Giải đề thi học kì 2 toán lớp 12 năm 2019 - 2020 trường THPT Yên Phong 2 - Bắc Ninh

Câu 1(NB): Một tổ có 10 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh từ tổ đó để giữ 2 chức vụ tổ trưởng và tổ phó.

A. \(C_{10}^2\).      B. \(A_{10}^2\).

C. \({10^2}\).           D. \(A_{10}^8\).

Câu 2(TH): Cho mặt cầu có diện tích bằng \(\frac{3}{4}\pi {a^2}\), khi đó bán kính mặt cầu bằng:

A. \(a\).                     B. \(3a\).

C. \(a\sqrt 3 \).          D. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Câu 3(NB): Nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {x - 1} \right) = 3\) là

A. \(x = 9\).               B. \(x = 7\).

C. \(x = 5\).               D. \(x = 10\).

Câu 4(NB): Gọi \(l,\,h,\,r\) lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính mặt đáy của hình nón. Diện tích xung quanh \({S_{xq}}\) của hình nón là:

A. \({S_{xq}} = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\).

B. \({S_{xq}} = \pi rh\).

C. \({S_{xq}} = 2\pi rl\).

D. \({S_{xq}} = \pi rl\).

Câu 5(NB): Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a\,;\,b} \right]\). Gọi \(D\) là miền hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và các đường thẳng \(x = a\), \(x = b\,\left( {a < b} \right)\). Diện tích của \(D\) được cho bởi công thức nào sau đây?

A. \(S = \int\limits_a^b {f(x){\rm{d}}x} \).

B. \(S = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x){\rm{d}}x} \).

C. \(S=\int\limits_b^a {f(x){\rm{d}}x} \).

D. \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|{\rm{d}}x} \).

Câu 6(TH): Tính tích phân \(I = \int\limits_0^2 {(2x + 1)dx} \)

A. \(I = 6\).               B. \(I = 4\).

C. \(I = 2\).               D. \(I = 5\).

Câu 7(TH): Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{2x + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) là

A. \(\frac{2}{3}\).    B. \( - 2\).

C. \(\frac{1}{5}\).    D. \(0\).

Câu 8(TH): Cho khối nón có bán kính đáy \(r = \sqrt 3 \) và chiều cao \(h = 4\). Tính thể tích \(V\) của khối nón đã cho.

A. \(V = 12\pi \).

B. \(V = 4\pi \).

C. \(V = \frac{{16\pi \sqrt 3 }}{3}\).

D. \(V = 16\pi \sqrt 3 \).

Câu 9(NB): Rút gọn biểu thức \(P = {x^{\frac{1}{2}}}.\sqrt[8]{x}\) (với \(x > 0\)).

A. \({x^{\frac{5}{8}}}\).                          B. \({x^{\frac{1}{{16}}}}\).

C. \({x^4}\).             D. \({x^{\frac{5}{{16}}}}\).

Câu 10(NB): Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( { - 3;4} \right)\) và \(B\left( {5;6} \right)\). Trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) có tọa độ là

A. \(\left( {5;1} \right)\).

B. \(\left( {1;5} \right)\).

C. \(\left( {4;1} \right)\).

D. \(\left( {8;2} \right)\).

Câu 11(NB): Cho a là số thực dương khác 1. Tính \(I = {\log _a}{a^2}\).

A. \(I = 2\).

B. \(I = \frac{1}{2}\).

C. \(I =  - \frac{1}{2}\).

D. \(I =  - 2\).

Câu 12(NB): Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh \(a\) và chiều cao bằng \(2a\). Thể tích cúa khối chóp đã cho bằng:

A. \(2{a^3}\).           B. \(4{a^3}\).

C. \(\frac{2}{3}{a^3}\).                            D. \(\frac{4}{3}{a^3}\).

Câu 13(NB): Cho đồ thị hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên sau

Hàm số đồng biến trên khoảng

A. \((0;2)\).               B. \((1;5)\).

C. \((2; + \infty )\).    D. \(( - \infty ;0)\).

Câu 14(NB): Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau

Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng

A. \(2\).                    B. \(0\).

C. \(5\).                    D. \(1\).

Câu 15(NB): Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):3x - z + 2 = 0\). Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\)?

A. \(\vec n = \left( {3;\, - 1;\,2} \right)\).

B. \(\vec n = \left( {3;\,0;\, - 1} \right)\).

C. \(\vec n = \left( { - 1;\,0;\, - 1} \right)\).

D. \(\vec n = \left( {3; - \,1;\,0} \right)\).

Câu 16(TH): Đồ thị của hàm số \(y =  - {x^4} - 3{x^2} + 1\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bao nhiêu

A. 0.                         B. 1.

C. -1.                        D. -3.

Câu 17(TH): Thể tích khối trụ có đường cao bằng \(4a\), đường kính đáy bằng \(a\) là

A. \(\frac{{\pi {a^3}}}{3}\).                     B. \(\pi {a^3}\).

C. \(2\pi {a^3}\).      D. \(4\pi {a^3}\).

Câu 18(NB): Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 3,\,{u_3} = 11\). Công sai \(d\) bằng

A. \(7\).                    B. \(2\).

C. \(3\).                    D. \(4\).

Câu 19(TH): Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = x{\left( {x + 3} \right)^2}{\left( {x - 2} \right)^3},\forall x \in \mathbb{R}\). Số điểm cực trị của hàm số là:

A. \(1\).                    B. \(4\).

C. \(2\).                    D. \(3\).

Câu 20(NB): Tính đạo hàm của hàm số \(y = {2^x}\).

