Giải mục 2 trang 27, 28, 29 Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức

Hoạt động 2

Cho phép vị tự tâm O, tỉ số k biến điểm M thành điểm M'¸điểm N thành điểm N'.

a) Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow {OM'} ,\,\overrightarrow {ON'} \) tương ứng theo các vectơ \(\overrightarrow {OM} ,\,\overrightarrow {ON} \).

b) Giải thích vì sao \(\overrightarrow {M'N'}  = k\overrightarrow {MN} \).

Phương pháp giải:

- Dựa và quy tắc hiệu \(\overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {AB} \)

- Nếu phép vị tự tâm O tỉ số k \(\left( {k \ne 0} \right)\) lần lượt biến 2 điểm A, B thành 2 điểm A’, B’ thì \(A'B' = \left| k \right|AB\)

Lời giải chi tiết:

a) Phép vị tự tâm O, tỉ số k biến điểm M thành điểm M', điểm N thành điểm N' nên ta có \(\overrightarrow {OM'}  = k\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {ON'}  = k\overrightarrow {ON} \).

b) Ta có: \(\overrightarrow {M'N'}  = \overrightarrow {ON'}  - \overrightarrow {OM'}  = k\overrightarrow {ON}  - K\overrightarrow {OM}  = k\left( {\overrightarrow {ON}  - \overrightarrow {OM} } \right) = k\overrightarrow {MN} \) (theo quy tắc hiệu).

Vậy \(\overrightarrow {M'N'}  = k\overrightarrow {MN} \).

Luyện tập 2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)² + (y – 2)² = 25.

a) Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn (C).

b) Tìm tâm I' và bán kính R' của đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm A(3; 5), tỉ số 2.

c) Viết phương trình của (C').

Phương pháp giải:

Phương trình đường tròn tâm I (a,b), bán kính R là: \({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ a}}} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ b}}} \right)^2}\; = {\rm{ }}{{\rm{R}}^2}.\)

Lời giải chi tiết:

a) Ta có (C): \({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}\; = {\rm{ }}25\) hay \({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}\; = {\rm{ }}{5^2}.\)

Do đó, đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = 5.

b) Đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm A(3; 5), tỉ số 2 nên tâm I' của đường tròn (C') là ảnh của tâm I của đường tròn (C) qua phép vị tự V_{(A, 2)} và bán kính R' của đường tròn (C') bằng 2 lần bán kính R của đường tròn (C) hay R' = 2 . 5 = 10.

Ta có: \(\overrightarrow {AI}  = \left( {1 - 3;\,2 - 5} \right) = \left( { - 2;\, - 3} \right)\)

Vì I' là ảnh của I qua phép vị tự V_{(A, 2)} nên \(\overrightarrow {AI'}  = 2\overrightarrow {AI} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{I'}} - {x_A} = 2.\left( { - 2} \right)}\\{{y_{I'}} - {y_A} = 2.\left( { - 3} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{I'}} - 3 =  - 4}\\{{y_{I'}} - 5 =  - 6}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{I'}} =  - 1}\\{{y_{I'}} =  - 1}\end{array}} \right.\)

Vậy I'(– 1; – 1) và R' = 10.

c) Phương trình đường tròn (C'): \({\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\; = {\rm{ }}{10^2}\;\)hay \({\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\; = {\rm{ }}100.\)

Vận dụng 2

 Quan sát Hình 1.47 và cho biết hình nào trong hai hình nhỏ không phải là ảnh của hình lớn qua một phép vị tự. Nêu lí do cho sự lựa chọn đó.

Phương pháp giải:

Quan sát hình ảnh để trả lời

Lưu ý: Phép vị tự chỉ thay đổi kích thước, không làm thay đổi hình dạng.

Lời giải chi tiết:

Quan sát Hình 1.47, ta thấy hình b) có hình dạng khác hẳn so với 2 hình còn lại (về cây ở góc trên bên phải, về mây và núi). Mà phép vị tự thì chỉ thay đổi về kích thước mà không thay đổi về hình dạng, do đó hình b) không phải là ảnh của hình lớn qua một phép vị tự.