Giải đề thi học kì 2 toán lớp 10 năm 2019 - 2020 trường THCS & THPT Nguyễn Tất Thành

Đề bài

Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm \(A(1;3)\)và \(B( - 3;5)\). Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường tròn đường kính \(AB\)?

A. \({(x - 1)^2} + {(y + 4)^2} = 5\)

B. \({(x - 1)^2} + {(y + 4)^2} = 25\)

C. \({(x + 1)^2} + {(y - 4)^2} = 25\)

D. \({(x + 1)^2} + {(y - 4)^2} = 5\)

Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình

\({x^2} + {y^2} + 2mx - 4(m + 1)y\)\( + 4{m^2} + 5m + 2 = 0\)

 là phương trình của một đường tròn trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

A. \( - 2 < m <  - 1\)

B. \(\left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 2\end{array} \right.\)

C. \(\left[ \begin{array}{l}m <  - 2\\m >  - 1\end{array} \right.\)

D. \(\left[ \begin{array}{l}m \le  - 2\\m \ge  - 1\end{array} \right.\)

Câu 3. Rút gọn biểu thức \(P = \frac{{2{{\cos }^2}x - 1}}{{\cos x + \sin x}}\) ta được

A. \(P = |\cos x - \sin x|\)

B. \(P = \sin x - \cos x\)

C. \(P = \cos x - \sin x\)

D. \(P = \cos x + \sin x\)

Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn \((C):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} = 9\) và đường thẳng \(\Delta :3x + 4y - 2m + 4 = 0\)(trong đó \(m\) là tham số). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) sao cho đường thẳng \(\Delta \) là tiếp tuyến của đường tròn \((C)\). Tích các số thuộc tập hợp S bằng:

A. \( - 36\)                             B. \(12\)

C. \( - 56\)                              D. \( - 486\)

Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn \((C):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x^2} + {y^2} - 2x + 4y + 1 = 0\). Tìm tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\)của đường tròn \((C)\).

A. \(I( - 1;2),R = 2\)

B. \(I( - 1;2),R = 4\)

C. \(I(1; - 2),R = 2\)

D. \(I(1; - 2),R = 4\)

Câu 6. Cho biết \(\frac{\pi }{2} < x < \pi \) và \(\sin x = \frac{1}{3}\). Tính \(\cos x\).

A. \(\cos x = \frac{2}{3}\)

B. \(\cos x =  - \frac{2}{3}\)

C. \(\cos x = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)

D. \(\cos x =  - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)

Câu 7. Cho \(a,b \in \mathbb{R}\)là hai số thực bất kì. Xét các mệnh đề sau

Mệnh đề 1: \(\sin (a + b)\)\( = \sin a\cos b + \sin b\cos a\).

Mệnh đề 2: \(\sin (a - b)\)\( = \sin b\cos a - \sin a\cos b\).

Mệnh đề 3: \(\cos (a - b)\)\( = \cos a\cos b - \sin a\sin b\).

Mệnh đề 4: \(\cos (a + b)\)\( = \cos a\cos b + \sin a\sin b\).

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:

A. \(0\)                                   B. \(1\)

C. \(2\)                                    D. \(3\)

Câu 8. Cho biết \(\sin x + \cos x =  - \frac{1}{2}\). Tính \(\sin 2x\).

A. \(\sin 2x =  - \frac{3}{4}\)

B. \(\sin 2x = \frac{3}{4}\)

C. \(\sin 2x = \frac{1}{2}\)

D. \(\sin 2x =  - 1\)

Câu 9. Cho biết \(\tan x = 5\). Tính giá trị biểu thức \(Q = \frac{{3\sin x - 4\cos x}}{{\cos x + 2\sin x}}\).

A. \(Q = 1\)

B. \(Q = \frac{{19}}{{11}}\)

C. \(Q =  - 1\)

D. \(Q = \frac{{11}}{9}\)

Câu 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip \((E):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Tiêu cự của elip \((E)\) bằng

A. \(4\)                                               B. \(8\)

C. \(16\)                                              D. \(2\)

Câu 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm cố định là \(A(2;0)\), \(B(0;2)\). Cho biết quỹ tích các điểm \(M\)thỏa mãn điều kiện \(M{A^2} + M{B^2} = 12\) là một đường tròn bán kính \(R\). Tìm \(R\).

A. \(R = \sqrt 5 \)

B. \(R = 4\)

C. \(R = \sqrt 3 \)

D. \(R = 2\)

Câu 12. Cho biết \(\sin x + \sin y = \sqrt 3 \) và \(\cos x - \cos y = 1\). Tính \(\cos (x + y)\).