A. \(y' = x{.2^{x - 1}}\ln 2\).

B. \(y' = {2^x}\ln 2\).

C. \(y' = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\).

D. \(y' = x{.2^{x - 1}}\).

Câu 21(TH): Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\) là

A. \(F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + C\).

B. \(F\left( x \right) = {x^3} + C\).

C. \(F\left( x \right) = x + C\).

D. \(F\left( x \right) = 2x + C\).

Câu 22(NB): Tập xác định của hàm số \(y = {\left( {x - 1} \right)^{\frac{1}{5}}}\) là

A. \(\left( {0; + \infty } \right)\).

B. \(\left( {1; + \infty } \right)\).

C. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

D. \(\left[ {1; + \infty } \right)\).

Câu 23(TH): Thể tích của khối lập phương cạnh \(2a\) bằng

A. \(8{a^3}\).

B. \(6{a^3}\).

C. \({a^3}\).

D. \(2{a^3}\).

Câu 24(TH): Cho số phức \(z = 2 - 3i\). Điểm biểu diễn số phức liên hợp của \(z\) là

A. \(\left( {2;\, - 3} \right)\).

B. \(\left( { - 2;\, - 3} \right)\).

C. \(\left( { - 2;\,3} \right)\).

D. \(\left( {2;\,3} \right)\).

Câu 25(TH): Trong không gian \(Oxyz\) cho hai điểm \(I\left( {1;1;1} \right)\) và \(A\left( {1;2;3} \right)\). Phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua A là

A. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 5\).

B. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 29\).

C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 5\).

D. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 25\).

Câu 26(NB): Số phức liên hợp của \(z = 4 + 3i\) là

A. \(\overline z  = 4 - 3i\).

B. \(\overline z  = 3 - 4i\).

C. \(\overline z  = 3 + 4i\).

D. \(\overline z  =  - 3 + 4i\).

Câu 27(NB): Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = {\mkern 1mu} \frac{{x - 3}}{{x - 1}}\) có phương trình là

A. \(x = 1\).

B. \(y = 0\).

C. \(y = 5\).

D. \(y = 1\).

Câu 28(NB): Môdun của số phức \(z = 4 - 3i\) bằng

A. \(5\).                    B. \(25\).

C. \(1\).                    D. \(7\).

Câu 29(TH): Cho hàm số \(y = \frac{{ax - b}}{{x - 1}}\) có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. \(a < b < 0\).

B. \(b < a < 0\).

C. \(b < 0 < a\).

D. \(0 < b < a\).

Câu 30(TH): Cho tích phân \(I = \int\limits_0^4 {x\sqrt {{x^2} + 9} {\rm{d}}x} \). Khi đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 9} \) thì tích phân đã cho trở thành

A. \(\int\limits_3^5 {{t^2}{\rm{d}}t} \).  B. \(\int\limits_0^4 {t{\rm{d}}t} \).

C. \(\int\limits_3^5 {t{\rm{d}}t} \).           D. \(\int\limits_0^4 {{t^2}{\rm{d}}t} \).

Câu 31(VD): Một hình trụ có bán kính đáy là \(3\)\({\rm{cm}}\), chiều cao là \(5\)\({\rm{cm}}\). Tính diện tích toàn phần của hình trụ đó.

A. \(24\pi \,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).                           B. \(48\pi \,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).

C. \(16\pi \,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).                           D. \(45\pi \,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).

Câu 32(VD): Tìm tập xác định của hàm số \(y = {\log _{2020}}\left( {3x - {x^2}} \right)\).

A. \(D = \left( { - \infty ;\,\,0} \right) \cup \left( {3;\,\, + \infty } \right)\).

B. \(D = \left( {0;\,\, + \infty } \right)\).

C. \(D = \mathbb{R}\).

D. \(D = \left( {0;\,\,3} \right)\).

Câu 33(VD): Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên sau đây.

Hỏi phương trình \(2\,f\left( x \right) - 5 = 0\) có bao nhiêu nghiệm thực?

A. \(0\).                    B. \(3\).

C. \(1\).                    D. \(2\).

Câu 34(VD): Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong các hàm số ở bốn phương án \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\) dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. \(y =  - {x^3} + 3{x^2} + 2\).

B. \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\).

C. \(y = {x^4} - 3{x^2} + 2\).

D. \(y = {x^3} + 3x + 1\).

Câu 35(VD): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB với A(1;-3;2), B(-1;5;4)

A. x-4y-x-18=0

B. x-4y-z+18=0

C. x-4y-z-7=0

D. x-4y-z+7=0

Câu 36(VD): Một hộp có \(10\) quả cầu xanh, \(5\) quả cầu đỏ. Lấy ngẫu nhiên \(5\) quả từ hộp đó. Xác suất để được \(5\) quả có đủ hai màu là

A. \(\frac{{250}}{{273}}\).                      B. \(\frac{{12}}{{143}}\).

C. \(\frac{{132}}{{143}}\).                      D. \(\frac{{13}}{{143}}\).

Câu 37(VD): Tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _2}\left( {2x + 3} \right) \ge 0\)là

A. \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right)\).

B. \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right]\).

C. \(S = \left( { - \infty ;0} \right]\).

D. \(S = \left[ { - 1; + \infty } \right)\).

Câu 38(VD): Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{2}\) nhận véc tơ \(\overrightarrow u \left( {a;2;b} \right)\) làm véc tơ chỉ phương. Tính \(a + b\).

A. \( - 8\).                 B. \(4\).

C. \( - 4\).                 D. \(8\).

Câu 39(VD): Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(M\left( {1;\; - 2;\;1} \right)\), \(N\left( {0;\;1;\;3} \right)\). Phương trình đường thẳng qua hai điểm \(M\), \(N\) là

A. \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{1}\).

B. \(\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z - 3}}{2}\).

C. \(\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z + 1}}{2}\).

D. \(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{{z - 2}}{1}\).

Câu 40(VD) : Tìm tập nghiệm của phương trình \({3^{{x^2} + 2x}} = 1\).

