Giải mục 4 trang 43, 44 SGK Toán 8 - Cùng khám phá

Hoạt động 5

Tính tổng hai phân thức \(\frac{{2{x^2}}}{{3x + 1}}\) và \(\frac{{ - 2{x^2}}}{{3x + 1}}.\)

Phương pháp giải:

Ta dùng quy tắc cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\frac{{2{x^2}}}{{3x + 1}} + \frac{{ - 2{x^2}}}{{3x + 1}} = \frac{{2{x^2} - 2{x^2}}}{{3x + 1}} = \frac{0}{{3x + 1}} = 0\)

Luyện tập 6

Tìm phân thức đối của mỗi phân thức sau: \(\frac{{2 - x}}{{x + 1}};\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{x - y}};\frac{{ - a - b}}{{{a^2} + {b^2}}}.\)

Phương pháp giải:

Ta có: Phân thức đối của \(\frac{A}{B}\) là \(\frac{{ - A}}{B}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: Phân thức đối của ba phân thức\(\frac{{2 - x}}{{x + 1}};\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{x - y}};\frac{{ - a - b}}{{{a^2} + {b^2}}}\) lần lượt là: \(\frac{{ - \left( {2 - x} \right)}}{{x + 1}} = \frac{{x - 2}}{{x + 1}};\frac{{ - \left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}{{x - y}} = \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{y - x}};\frac{{ - \left( { - a - b} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{{a + b}}{{{a^2} + {b^2}}}.\)

Hoạt động 6

Cho hai phân thức \(\frac{{2x + 3y}}{{x + y}}\) và \(\frac{y}{{x + y}}\)

a) Tìm phân thức đối của phân thức \(\frac{y}{{x + y}}\).

b) Cộng phân thức \(\frac{{2x + 3y}}{{x + y}}\) với phân thức tìm được ở câu a.

Phương pháp giải:

a) Ta có: Phân thức đối của \(\frac{A}{B}\) là \(\frac{{ - A}}{B}.\)

b) Ta dùng quy tắc cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.

Lời giải chi tiết:

a) Phân thức đối của \(\frac{y}{{x + y}}\) là: \(\frac{{ - y}}{{x + y}}\).

b) Ta có \(\frac{{2x + 3y}}{{x + y}} + \frac{{ - y}}{{x + y}} = \frac{{2x + 3y - y}}{{x + y}} = \frac{{2x + 2y}}{{x + y}} = \frac{{2\left( {x + y} \right)}}{{x + y}} = 2\)

Luyện tập 7

Tìm hiệu của hai phân thức sau:

a) \(\frac{3}{{2x - 4y}}\) và \(\frac{2}{{3x - 6y}}\)

b) \(\frac{3}{{4a - 5}}\) và \(\frac{{7a}}{{16{a^2} - 25}}\)

Phương pháp giải:

Ta dùng quy tắc trừ hai phân thức:

Muốn trừ phân thức \(\frac{A}{B}\) cho phân thức \(\frac{C}{D}\) ta cộng \(\frac{A}{B}\) với phân thức đối của \(\frac{C}{D}\):

\(\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A}{B} + \left( {\frac{{ - C}}{D}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \(\frac{3}{{2x - 4y}} - \frac{2}{{3x - 6y}} = \frac{9}{{6x - 12y}} - \frac{4}{{6x - 12y}} = \frac{5}{{6x - 12y}}\)

b) Ta có: \(\frac{3}{{4a - 5}} - \frac{{7a}}{{16{a^2} - 25}} = \frac{{3\left( {4a + 5} \right)}}{{\left( {4a - 5} \right)\left( {4a + 5} \right)}} - \frac{{7a}}{{16{a^2} - 25}} = \frac{{12a + 15 - 7a}}{{16{a^2} - 25}} = \frac{{5a + 15}}{{16{a^2} - 25}}\)

Vận dụng 2

Theo kế hoạch, một phân xưởng may phải hoàn thành 1 860 sản phẩm trong \(x\) ngày. Khi thực hiện, nhờ cải tiến các công đoạn sản xuât, phân xưởng không những đã hoàn thành kế hoạch sớm 1 ngày mà còn làm thêm được 90 sản phẩm.

a) Viết hai phân thức (theo \(x\)) lần lượt biểu diễn số sản phẩm phải hoàn thành theo kế hoach và số sản phẩm thực tế làm được trong một ngày.

b) Tìm phân thức biểu diễn số sản phẩm thực tế làm được nhiều hơn số sản phẩm phải hoàn thành theo kế hoạch trong một ngày.

c) Số sản phẩm thực tế làm được nhiều hơn số sản phẩm phải hoàn thành theo kế hoạch trong một ngày là bao nhiêu nếu xưởng may hoàn thành 1 860 sản phẩm trong 31 ngày?

Phương pháp giải:

a) Viết hai phân thức (theo \(x\)) lần lượt biểu diễn số sản phẩm phải hoàn thành theo kế hoach và số sản phẩm thực tế làm được trong một ngày.

b) Tính hiệu hai phân thức vừa tìm được ở câu a.

c) Thay \(x = 31\) vào phân thức vừa tìm được ở câu b.

Lời giải chi tiết:

a) Phân thức biểu diễn số sản phẩm phải hoàn thành theo kế hoạch trong một ngày là: \(\frac{{1860}}{x}\) sản phẩm.

Phân thức biểu diễn số sản phẩm phải hoàn thành thực tế trong một ngày là:\(\frac{{1860 + 90}}{{x - 1}} = \frac{{1950}}{{x - 1}}\) sản phẩm.

b) Phân thức biểu diễn số sản phẩm thực tế làm được nhiều hơn số sản phẩm phải hoàn thành theo kế hoạch trong một ngày là: \(\frac{{1950}}{{x - 1}} - \frac{{1860}}{x} = \frac{{1950x - 1860\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{90x + 1850}}{{x\left( {x - 1} \right)}}\) sản phẩm.

c) Nếu xưởng may hoàn thành 1 860 sản phẩm trong 31 ngày thì số sản phẩm thực tế làm được nhiều hơn số sản phẩm phải hoàn thành theo kế hoạch trong một ngày là: \(\frac{{90.31 + 1860}}{{31\left( {31 - 1} \right)}} = 5\) sản phẩm.