Bài 4 trang 74 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hình hộp đứng $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình thoi. Cho biết $AB = BD = a,A'C = 2a$.

a) Tính độ dài đoạn thẳng $AA'$.

b) Tính tổng diện tích các mặt của hình hộp.

Lời giải chi tiết

 

a) Xét tam giác $AB{\rm{D}}$ có: $AB = A{\rm{D}} = B{\rm{D}} = a$

$\Rightarrow \Delta AB{\rm{D}}$ đều $\Rightarrow \widehat {BA{\rm{D}}} = {60^ \circ } \Rightarrow \widehat {ABC} = {180^ \circ } - \widehat {BA{\rm{D}}} = {120^ \circ }$

Xét tam giác $AB{\rm{C}}$ có:

$AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.BC}  = a\sqrt 3$

$AA' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AA' \bot AC \Rightarrow \Delta AA'C$ vuông tại $A$

$\Rightarrow AA' = \sqrt {A'{C^2} - A{C^2}}  = a$

b) Ta có:

$\begin{array}{l}{S_{ABC{\rm{D}}}} = {S_{A'B'C'D'}} = AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\\{S_{ABB'A'}} = {S_{C{\rm{DD}}'{\rm{C}}'}} = AB.AA' = {a^2}\\{S_{A{\rm{DD}}'A'}} = {S_{BCC'B'}} = A{\rm{D}}.AA' = {a^2}\end{array}$

Tổng diện tích các mặt của hình hộp là:

$S = {S_{ABC{\rm{D}}}} + {S_{A'B'C'D'}} + {S_{ABB'A'}} + {S_{C{\rm{DD}}'{\rm{C}}'}} + {S_{A{\rm{DD}}'A'}} + {S_{BCC'B'}} = 2.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} + 4.{a^2} = \left( {4 + \sqrt 3 } \right){a^2}$