A. \(S = \left\{ {0;2} \right\}\).

B. \(S = \left\{ {0; - 2} \right\}\).

C. \(S = \left\{ { - 1;3} \right\}\).

D. \(S = \left\{ {1; - 3} \right\}\).

Câu 41(VD): Biết rằng tích phân \(\int\limits_0^1 {\left( {2x + 1} \right){e^x}dx}  = a + b.e\), tích \(a.b\) bằng

A. 20.                       B. \( - 1\).

C. \( - 15\).               D. 1.

Câu 42(VD) : Cho hai số phức \(z = 3 - 2i\), khi đó số phức \(w = 2z - 3\overline z \) là

A. -3-10i

B. -3+2i

C. -3-2i

D. 11+2i

Câu 43(VD): Gọi \({z_1}\) và \({z_2}\) lần lượt là nghiệm của phương trình \({z^2} - 2z + 5 = 0.\)Giá trị của \({\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}\) bằng

A. \(10.\)                  B. \(2\sqrt 5 .\)

C. \(20.\)                  D. \(2.\)

Câu 44(VD): Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y =  - {x^3} - 6{x^2} + \left( {4m - 9} \right)x + 4\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) là

A. \(\left[ { - \frac{3}{4}; + \infty } \right)\).

B. \(\left( { - \infty ;0} \right]\).

C. \(\left[ {0; + \infty } \right)\).

D. \(\left( { - \infty ; - \frac{3}{4}} \right]\).

Câu 45(VDC): Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = a,\)\(SB = 2a,\)\(SC = 4a\) và \(\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA} = {60^0}.\) Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\) theo \(a\).

A. \(\frac{{2{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).

B. \(\frac{{8{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).

C. \(\frac{{4{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).

D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).

Câu 46(VD): Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\) cạnh \(a\), \(SO\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(SO = a.\) Khoảng cách giữa \(SC\) và \(AB\) bằng

A. \(\frac{{2a\sqrt 3 }}{{15}}\).

B. \(\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).

C. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{{15}}\).

D. \(\frac{{a\sqrt 5 }}{5}\).

Câu 47(VD): Cho hàm số \(y = f\left( x \right) \)\(= \frac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {m + 3} \right)x + m - 4\). Tìm để hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có 5 điểm cực trị?

A. \(m > 1\).

B. \( - 3 < m <  - 1\).

C. \(m > 0\).

D. \(m > 4\).

Câu 48(VDC): Cho hàm số\(f\left( x \right) = {2^x} - {2^{ - x}}\). Gọi \(S\) là tập các số nguyên dương \(m\) thỏa mãn\(f\left( m \right) + f\left( {2m - {2^5}} \right) < 0\). Tổng các phần tử của \(S\) là?

A. \(55.\).                 B. \(50\).

C. \(100\).                D. \(110\).

Câu 49(VDC): Cho hàm số \(y = \frac{{1 - m\sin x}}{{\cos x + 2}}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ {0;10} \right]\) để giá trị nhỏ nhất của hàm số nhỏ hơn \( - 2\)?

A. \(1\).                    B. \(9\)

C. \(3\).                    D. \(6\).

Câu 50(VDC): Xét các số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \({2020^{2\left( {{x^2} - y + 1} \right)}} = \frac{{2x + y}}{{{{(x + 1)}^2}}}\). Giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của biểu thức \(P = 2y - x\) bằng

A. \({P_{\min }} = \frac{1}{2}\)

B. \({P_{\min }} = \frac{7}{8}\).

C. \({P_{\min }} = \frac{1}{4}\).

D. \({P_{\min }} = \frac{{15}}{8}\).

ĐÁP ÁN

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Thực hiện: Ban chuyên môn HocTot.Nam.Name.Vn

Câu 1:

Phương pháp:

Số cách chọn 2 bạn giữ chức vụ tổ trưởng và tổ phó bằng số chỉnh hợp chập 2 của 10 phần tử.

Hướng dẫn giải:

Mỗi cách chọn ra 2 trong 10 bạn để giữ hai chức vị tổ trưởng và tổ phó là một chỉnh hợp chập 2 của 10 phần tử.

Vậy có \(A_{10}^2\) cách chọn.

Đáp án B

Câu 2:

Phương pháp:

- Tính bán kính dựa vào công thức \(S = 4\pi {R^2}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}4\pi {R^2} = \frac{3}{4}\pi {a^2}\\ \Leftrightarrow {R^2} = \frac{3}{4}\pi {a^2}:4\pi \\ \Leftrightarrow {R^2} = \frac{3}{{16}}{a^2}\\ \Leftrightarrow R = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\end{array}\)

Đáp án D

Câu 3:

Phương pháp:

Phương trình \({\log _a}f\left( x \right) = m\) \( \Leftrightarrow f\left( x \right) = {a^m}\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l}{\log _2}\left( {x - 1} \right) = 3\\ \Leftrightarrow x - 1 = {2^3}\\ \Leftrightarrow x - 1 = 8\\ \Leftrightarrow x = 9\end{array}\)

Đáp án A

Câu 4:

Phương pháp:

Diện tích xung quanh hình nón \(S = \pi rl\)

Hướng dẫn giải:

Diện tích xung quanh hình nón \(S = \pi rl\)

Đáp án D

Câu 5:

Phương pháp:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và các đường thẳng \(x = a\), \(x = b\,\left( {a < b} \right)\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)

Hướng dẫn giải:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và các đường thẳng \(x = a\), \(x = b\,\left( {a < b} \right)\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)

Đáp án D

Câu 6:

Phương pháp:

Sử dụng công thức nguyên hàm hàm số cơ bản \(\int {{x^n}dx}  = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^2 {(2x + 1)dx} \\ = \left. {\left( {2.\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)} \right|_0^2\\ = \left. {\left( {{x^2} + x} \right)} \right|_0^2\\ = 6 - 0 = 6\end{array}\)

Đáp án A

Câu 7:

Phương pháp:

- Tính \(y'\)

- Tìm nghiệm của \(y' = 0\) trong đoạn \(\left[ {1;2} \right]\)

- Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút và các nghiệm vừa tìm được rồi so sánh.

