Giải mục 5 trang 71, 72, 73 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Hoạt động 7

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông với tâm $O$ và các cạnh bên của hình chóp bằng nhau (Hình 21). Đường thẳng $SO$ có vuông góc với đáy không?

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí: Nếu đường thẳng $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $a$ và $b$ cùng nằm trong mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ thì $d \bot \left( \alpha  \right)$.

Lời giải chi tiết:

Tam giác $SAC$ cân tại $S \Rightarrow SO \bot AC$

Tam giác $SB{\rm{D}}$ cân tại $S \Rightarrow SO \bot B{\rm{D}}$

$\Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)$

Quảng cáo

Thực hành 4

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có $O$ là tâm của đáy và $AB = a,SA = 2a$. Tính $SO$ theo $a$.

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí Pitago.

Lời giải chi tiết:

$S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều $\Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)$

$\Rightarrow SO \bot AO$

$ABC{\rm{D}}$ là hình vuông

$\Rightarrow AC = AB\sqrt 2  = a\sqrt 2  \Rightarrow AO = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Xét tam giác $SAO$ vuông tại $O$ có:

$SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}}  = \frac{{a\sqrt {14} }}{2}$

Vận dụng 4

Cho biết kim tự tháp Khafre tại Ai Cập có dạng hình chóp tứ giác đều với chiều cao khoảng 136 m và cạnh đáy dài khoảng 152 m. Tính độ dài đường cao của mặt bên xuất phát từ đỉnh của kim tự tháp.

(nguồn: https://vi.wikipedia.org/wiki/ Kim tự tháp_Khafre)

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí Pitago.

Lời giải chi tiết:

Mô hình hoá hình ảnh kim tự tháp bằng hình chóp tứ giác đều $S.ABC{\rm{D}}$ có $O$ là tâm của đáy. Kẻ $SI \bot C{\rm{D}}\left( {I \in C{\rm{D}}} \right)$.

Ta có: $SO = 136,CD = 152$

Tam giác $SCD$ cân tại $S$

$\Rightarrow SI$ vừa là trung tuyến, vừa là đường cao của tam giác

$\Rightarrow I$ là trung điểm của $CD$.

Mà $O$ là trung điểm của $AD$

$\Rightarrow OI$ là đường trung bình của tam giác $ACD$

$\Rightarrow OI = \frac{1}{2}BC = 76$

$SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot OI$

$\Rightarrow \Delta SOI$ vuông tại $O$

$\Rightarrow SI = \sqrt {S{O^2} + O{I^2}}  = 4\sqrt {1517}  \approx 155,8$

Vậy độ dài đường cao của mặt bên xuất phát từ đỉnh của kim tự tháp khoảng 155,8 m.

Hoạt động 8

Cho hình chóp đều $S.{A_1}{A_2}{A_3}...{A_6}$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ song song với mặt đáy và cắt các cạnh bên lần lượt tại ${A_1}^\prime ,{A_2}^\prime ,{A_3}^\prime ,...,{A_6}^\prime$.

a) Đa giác ${A_1}^\prime {A_2}^\prime {A_3}^\prime ...{A_6}^\prime$ có phải lục giác đều không? Giải thích.

b) Gọi $O$ và $O'$ lần lượt là tâm của hai lục giác ${A_1}{A_2}{A_3}...{A_6}$ và ${A_1}^\prime {A_2}^\prime {A_3}^\prime ...{A_6}^\prime$. Đường thẳng $OO'$ có vuông góc với mặt đáy không?

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của hai mặt phẳng song song.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

$\begin{array}{l}\left( P \right)\parallel \left( {{A_1}{A_2}{A_3}...{A_6}} \right)\\ \Rightarrow {A_1}^\prime {A_2}^\prime \parallel {A_1}{A_2},{A_2}^\prime {A_3}^\prime \parallel {A_2}{A_3},{A_3}^\prime {A_4}^\prime \parallel {A_3}{A_4},{A_4}^\prime {A_5}^\prime \parallel {A_4}{A_5},{A_5}^\prime {A_6}^\prime \parallel {A_5}{A_6},{A_6}^\prime {A_1}^\prime \parallel {A_6}{A_1}\\ \Rightarrow \frac{{{A_1}^\prime {A_2}^\prime }}{{{A_1}{A_2}}} = \frac{{{A_2}^\prime {A_3}^\prime }}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{A_3}^\prime {A_4}^\prime }}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{A_4}^\prime {A_5}^\prime }}{{{A_4}{A_5}}} = \frac{{{A_5}^\prime {A_6}^\prime }}{{{A_5}{A_6}}} = \frac{{{A_6}^\prime {A_1}^\prime }}{{{A_6}{A_1}}}\end{array}$

