}\; = 0.}
\end{array}\)

Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} \;(A1;B1;C1) \bot (P1)\) và \(\overrightarrow {{n_2}} \;(A2;B2;C2) \bot (P2)\). Khi đó:

\(({P_1})\; \bot \;({P_2})\)  ⇔ \(\overrightarrow{n_{1}}\perp \overrightarrow{n_{2}}\) ⇔ \(\overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}}\)  \(\; \Leftrightarrow {\rm{ }}{A_1}{A_2}\; + {\rm{ }}{B_1}{B_2}\; + {\rm{ }}{C_1}{C_2}\; = {\rm{ }}0\).

\(\left( {{P_1}} \right)\;//\;\left( {{P_2}} \right)\;\; \Leftrightarrow \;\)\(\overrightarrow{n_{1}}=k.\overrightarrow{n_{2}}\) và  \({D_1}\; \ne {\rm{ }}k.{D_2}\;\left( {k\; \ne {\rm{ }}0} \right).\)

\(\left( {{P_1}} \right) \equiv \;\left( {{P_2}} \right)\;\; \Leftrightarrow \;\) \(\overrightarrow{n_{1}}=k.\overrightarrow{n_{2}}\) và \(\;{D_1}\; = {\rm{ }}k.{D_{2.}}\)

\(\left( {{P_1}} \right) \) cắt \( \left( {{P_2}} \right)\; \Leftrightarrow \;\) \(\overrightarrow{n_{1}}\neq k.\overrightarrow{n_{2}}\) (nghĩa là \(\overrightarrow{n_{1}}\) và \(\overrightarrow{n_{2}}\) không cùng phương).

4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt phẳng \((P)\) có phương trình:

\(Ax + By + Cz +D = 0\) và điểm \({M_{0\;}}\left( {{x_0}\;;{\rm{ }}{y_{0\;}};{\rm{ }}{z_0}} \right).\)

Khoảng cách từ M₀ đến \((P)\) được cho bởi công thức:

\(d({M_0},P) = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.\)

5. Góc giữa hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\)  có phương trình :

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\left( {{P_1}} \right):\;{A_1}x + {B_1}y\; + {C_1}z + {D_1}\; = 0;}\\
{\left( {{P_2}} \right):\;{A_2}x + {B_2}y\; + {C_2}z + {D_2}\; = 0.}
\end{array}\)

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\) thì \(0\; \le \;\varphi {\rm{ }} \le {\rm{ }}{90^{0\;}}\) và :

\(cos\varphi =|cos\widehat{\left (\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} \right )}|=\dfrac{|A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}|}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}.\sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}}\).

Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow a  = (1;2;3)\), \(\overrightarrow b  = (4;1;5)\) làm cặp vecto chỉ phương. Tìm một vecto pháp tuyến của (P).

Ta có tích có hướng của hai vecto \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) là

\(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = (2.5 - 3.1;3.4 - 1.5;1.1 - 2.4) = (7;7; - 7)\).

Do đó, mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow n  = \frac{1}{7}\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = (1;1; - 1)\) làm một vecto pháp tuyến.

Bài 2: Cho hai mặt phẳng (P), (Q) có phương trình tổng quát là (P): \(3x - 5y + 7z = 0\) và (Q): \(x + y - 2 = 0\).

a) Tìm một vecto pháp tuyến của mỗi mặt phẳng (P), (Q).

Mặt phẳng (P) có một vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = (3; - 5;7)\).

Mặt phẳng (Q) có một vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = (1;1;0)\).

b) Tìm điểm thuộc mặt phẳng (P) trong số các điểm A(1;3;1), B(1;2;3).

Thay tọa độ điểm A vào phương trình của (P), ta được: 3.1 – 5.3 + 7.1 + 5 = 0.

Vậy A thuộc (P).

Thay tọa độ điểm B vào phương trình của (P), ta được: 3.1 – 5.2 + 7.3 + 5 = 19 \( \ne 0\).

Vậy B không thuộc (P).

Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm N(4;0;1) và có cặp vecto chỉ phương là \(\overrightarrow a  = (1;2;1)\), \(\overrightarrow b  = (2;1;3)\).

(P) có cặp vecto chỉ phương là \(\overrightarrow a  = (1;2;1)\), \(\overrightarrow b  = (2;1;3)\), suy ra (P) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = (2.3 - 1.1;1.2 - 1.3;1.1 - 2.2) = (5; - 1; - 3)\).