Hướng dẫn giải:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{1}{2}} \right\}\)

Ta có: \(y' = \frac{{1.1 - 2.\left( { - 1} \right)}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} = \frac{3}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} > 0,\) \(\forall x \in D\)

Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định

Nên hàm số cũng đồng biến trên \(\left[ {1;2} \right]\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow y\left( 1 \right) \le y \le y\left( 2 \right)\\ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} y = y\left( 1 \right) = 0\end{array}\)

Đáp án D

Câu 8:

Phương pháp:

Thể tích khối nón \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\\ = \frac{1}{3}\pi .{\left( {\sqrt 3 } \right)^2}.4 = 4\pi \end{array}\)

Đáp án B

Câu 9:

Phương pháp:

Sử dụng công thức

\(\begin{array}{l}\sqrt[n]{a} = {a^{\frac{1}{n}}}\\{a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}P = {x^{\frac{1}{2}}}.\sqrt[8]{x} = {x^{\frac{1}{2}}}.{x^{\frac{1}{8}}}\\ = {x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{8}}} = {x^{\frac{5}{8}}}\end{array}\)

Đáp án A

Câu 10:

Phương pháp:

Trung điểm I của đoạn thẳng \(AB\) có tọa độ thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải:

Gọi I là trung điểm đoạn thẳng AB thì:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{ - 3 + 5}}{2} = 1\\{y_I} = \frac{{4 + 6}}{2} = 5\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I\left( {1;5} \right)\)

Đáp án B

Câu 11:

Phương pháp:

Sử dụng công thức \({\log _a}{b^n} = n{\log _a}b\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \({\log _a}{a^2} = 2{\log _a}a = 2.1 = 2\)

Đáp án A

Câu 12:

Phương pháp:

Thể tích khối chóp \(V = \frac{1}{3}Sh\)

ở đó S là diện tích đáy, h là chiều cao

Hướng dẫn giải:

Đáy là hình vuông cạnh a nên \(S = {a^2}\)

Thể tích hình chóp \(V = \frac{1}{3}Sh = \frac{1}{3}.{a^2}.2a = \frac{{2{a^3}}}{3}\)

Đáp án C

Câu 13:

Phương pháp:

Quan sát bbt và tìm khoảng làm cho đạo hàm mang dấu ( + ) (khoảng đồng biến)

Hướng dẫn giải:

Từ bbt ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\)

Đáp án A

Câu 14:

Phương pháp:

Quan sát bbt và tìm điểm đạo hàm đổi dấu từ ( + ) sang ( - ) (điểm cực đại)

Hướng dẫn giải:

Điểm cực đại của hàm số là \(x = 2\).

Giá trị cực đại của hàm số là \({y_{CD}} = y\left( 2 \right) = 5\).

Đáp án C

Câu 15:

Phương pháp:

Mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0\) có 1 VTPT là \(\left( {a;b;c} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng \(\left( P \right):3x - z + 2 = 0\) có VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {3;0; - 1} \right)\)

Đáp án B

Câu 16:

Phương pháp:

Đồ thị hàm số cắt trục túng thì cho \(x = 0\) tìm y.

Hướng dẫn giải:

Cho \(x = 0\) thì \(y\left( 0 \right) =  - {0^4} - {3.0^2} + 1 = 1\)

Do đó đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0;1} \right)\) có tung độ \(y = 1\).

Đáp án B

Câu 17:

Phương pháp:

Thể tích khối trụ \(V = \pi {R^2}h\).

Hướng dẫn giải:

Đường kính đáy bằng a nên bán kính đáy \(R = \frac{a}{2}\).

Thể tích khối trụ: \(V = \pi {R^2}h = \pi .{\left( {\frac{a}{2}} \right)^2}.4a = \pi {a^3}\)

Đáp án B

Câu 18:

Phương pháp:

Sử dụng công thức \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\) tìm công sai.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_3} = {u_1} + 2d\\ \Leftrightarrow 11 = 3 + 2d\\ \Leftrightarrow 2d = 8\\ \Leftrightarrow d = 4\end{array}\)

Đáp án D

Câu 19:

Phương pháp:

Số điểm cực trị của hàm số đa thức \(y = f\left( x \right)\) bằng số nghiệm bội lẻ của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\).

Chú ý: Bội của nghiệm \({x_0}\) chính là lũy thừa của nhị thức \(x - {x_0}\).

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 0\\ \Leftrightarrow x{\left( {x + 3} \right)^2}{\left( {x - 2} \right)^3} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 3\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Trong đó, \(x = 0\) là nghiệm đơn; \(x =  - 3\) là nghiệm bội hai; \(x = 2\) là nghiệm bội ba

Do đó đạo hàm đổi dấu qua hai nghiệm \(x = 0\) và \(x = 2\).

Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.

Đáp án C

Câu 20:

Phương pháp:

Đạo hàm hàm số \(y = {a^x}\) là \(y' = {a^x}\ln a\)

Hướng dẫn giải:

\(y = {2^x} \Rightarrow y' = {2^x}\ln 2\)

Đáp án B

Câu 21:

Phương pháp:

Nguyên hàm hàm số cơ bản \(\int {{x^n}dx}  = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l}\int {f\left( x \right)dx}  = \int {{x^2}dx} \\ = \frac{{{x^{2 + 1}}}}{{2 + 1}} + C = \frac{{{x^3}}}{3} + C\end{array}\)

Đáp án A

Câu 22:

Phương pháp:

Lũy thừa số mũ không nguyên thì cơ số phải dương.

Hướng dẫn giải:

Vì \(\frac{1}{5} \notin \mathbb{Z}\) nên hàm số xác định khi \(x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1\).

TXĐ: \(D = \left( {1; + \infty } \right)\)

Đáp án B

Câu 23:

Phương pháp:

Thể tích khối lập phương cạnh \(a\) là \(V = {a^3}\)

Hướng dẫn giải:

Thể tích của khối lập phương cạnh \(2a\) là:

\(V = {\left( {2a} \right)^3} = 8{a^3}\).

