Lý thuyết phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải

1. Các kiến thức cần nhớ

Quy tắc chuyển vế

Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.

Quy tắc nhân với một số

Trong một phương trình, ta có thể:

- Nhân cả hai vế với cùng một số khác $0.$

- Chia cả hai vế cho cùng một số khác $0.$

Phương trình dạng \(ax + b = 0\) với \(a \ne 0\) luôn có một nghiệm duy nhất \(x = - \dfrac{b}{a}.\)

Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn

Bước 1: Chuyển vế \(ax = -b\)

Bước 2: Chia hai vế cho \(a\) ta được: \(x = \dfrac{-b}{a}\)

Bước 3: Kết luận nghiệm: \(S = \left \{ \dfrac{-b}{a} \right \}\)

Tổng quát phương trình \(ax+b=0\) (với \(a\ne0\)) được giải như sau:

Phương trình bậc nhất ax + b = 0 (\(a \ne 0\)) được giải như sau:

\(\begin{array}{c}ax + b = 0\\ax = - b\\x = - \frac{b}{a}\end{array}\)

Phương trình bậc nhất ax + b = 0 (\(a \ne 0\)) luôn có một nghiệm duy nhất là \(x = - \frac{b}{a}\).

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Nhận dạng phương trình bậc nhất một ẩn

Phương pháp:

Ta sử dụng định nghĩa: Phương trình dạng \(ax + b = 0,\)với a và b là hai số đã cho và \(a \ne 0,\) được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

Dạng 2: Giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn.

Phương pháp:

Ta dùng các quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân với một số để giải phương trình.

Biện luận phương trình bậc nhất một ẩn:

Cho phương trình \(ax + b = 0\) \(\left( 1 \right)\) .

+ Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right.\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) có vô số nghiệm

+ Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b \ne 0\end{array} \right.\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) vô nghiệm

+ Nếu \(a \ne 0\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm duy nhất \(x = - \dfrac{b}{a}\).

Dạng 3: Giải các phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Phương pháp:

Bằng cách chuyển vế và nhân cả hai vế của phương trình với một số khác 0, ta có thể đưa một số phương trình ẩn x về phương trình dạng ax + b = 0 và do đó có thể giải được chúng.

3. Bài tập vận dụng

Câu 1. Phương trình nào dưới đây là phương trình một ẩn?

A. \(2x - 2y + 1 = 0\)

B. \(xzy = 6\)

C. \(2{x^2} + 1 = x - 2\)

D. \(3{x^2} + 4{y^2} = 2y\)

Lời giải

\(2{x^2} + 1 = x - 2\) là phương trình một ẩn (ẩn x)

Đáp án C

Câu 2. Cho phương trình \(2x + 1 = 0\), chọn khẳng định đúng

A. Hệ số của x là 2, hạng tử tự do là 1

B. Hệ số của x là 1, hạng tử tự do là 2

C. Hệ số của x là \( - 1,\) hạng tử tự do là 2

D. Hệ số của x là 2, hạng tử tự do là \( - 1\)

Lời giải

Phương trình \(2x + 1 = 0\) có hệ số của x là 2, hạng tử tự do là 1

Đáp án A

Câu 3. Nghiệm của phương trình \(3x - 6 = 0\) là:

A. \(x = \frac{1}{2}\)

B. \(x = \frac{{ - 1}}{2}\)

C. \(x = 2\)

D. \(x = - 2\)

Lời giải

\(3x - 6 = 0\)

\(3x = 6\)

\(x = \frac{6}{3} = 2\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 2\)

Đáp án C

Câu 4. Nghiệm của phương trình \(\frac{3}{4} + \frac{2}{5}x = 0\) có dạng \(x = - \frac{a}{b},\) trong đó \(b > 0\) và \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(a + b = 21\)

B. \(a + b = 23\)

C. \(a + b = 20\)

D. \(a + b = 24\)

Lời giải

\(\frac{3}{4} + \frac{2}{5}x = 0\)

\(\frac{2}{5}x = \frac{{ - 3}}{4}\)

\(x = \frac{{ - 3}}{4}:\frac{2}{5} = \frac{{ - 15}}{8}\)

Do đó, \(a = 15,b = 8\)

Vậy \(a + b = 15 + 8 = 23\)

