Lý thuyết Hàm số mũ và hàm số logarit - SGK Toán 11 Cùng khám phá

A. Lý thuyết

1. Hàm số mũ

a) Định nghĩa

Lưu ý:

- Hàm số $y = {a^x}$ $(a > 0,a \ne 1)$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ và tập giá trị là $(0; + \infty )$.

- Hàm số $y = {a^x}$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

- Với a = 1 thì ${1^x} = 1$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

b) Đồ thị của hàm số $y = {a^x}$ $(a > 0,a \ne 1)$

2. Hàm số logarit

a) Định nghĩa

Lưu ý:

- Hàm số $y = {\log _a}x$ có tập xác định là $D = (0; + \infty )$ và tập giá trị là $\mathbb{R}$.

- Hàm số $y = {\log _a}x$ liên tục trên khoảng $D = (0; + \infty )$.

- Hàm số $y = {\log _a}(u(x))$ $(a > 0,a \ne 1)$ xác định khi và chỉ khi u(x) xác định và u(x) > 0.

b) Đồ thị của hàm số logarit $y = {\log _a}(u(x))$ $(a > 0,a \ne 1)$

B. Bài tập

Bài 1: Hàm số nào sau đây là hàm số mũ? Tìm cơ số của hàm số mũ đó.

a) $y = {2^x}$.

b) $y = {(\sqrt 2  - 1)^x}$.

c) $y = {e^x}$.

d) $y = {x^e}$.

Giải:

a) Hàm số $y = {2^x}$ là hàm số mũ với cơ số bằng 2.

b) Hàm số $y = {(\sqrt 2  - 1)^x}$ là hàm số mũ với cơ số bằng $\sqrt 2  - 1$.

c) Hàm số $y = {e^x}$ là hàm số mũ với cơ số bằng e.

d) Hàm số $y = {x^e}$ không phải là hàm số mũ vì cơ số không phải hằng số.

Bài 2: Tìm hàm số mũ $f(x) = {a^x}$ mà dồ thị của nó được cho bên dưới:

a)

b)

Giải:

a) Vì $f(x) = {a^2} = 16$ nên a = 4. Do đó $f(x) = {4^x}$.

b) Vì $f(x) = {a^2} = \frac{1}{4}$ nên $a = \frac{1}{2}$. Do đó $f(x) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}$.

Bài 3: Xác định cơ số của các hàm số logarit sau:

a) $y = {\log _3}x$.

b) $y = \ln x$.

c) $y = \log x$.

Giải:

a) Hàm số $y = {\log _3}x$ có cơ số bằng 3.

b) Hàm số $y = \ln x$ có cơ số bằng e.

c) Hàm số $y = \log x$ có cơ số bằng 10.

Bài 4: Tìm hàm số logarit $f(x) = {\log _a}x$ mà đồ thị của nó được cho bên dưới:

a)

b)

Giải:

a) Vì f(5) = 1 nên ${\log _a}5 = 1 \Leftrightarrow a = 5$. Do đó $f(x) = {\log _5}x$.

b) Vì f(3) = -1 nên ${\log _a}3 =  - 1 \Leftrightarrow a = \frac{1}{3}$. Do đó $f(x) = {\log _{\frac{1}{3}}}x$.