Đáp án A

Câu 24:

Phương pháp:

Điểm \(M\left( {a;b} \right)\) biểu diễn số phức \(z = a + bi\).

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(z = 2 - 3i \Rightarrow \overline z  = 2 + 3i\) là số phức liên hợp của \(z\).

Điểm biểu diễn số phức \(\overline z  = 2 + 3i\) là \(M\left( {2;3} \right)\).

Đáp án D

Chú ý:

Một số em có thể sẽ chọn nhầm đáp án A vì không đọc kĩ đề hỏi số phức liên hợp.

Câu 25:

Phương pháp:

Mặt cầu tâm I đi qua A thì có bán kính \(R = IA\).

Phương trình mặt cầu có tâm I(a;b;c) bán kính R là:

\({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}R = IA\\ = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2}} \\ = \sqrt 5 \end{array}\)

Mặt cầu tâm \(I\left( {1;1;1} \right)\) bán kính \(R = \sqrt 5 \) có phương trình:

\(\begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 5\end{array}\)

Đáp án C

Câu 26:

Phương pháp:

Số phức liên hợp của \(z = a + bi\) là \(\overline z  = a - bi\).

Hướng dẫn giải:

\(z = 4 + 3i \Rightarrow \overline z  = 4 - 3i\)

Đáp án A

Câu 27:

Phương pháp:

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) với \(ad - bc \ne 0\) có đường tiệm cận ngang \(y = \frac{a}{c}\)

Hướng dẫn giải:

\(y = {\mkern 1mu} \frac{{x - 3}}{{x - 1}}\)

TCN: \(y = 1\).

Đáp án D

Câu 28:

Phương pháp:

Số phức \(z = a + bi\) có mô đun \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

Hướng dẫn giải:

\(z = 4 - 3i\)\( \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  = 5\)

Đáp án A

Câu 29:

Phương pháp:

Quan sát đồ thị, nhận xét điểm đi qua

Hướng dẫn giải:

Ta thấy, đồ thị hàm số:

+ Cắt trục Oy tại \(\left( {0; - 2} \right)\) nên \(\frac{{a.0 - b}}{{0 - 1}} =  - 2 \Leftrightarrow b =  - 2\)

+ Cắt trục Ox tại \(\left( {2;0} \right)\) nên \(\frac{{2a - b}}{{2 - 1}} = 0 \Leftrightarrow 2a = b\) \( \Leftrightarrow 2a =  - 2 \Leftrightarrow a =  - 1\)

Vậy \(b < a < 0\).

Đáp án B

Câu 30:

Phương pháp:

- Đổi cận.

- Tính vi phân và thay vào tích phân suy ra kết quả.

Hướng dẫn giải:

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 9} \)

Đổi cận:

\(\begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = \sqrt {{0^2} + 9}  = 3\\x = 4 \Rightarrow t = \sqrt {{4^2} + 9}  = 5\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}t = \sqrt {{x^2} + 9}  \Rightarrow {t^2} = {x^2} + 9\\ \Rightarrow 2tdt = 2xdx \Rightarrow tdt = xdx\end{array}\)

Do đó \(I = \int\limits_3^5 {t.tdt}  = \int\limits_3^5 {{t^2}dt} \)

Đáp án A

Câu 31:

Phương pháp:

Diện tích toàn phần hình trụ có bán kính đáy \(R\) và chiều cao \(h\) là \({S_{tp}} = 2\pi Rh + 2\pi {R^2}\)

Hướng dẫn giải:

Diện tích xung quanh của hình trụ \({S_{xq}} = 2\pi .3.5 = 30\pi \left( {c{m^2}} \right)\)

Diện tích đáy hình trụ \({S_d} = \pi {.3^3} = 9\pi \left( {c{m^2}} \right)\)

Diện tích toàn phần của hình trụ: \({S_{tp}} = 30\pi  + 2.9\pi  = 48\pi \)  \(\left( {c{m^2}} \right)\)

Đáp án B  

Câu 32:

Phương pháp:

Hàm số \(y = {\log _a}f\left( x \right)\) với \(0 < a \ne 1\) xác định khi \(f\left( x \right) > 0\)

Hướng dẫn giải:

Hàm số \(y = {\log _{2020}}\left( {3x - {x^2}} \right)\) xác định khi \(3x - {x^2} > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 3\)

Tập xác định của hàm số \(D = \left( {0;3} \right)\)

Đáp án D  

Câu 33:

Phương pháp:

Sử dụng sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\)

Số giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) là số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\)

Hướng dẫn giải:

Ta có \(2f\left( x \right) - 5 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{5}{2}\)

Từ BBT ta thấy đường thẳng \(y = \frac{5}{2}\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 3 điểm phân biệt nên phương trình \(2f\left( x \right) - 5 = 0\) có 3 nghiệm phân biệt

Đáp án B  

Câu 34:

Phương pháp:

Dựa vào hình dáng của hàm đa thức bậc ba và hàm trùng phương để loại trừ đáp án

Xác định một số điểm đi qua rồi thay tọa độ vào hàm số.

Hướng dẫn giải:

Từ hình vẽ ta thấy đây là đồ thị của hàm đa thức bậc ba nên loại đáp án C

Lại có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } f\left( x \right) =  \pm \infty \) nên loại đáp án A

Thấy đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ \(y = 2\) nên loại D chọn B.