Mà ${A_1}{A_2} = {A_2}{A_3} = {A_3}{A_4} = {A_4}{A_5} = {A_5}{A_6} = {A_6}{A_1}$

$\Rightarrow {A_1}^\prime {A_2}^\prime  = {A_2}^\prime {A_3}^\prime  = {A_3}^\prime {A_4}^\prime  = {A_4}^\prime {A_5}^\prime  = {A_5}^\prime {A_6}^\prime  = {A_6}^\prime {A_1}^\prime$

Vậy đa giác ${A_1}^\prime {A_2}^\prime {A_3}^\prime ...{A_6}^\prime$ là lục giác đều.

b) Ta có:

$\left. \begin{array}{l}O' \in {A_1}^\prime {A_4}^\prime  \subset \left( {S{A_1}{A_4}} \right)\\O' \in {A_3}^\prime {A_6}^\prime  \subset \left( {S{A_3}{A_6}} \right)\\\left( {S{A_1}{A_4}} \right) \cap \left( {S{A_3}{A_6}} \right) = SO\end{array} \right\} \Rightarrow O' \in SO$

Mà $S.{A_1}{A_2}{A_3}...{A_6}$ là hình chóp đều $\Rightarrow SO \bot \left( {{A_1}{A_2}{A_3}...{A_6}} \right)$

Vậy $OO' \bot \left( {{A_1}{A_2}{A_3}...{A_6}} \right)$

Thực hành 5

Cho hình chóp cụt tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có cạnh đáy lớn $a$, cạnh đáy nhỏ $\frac{a}{2}$ và cạnh bên $2a$. Tính độ dài đường cao của hình chóp cụt đó.

Phương pháp giải:

Dựng đường cao và sử dụng định lí Pitago.

Lời giải chi tiết:

Gọi $O,O'$ lần lượt là tâm của hai đáy $ABC$ và $A'B'C'$, $M,M'$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $B'C'$.

Kẻ $A'H \bot AO\left( {H \in AO} \right) \Rightarrow A'H = OO'$

$\Delta ABC$ đều $\Rightarrow AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AO = \frac{2}{3}AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$

$\Delta A'B'C'$ đều $\Rightarrow A'M' = \frac{{\frac{a}{2}.\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow A'O' = \frac{2}{3}A'M' = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}$

$A'HOO'$ là hình chữ nhật $\Rightarrow OH = A'O' = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}$

$\Rightarrow AH = AO - OH = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}$

Tam giác $AA'H$ vuông tại $H$

$\Rightarrow OO' = A'H = \sqrt {AA{'^2} - A{H^2}}  = \frac{{a\sqrt {141} }}{6}$

Vận dụng 5

Một người cần sơn tất cả các mặt của một cái bục để đặt tượng có dạng hình chóp cụt lục giác đều có cạnh đáy lớn 1 m, cạnh bên và cạnh đáy nhỏ bằng 0,7 m. Tính tổng diện tích cần sơn.

Phương pháp giải:

Dựng đường cao và sử dụng định lí Pitago.

Lời giải chi tiết:

Mô hình hoá hình ảnh cái bục bằng hình chóp cụt lục giác đều $ABC{\rm{DEF}}{\rm{.}}A'B'C'{\rm{D'E'F'}}$ có $O$ và $O'$ là tâm của hai đáy. Kẻ $C'H \bot BC\left( {H \in BC} \right)$.

Ta có: $BC = 1;CC' = B'C' = 0,7$.

Diện tích đáy lớn là: $6.\frac{{B{C^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}$

Diện tích đáy nhỏ là: $6.\frac{{B'C{'^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{147\sqrt 3 }}{{200}}$

$BCC'B'$ là hình thang cân nên $HC = \frac{{BC - B'C'}}{2} = 0,15$

Tam giác $CC'H$ vuông tại $H \Rightarrow C'H = \sqrt {CC{'^2} - C{H^2}}  = \frac{{\sqrt {187} }}{{20}}$

Diện tích một mặt bên là: $\frac{1}{2}\left( {BC + B'C'} \right).C'H = \frac{{17\sqrt {187} }}{{400}}$

Diện tích sáu mặt bên là: $6.\frac{{17\sqrt {187} }}{{400}} = \frac{{51\sqrt {187} }}{{200}}$

Diện tích cần sơn là: $\frac{{51\sqrt {187} }}{{200}} + \frac{{3\sqrt 3 }}{2} + \frac{{147\sqrt 3 }}{{200}} \approx 7,36\left( {{m^2}} \right)$