Phương trình của (P) là \(5(x - 4) - 1(y - 0) - 3(z - 1) = 0 \Leftrightarrow 5x - y - 3z - 17 = 0\).

Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1;1;1), B(1;2;2), C(4;1;0).

(P) đi qua ba điểm A(1;1;1), B(1;2;2), C(4;1;0) nên có cặp vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {AB}  = (0;1;1)\), \(\overrightarrow {AC}  = (3;0; - 1)\), suy ra (P) có vecto pháp tuyến là

\(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = (1.( - 1) - 1.0;1.3 - 0.( - 1);0.0 - 1.3) = ( - 1;3; - 3)\).

Phương trình của (P) là \( - 1(x - 1) + 3(y - 1) - 3(z - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 3y + 3z = 0\). 

Bài 5: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): \(2x - 3y + z + 5 = 0\). 

a) Chứng minh rằng mặt phẳng (Q): \( - 4x + 6y - 2z + 7 = 0\) song song với (P).

Xét (P): \(2x - 3y + z + 5 = 0\) và (Q): \( - 4x + 6y - 2z + 7 = 0\).

Ta có \(\frac{2}{{ - 4}} = \frac{{ - 3}}{6} = \frac{1}{{ - 2}} \ne \frac{5}{7}\) nên (P)//(Q).

b) Viết phương trình mặt phẳng (P’) đi qua điểm M(1;-2;3) và song song với (P).

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (2; - 3;1)\).

Vì (P’)//(P) nên (P’) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (2; - 3;1)\).

Vậy mặt phẳng (P’) đi qua đi qua M(1;-2;3) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (2; - 3;1)\) có phương trình là:

\(2(x - 1) - 3(y + 2) + 1(z - 3) = 0\) hay \(2x - 3y + z - 11 = 0\).

Bài 6: Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) có phương trình là (P): \(x - 4y + 3z + 2 = 0\), (Q): \(4x + y + 88 = 0\), (R): \(x + y + z + 9 = 0\). Chứng minh rằng (P) ⊥ (Q), (P) ⊥ (R).

Các mặt phẳng (P), (Q), (R) có vecto pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}}  = (1; - 4;3)\), \(\overrightarrow {{n_2}}  = (4;1;0)\), \(\overrightarrow {{n_3}}  = (1;1;1)\).

Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 1.4 + ( - 4).1 + 3.0 = 0\). Vậy (P) ⊥ (Q).

Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_3}}  = 1.1 + ( - 4).1 + 3.1 = 0\). Vậy (P) ⊥ (R). 

Bài 7: Tìm khoảng cách từ điểm M(1;2;3) đến mặt phẳng (P): \(x + y + z + 12 = 0\).

\(d\left( {M,(P)} \right) = \frac{{\left| {1.1 + 1.2 + 1.3 + 12} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{18}}{{\sqrt 3 }} = 6\sqrt 3 \). 

Bài 8: Chứng minh \((\alpha )\): 2x + 3y – 6z – 7 = 0 song song với \((\beta )\): 2x + 3y – 6z + 14 = 0 và tìm khoảng cách giữa chúng.

Ta có \(\frac{2}{2} = \frac{3}{3} = \frac{{ - 6}}{{ - 6}} \ne \frac{{ - 7}}{{14}}\) nên \((\alpha )\)//\((\beta )\). Lấy điểm N(-7;0;0) thuộc \((\beta )\).

Vậy \(d\left( {(\alpha ),(\beta )} \right) = d\left( {N,(\alpha )} \right) = \frac{{\left| {2.( - 7) + 3.0 - 6.3 - 7} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 6)}^2}} }} = \frac{{21}}{7} = 3\).

Bài 9: Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng: :\((\alpha )\) \(2x + 2y - 4z + 1 = 0\) và \((\beta )\): \(x - z - 5 = 0\).

Mặt phẳng \((\alpha )\) và \((\beta )\) lần lượt có các vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = (2;2; - 4)\) và \(\overrightarrow {n'}  = (1;0; - 1)\).

Ta có: \(\cos ((\alpha ),(\beta )) = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 + 2.0 + ( - 4).( - 1)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( - 4)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy \(\left( {(\alpha ),(\beta )} \right) = {30^o}\).

HocTot.Nam.Name.Vn