Đáp án B  

Câu 35:

Phương pháp:

Mặt phẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)\) có phương trình là \(a\left( {x - {x_o}} \right) + b\left( {y - {y_o}} \right) + c\left( {z - {z_o}} \right) = 0\)

Hướng dẫn giải:

Trung điểm của \(AB\) là \(I\left( {0;1;3} \right)\)

Mặt phẳng trung trực của \(AB\) đi qua trung điểm \(I\left( {0;1;3} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;8;2} \right)\) làm VTPT nên có phương trình là: \( - 2\left( {x - 0} \right) + 8\left( {y - 1} \right) + 2\left( {z - 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow  - 2x + 8y + 2z - 14 = 0\) \( \Leftrightarrow x - 4y - z + 7 = 0\)

Đáp án D  

Câu 36:

Phương pháp:

Tính xác suất bằng định nghĩa \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}\)  với \(n\left( A \right)\) là số phần tử của biến cố \(A\) và \(n\left( \Omega  \right)\) là số phần tử của không gian mẫu.

Hướng dẫn giải:

Ta có \(n\left( \Omega  \right) = C_{15}^5 = 3003\)

Gọi \(A\) là biến cố: “ 5 quả lấy ra có đủ 2 màu”

TH1: Có 4 quả xanh, 1 quả đỏ. Khi đó có \(C_{10}^4.C_5^1\) cách lấy

TH2: Có 3 quả xanh, 2 quả đỏ. Khi đó có \(C_{10}^3.C_5^2\) cách lấy

TH3: Có 2 quả xanh, 3 quả đỏ. Khi đó có \(C_{10}^2.C_5^3\) cách lấy

TH4: Có 1 quả xanh, 4 quả đỏ. Khi đó có \(C_{10}^1.C_5^4\) cách lấy

Số phần tử của biến cố A là: \(C_{10}^4.C_5^1 + C_{10}^3.C_5^2\)\( + C_{10}^2.C_5^3 + C_{10}^1.C_5^4 = 2750\)

Xác suất cần tìm là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{250}}{{273}}\)

Đáp án A  

Câu 37:

Phương pháp:

Sử dụng: Với \(0 < a \ne 1\) thì \({\log _a}f\left( x \right) \ge m\) \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge {a^m}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\({\log _2}\left( {2x + 3} \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow 2x + 3 \ge 1 \Leftrightarrow 2x \ge  - 2\) \( \Leftrightarrow x \ge  - 1\)

Tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left[ { - 1; + \infty } \right)\)

Đáp án D  

Câu 38:

Phương pháp:

Đường thẳng \(d:\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\) có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right)\)

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{2}\) có một VTCP là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {2;1;2} \right)\) nên \(2\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {4;2;4} \right)\) cũng là 1 VTCP của \(d\).

Vậy \(\overrightarrow u  = \left( {4;2;4} \right) \Rightarrow a = b = 4\), do đó \(a + b = 4 + 4 = 8\)

Đáp án D  

Câu 39:

Phương pháp:

Đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right)\) với \(abc \ne 0\) thì có phương trình \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\)

Hướng dẫn giải:

Vì đường thẳng đi qua hai điểm \(M,N\) nên nhận \(\overrightarrow {MN}  = \left( { - 1;3;2} \right)\) làm 1 VTCP

Phương trình đường thẳng cần tìm đi qua \(N\left( {0;\;1;\;3} \right)\) và có \(\overrightarrow {MN}  = \left( { - 1;3;2} \right)\) làm 1 VTCP là:  \(\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z - 3}}{2}\)

Đáp án B  

Câu 40:

Phương pháp:

Sử dụng: \({a^{f\left( x \right)}} = b\left( {b > 0,0 < a \ne 1} \right)\)\( \Leftrightarrow f\left( x \right) = {\log _a}b\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \({3^{{x^2} + 2x}} = 1\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 2x = {\log _3}1\) \( \Leftrightarrow {x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 2\end{array} \right.\)

Vậy tâp nghiệm của bất phương trình \(S = \left\{ {0; - 2} \right\}\)

Đáp án B  

Câu 41:

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần

Hướng dẫn giải:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 = u\\{e^x}dx = dv\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2dx = du\\{e^x} = v\end{array} \right.\)

Suy ra \(\int\limits_0^1 {\left( {2x + 1} \right){e^x}dx} \) \( = \left. {\left( {2x + 1} \right){e^x}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {2{e^x}dx} \)

\( = 3e - 1 - 2\left. {{e^x}} \right|_0^1\) \( = 3e - 1 - 2e + 2 = e + 1\)

Do đó \(a = b = 1\) nên \(ab = 1.\)

Đáp án D  

Câu 42:

Phương pháp:

Số phức \(z = a + bi\left( {a;b \in \mathbb{R}} \right)\) có số phức liên hợp \(\overline z  = a - bi\)

Ta có \({z_1} = {a_1} + {b_1}i\left( {{a_1},{b_1} \in \mathbb{R}} \right)\) thì \(kz = ka + kb.i\) \(\left( {k \ne 0} \right)\) và \(z - {z_1} = \left( {a - {a_1}} \right) + \left( {b - {b_1}} \right)i\)

Hướng dẫn giải:

Ta có \(\overline z  = 3 + 2i\) nên \( = 2\left( {3 - 2i} \right) - 3\left( {3 + 2i} \right)\) \( = 6 - 4i - 9 - 6i\) \( =  - 3 - 10i\)

Đáp án A

Câu 43:

Phương pháp:

Giải phương trình tìm các nghiệm \({z_1},{z_2}\) rồi tính.

Sử dụng \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \) với \(z = a + bi\left( {a;b \in \mathbb{R}} \right)\)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

 \(\begin{array}{l}{z^2} - 2z + 5 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {z - 1} \right)^2} =  - 4\\ \Leftrightarrow {\left( {z - 1} \right)^2} = {\left( {2i} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z - 1 = 2i\\z - 1 =  - 2i\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1 + 2i\\z = 1 - 2i\end{array} \right.\end{array}\)

Suy ra

 \(\begin{array}{l}{z_1} = 1 + 2i\\ \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \sqrt {{1^2} + {2^2}}  = \sqrt 5 \\{z_2} = 1 - 2i\\ \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = \sqrt 5 \end{array}\)

Nên  \({\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = 10\)

Đáp án A  

Câu 44:

Phương pháp:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(K\) khi \(f'\left( x \right) \le 0\) với mọi \(x \in K\) và dấu “\( = \)” chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm.