Đáp án B

Câu 5. Ở một số quốc gia, người ta dùng cả hai đơn vị đo nhiệt độ là Fahrenheit (^oF) và độ Celcius (^oC), liên hệ với nhau bởi công thức \(C = \frac{5}{9}\left( {F - 32} \right).\) Khi ở 20 ^oC thì ứng với độ Fahrenheit là:

A. 34 ^oF

B. 38 ^oF

C. 64 ^oF

D. 68 ^oF

Lời giải

Với \(C = {20^o}C\) ta có:

\(20 = \frac{5}{9}\left( {F - 32} \right)\)

\(F - 32 = 20 : \frac{5}{9}\)

\(F - 32 = 36\)

\(F = 36 + 32 = 68\)

Vậy \(C = {20^o}C\) thì ứng với 68 ^oF

Đáp án D

Câu 6. Biết rằng \(4x - 8 = 0\). Giá trị của biểu thức \(5{x^2} - 4\) là:

Lời giải

\(4x - 8 = 0\)

\(4x = 8\)

\(x = \frac{8}{4} = 2\)

Với \(x = 2\) thay vào biểu thức \(5{x^2} - 4\) ta có: \({5.2^2} - 4 = 16\)

Câu 7. Phương trình \({x^2} + 4 = 0\) có bao nhiêu nghiệm?

Lời giải

Vì \({x^2} \ge 0\) với mọi x nên \({x^2} + 4 > 0\) với mọi x.

Do đó, phương trình \({x^2} + 4 = 0\) vô nghiệm.

Câu 8. Tìm x, biết rằng nếu lấy x trừ đi \(\frac{1}{4},\) rồi nhân kết quả với \(\frac{1}{2}\) thì được \(\frac{1}{8}\)

Lời giải

Theo đề bài ta có: \(\left( {x - \frac{1}{4}} \right).\frac{1}{2} = \frac{1}{8}\)

\(x - \frac{1}{4} = \frac{1}{8}:\frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)

\(x = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\)

Vậy \(x = \frac{1}{2}\)

Câu 9. Gọi \({x_0}\) là nghiệm của phương trình \(3\left( {x - 5} \right) + 9x\left( {x - 3} \right) = 9{x^2}.\)

Hãy chọn đáp án đúng.

A. \({x_0} < 0\)

B. \({x_0} < - 1\)

C. \({x_0} > 0\)

D. \({x_0} > 1\)

Lời giải

\(3\left( {x - 5} \right) + 9x\left( {x - 3} \right) = 9{x^2}\)

\(3x - 15 + 9{x^2} - 27x = 9{x^2}\)

\( - 24x = 15\)

\(x = \frac{{ - 5}}{8}\)

Khi đó, nghiệm của phương là \({x_0} = \frac{{ - 5}}{8}\)

Do đó, \({x_0} < 0\)

Đáp án A

Câu 10. Cho hai phương trình \(8\left( {x - 2} \right) = 14 + 6\left( {x - 1} \right) + 2\left( {x + 5} \right)\,\,\left( 1 \right)\) và \({\left( {x - 2} \right)^2} = {x^2} - 2x - 2\left( {x - 2} \right)\;\;\left( 2 \right)\)

Hãy chọn đáp án đúng.

A. Phương trình (1) vô nghiệm, phương trình (2) có nghiệm duy nhất

B. Phương trình (1) có vô số nghiệm, phương trình (2) vô nghiệm

C. Phương trình (1) vô nghiệm, phương trình (2) có vô số nghiệm

D. Cả phương trình (1) và phương trình (2) đều có một nghiệm

Lời giải

\(8\left( {x - 2} \right) = 14 + 6\left( {x - 1} \right) + 2\left( {x + 5} \right)\,\)

\(8x - 16 = 14 + 6x - 6 + 2x + 10\)

\(8x - 6x - 2x = 18 + 16\)

\(0 = 34\) (vô lí)

Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

\({\left( {x - 2} \right)^2} = {x^2} - 2x - 2\left( {x - 2} \right)\)

\({x^2} - 4x + 4 = {x^2} - 2x - 2x + 4\)

\({x^2} - 4x + 4 - {x^2} + 4x - 4 = 0\)

\(0 = 0\) (luôn đúng)

Vậy phương trình (2) có vô số nghiệm.

Đáp án C