Ta cô lập \(m\) đưa về dạng \(m \le g\left( x \right)\), sau đó lập BBT của \(g\left( x \right)\) để tìm đáp án.

Hướng dẫn giải:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

Ta có \(y' =  - 3{x^2} - 12x + 4m - 9\)

Để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) thì \(y' \le 0\) với \(x <  - 1\)

Suy ra \( - 3{x^2} - 12x + 4m - 9 \le 0\) \( \Leftrightarrow 4m \le 3{x^2} + 12x + 9\) với mọi\(x <  - 1\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = 3{x^2} + 12x + 9\) có \(g'\left( x \right) = 6x + 12 = 0\) \( \Leftrightarrow x =  - 2 \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\)

Ta có BBT của hàm số \(g\left( x \right)\) trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\):

Từ BBT suy ra \(4m \le  - 3 \Leftrightarrow m \le  - \frac{3}{4}\)

Đáp án D  

Câu 45:

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính thể tích hình chóp \(SABC\) khi biết 3 góc và 3 cạnh xuất phát từ cùng 1 đỉnh

\(\widehat {ASB} = x,\widehat {BSC} = y,\widehat {ASC} = z,\) \(SA = a,SB = b,SC = c\) thì có thể tích:

Hướng dẫn giải:

Áp dụng công thức trên ta có thể tích khối chóp \(S.ABC\) là:

\( = \frac{{2\sqrt 2 {a^3}}}{3}\)

Đáp án A  

Câu 46:

Phương pháp:

Sử dụng: \(d\left( {a;b} \right) = d\left( {a;\left( P \right)} \right) = d\left( {A;\left( P \right)} \right) = AH\) với \(a//\left( P \right),b \subset \left( P \right),A \in a\) và \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên \(\left( P \right)\)

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính toán

Hướng dẫn giải:

Vì \(AB//DC \Rightarrow AB//\left( {SDC} \right)\) nên \(d\left( {AB,SC} \right) = d\left( {AB;\left( {SCD} \right)} \right) \)\(= d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)\)

Vì \(AO\) cắt \(\left( {SDC} \right)\) tại \(C\) với \(O\) là trung điểm \(AC\) nên \(d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = 2d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right)\)

Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(OA = OB = OC = OD,AC \bot BD\)

Lấy \(E\) là trung điểm \(DC\) ta có \(OE \bot DC;OE = \frac{1}{2}DC = \frac{a}{2}\) (do \(\Delta ODC\) vuông cân tại \(O\))

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}DC \bot OE\\DC \bot SO\end{array} \right\} \Rightarrow DC \bot \left( {SOE} \right)\)\( \Rightarrow \left( {SDC} \right) \bot \left( {SOE} \right)\)

Mà \(\left( {SDC} \right) \cap \left( {SOE} \right) = SE\)

Kẻ \(OH \bot SE\) tại \(H\)

Suy ra \(OH \bot \left( {SDC} \right)\) tại \(H\) hay \(d\left( {O;\left( {SDC} \right)} \right) = OH\)

Xét tam giác \(SOE\) vuông tại \(O\) có \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{E^2}}}\) \( = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{\frac{{{a^2}}}{4}}} = \frac{5}{{{a^2}}}\) \( \Rightarrow OH = \frac{a}{{\sqrt 5 }}\)

Suy ra \(d\left( {AB,SC} \right) = 2d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\)

Đáp án B

Câu 47:

Phương pháp:

Sử dụng: Đồ thị hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) nhận \(Oy\) làm trục đối xứng

Từ đó lập luận để có đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm bên phải trục tung

Hướng dẫn giải:

Ta có đồ thị hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) nhận \(Oy\)làm trục đối xứng nên để nó có 5 cực trị thì đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) phải có 2 điểm cực trị nằm bên phải trục tung.

Suy ra \(y' = {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m + 3 = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt \({x_1};{x_2}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{x_1} + {x_2} > 0\\{x_1}{x_2} > 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {m + 3} \right) > 0\\m + 1 > 0\\m + 3 > 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + m - 2 > 0\\m >  - 1\\m >  - 3\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m <  - 2\\m > 1\end{array} \right.\\m >  - 1\\m >  - 3\end{array} \right. \Rightarrow m > 1\)

Đáp án A  

Câu 48:

Phương pháp:

Nhận xét tính chất của hàm số \(y = f\left( x \right)\):

+ Đồng biến

+ Là hàm số lẻ

Từ đó suy ra điều kiện của m.

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = {2^x} - {2^{ - x}}\) trên \(\mathbb{R}\) có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = {2^x}\ln 2 - \left( { - x} \right)'{2^{ - x}}\ln 2\\ = {2^x}\ln 2 + {2^{ - x}}\ln 2 > 0,\forall x\end{array}\)

Do đó hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Lại có:

\(\begin{array}{l}f\left( { - x} \right) = {2^{ - x}} - {2^{ - \left( { - x} \right)}}\\ = {2^{ - x}} - {2^x} =  - {2^x} + {2^{ - x}}\\ =  - \left( {{2^x} - {2^{ - x}}} \right) =  - f\left( x \right)\\ \Rightarrow f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right)\end{array}\)

Nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm số lẻ trên \(\mathbb{R}\).

Ta có:

\( \Rightarrow f\left( {2m - {2^5}} \right) = f\left( {2m - 32} \right)\) \( =  - f\left( {32 - 2m} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( m \right) + f\left( {2m - 32} \right) < 0\\ \Leftrightarrow f\left( m \right) - f\left( {32 - 2m} \right) < 0\\ \Leftrightarrow f\left( m \right) < f\left( {32 - 2m} \right)\\ \Leftrightarrow m < 32 - 2m\end{array}\)

(do hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3m < 32\\ \Leftrightarrow m < \frac{{32}}{3}\end{array}\)

Mà m nguyên dương nên \(m \in S = \left\{ {1;2;...;10} \right\}\)

Tổng các phần tử của S là:

\(1 + 2 + 3 + ... + 10 = 55\).

Đáp án A

Câu 49:

Phương pháp:

- Biến đổi hàm số về dạng \(A\sin x + B\cos x = C\)

- Tìm ĐK để phương trình có nghiệm, từ đó tìm \(\min y\).

- Giải bất phương trình \(\min y <  - 2\) tìm m và kết luận.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}y = \frac{{1 - m\sin x}}{{\cos x + 2}}\\ \Leftrightarrow 1 - m\sin x = y\cos x + 2y\\ \Leftrightarrow y\cos x + m\sin x = 1 - 2y\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Hàm số đã cho có GTNN tức là tồn tại \(x\) để có GTNN \(y\) đó, nghĩa là phương trình (*) phải có nghiệm

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {y^2} + {m^2} \ge {\left( {1 - 2y} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {y^2} + {m^2} \ge 1 - 4y + 4{y^2}\\ \Leftrightarrow 3{y^2} - 4y + 1 - {m^2} \le 0\,\,\left( {**} \right)\end{array}\)

\(\Delta ' = 4 - 3\left( {1 - {m^2}} \right) = 1 + 3{m^2} > 0\) với mọi m nên tam thức bậc hai \(3{y^2} - 4y + 1 - {m^2}\) luôn có hai nghiệm phân biệt \(\frac{{2 \pm \sqrt {1 + 3{m^2}} }}{3}\)

Do đó \(\left( {**} \right) \Leftrightarrow \frac{{2 - \sqrt {1 + 3{m^2}} }}{3} \le y \le \frac{{2 - \sqrt {1 + 3{m^2}} }}{3}\)

Suy ra GTNN của y là \({y_{\min }} = \frac{{2 - \sqrt {1 + 3{m^2}} }}{3}\)

\(\begin{array}{l}{y_{\min }} <  - 2\\ \Leftrightarrow \frac{{2 - \sqrt {1 + 3{m^2}} }}{3} <  - 2\\ \Leftrightarrow 2 - \sqrt {1 + 3{m^2}}  <  - 6\\ \Leftrightarrow \sqrt {1 + 3{m^2}}  > 8\\ \Leftrightarrow 1 + 3{m^2} > 64\\ \Leftrightarrow 3{m^2} > 63\\ \Leftrightarrow {m^2} > 21\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > \sqrt {21} \\m <  - \sqrt {21} \end{array} \right.\end{array}\)

Mà \(m \in \mathbb{Z},m \in \left[ {0;10} \right]\) nên \(m \in \left\{ {5;6;7;8;9;10} \right\}\).

Vậy có \(6\) giá trị cần tìm.

Đáp án D

Câu 50:

Phương pháp:

Đặt \({2020^{2\left( {{x^2} - y + 1} \right)}} = \frac{{2x + y}}{{{{(x + 1)}^2}}} = t\)

Biến đổi đánh giá \(y\) theo \(x\) rồi thay vào P tìm GTNN.

Hướng dẫn giải:

Đặt \({2020^{2\left( {{x^2} - y + 1} \right)}} = \frac{{2x + y}}{{{{(x + 1)}^2}}} = t\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{2x + y}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = t\\ \Leftrightarrow 2x + y = t{\left( {x + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2x + y = t{x^2} + 2tx + t\\ \Leftrightarrow y = t{x^2} + 2\left( {t - 1} \right)x + t\end{array}\)

Khi đó:

\(\begin{array}{l}{2020^{2\left( {{x^2} - y + 1} \right)}} = t\\ \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} - y + 1} \right) = {\log _{2020}}t\\ \Leftrightarrow {x^2} - y + 1 = \frac{{{{\log }_{2020}}t}}{2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - t{x^2} - 2\left( {t - 1} \right)x - t + 1 = \frac{{{{\log }_{2020}}t}}{2}\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {1 - t} \right) + 2\left( {1 - t} \right)x + \left( {1 - t} \right) = \frac{{{{\log }_{2020}}t}}{2}\\ \Leftrightarrow \left( {1 - t} \right)\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) = \frac{{{{\log }_{2020}}t}}{2}\\ \Leftrightarrow \left( {1 - t} \right){\left( {x + 1} \right)^2} = \frac{{{{\log }_{2020}}t}}{2}\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

+) Với \(1 - t > 0 \Leftrightarrow t < 1\) thì \(VT > 0\) và \(VP = \frac{{{{\log }_{2020}}t}}{2} < 0\) nên (*) không thỏa mãn.

+) Với \(1 - t < 0 \Leftrightarrow t > 1\) thì \(VT < 0\) và \(VP = \frac{{{{\log }_{2020}}t}}{2} > 0\) nên (*) không thỏa mãn.

+) Với t=1 thì VT=VP=0.

Do đó \(t = 1\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{2x + y}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 1\\ \Leftrightarrow 2x + y = {\left( {x + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2x + y = {x^2} + 2x + 1\\ \Leftrightarrow y = {x^2} + 1\end{array}\)

Khi đó

\(P = 2y - x = 2\left( {{x^2} + 1} \right) - x\)

\(\begin{array}{l} = 2{x^2} - x + 2\\ = 2\left( {{x^2} - \frac{1}{2}x + \frac{1}{{16}}} \right) + \frac{{15}}{8}\\ = 2{\left( {x - \frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{{15}}{8}\\ \ge 2.0 + \frac{{15}}{8} = \frac{{15}}{8}\\ \Rightarrow P \ge \frac{{15}}{8}\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(x = \frac{1}{4}\) \( \Rightarrow y = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} + 1 = \frac{{17}}{{16}}\)

Vậy \({P_{\min }} = \frac{{15}}{8}\).

Đáp án D

HocTot.Nam.Name.Vn