A. \(\cos (x + y) = 1\)

B. \(\cos (x + y) =  - 1\)

C. \(\cos (x + y) = 0\)

D. \(\cos (x + y) = \frac{1}{2}\)

PHẦN II: TỰ LUẬN (7 điểm).

Câu 1: (2 điểm)

1. Giải phương trình \(\sqrt {{x^2} - 2x + 6}  = 2x - 1\).

2. Giải bất phương trình \(\sqrt { - {x^2} + 3x + 4}  \le x + 1\).

Câu 2: (2 điểm)

1. Cho biết  \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \) và \(\tan a =  - 2\). Tính \(\cos a\) và \(\cos 2a\).

2. Cho tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng

\(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C \)\(= 4\sin A\sin B\sin C\).

Câu 3: (2,5 điểm)

1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): \({x^2} + {y^2} - 6x + 4y - 12 = 0\).

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm \(A( - 1;1)\).

b) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) song song với đường thẳng \(d:3x - 4y - 2 = 0\) và cắt đường tròn (C) tại hai điểm \(A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\) sao cho độ dài đoạn thẳng\(AB = 8\).

2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip \((E):\;\;\frac{{{x^2}}}{4} + {y^2} = 1\). Gọi \({F_1},{F_2}\) là hai tiêu điểm của \((E)\)            và điểm \(M \in (E)\) sao cho \(M{F_1} \bot M{F_2}\). Tính \(MF_1^2 + MF_2^2\) và diện tích \(\Delta M{F_1}{F_2}\).

Câu 4: (0,5 điểm)

Cho tam giác \(ABC\) có số đo ba góc là \(A,B,C\) thỏa mãn điều kiện

\(\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} = \sqrt 3 \).

Chứng minh rằng tam giác \(ABC\) là tam giác đều.

Lời giải chi tiết

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Thực hiện: Ban chuyên môn HocTot.Nam.Name.Vn

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM

Câu 1 (TH):

Phương pháp:

Đường tròn đường kính AB có tâm là trung điểm AB và bán kính \(R = \frac{{AB}}{2}\).

Công thức viết phương trình đường tròn biết tâm \(I\left( {a;b} \right)\) bán kính \(R\) là:

\({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\)

Cách giải:

Gọi I là trung điểm của AB.

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{1 + \left( { - 3} \right)}}{2} =  - 1\\{y_I} = \frac{{3 + 5}}{2} = 4\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I\left( { - 1;4} \right)\)

\(AB = \sqrt {{{\left( { - 3 - 1} \right)}^2} + {{\left( {5 - 3} \right)}^2}} \) \( = 2\sqrt 5 \)

Đường tròn đường kính AB có tâm \(I\left( { - 1;4} \right)\) bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{2\sqrt 5 }}{2} = \sqrt 5 \) nên có phương trình:

\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2}\) hay \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 5\)

Chọn D

Câu 2 (TH):

Phương pháp:

Phương trình \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) là phương trình đường tròn \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - c > 0\).

Cách giải:

\({x^2} + {y^2} + 2mx - 4(m + 1)y\)\( + 4{m^2} + 5m + 2 = 0\) (1)

Có \(a =  - m,b = 2\left( {m + 1} \right),\) \(c = 4{m^2} + 5m + 2\)

(1) là phương trình đường tròn

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - c > 0\\ \Leftrightarrow {\left( { - m} \right)^2} + 4{\left( {m + 1} \right)^2}\\ - \left( {4{m^2} + 5m + 2} \right) > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 4\left( {{m^2} + 2m + 1} \right)\\ - 4{m^2} - 5m - 2 > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 4{m^2} + 8m + 4\\ - 4{m^2} - 5m - 2 > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 3m + 2 > 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m >  - 1\\m <  - 2\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn C

Câu 3 (VD):

Phương pháp:

Sử dụng công thức:

\(\begin{array}{l}\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x\end{array}\)

Thay vào biểu thức và rút gọn.

Cách giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}P = \frac{{2{{\cos }^2}x - 1}}{{\cos x + \sin x}} = \frac{{\cos 2x}}{{\cos x + \sin x}}\\ = \frac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{\cos x + \sin x}}\\ = \frac{{\left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\cos x + \sin x} \right)}}{{\cos x + \sin x}}\\ = \cos x - \sin x\end{array}\)

Chọn C

Câu 4 (TH):

Phương pháp:

Đường thẳng \(\Delta \) là tiếp tuyến của đường tròn (C) tâm I bán kính R

\( \Leftrightarrow d\left( {I,\Delta } \right) = R\)

Cách giải:

Đường tròn \((C):{(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} = 9\) có tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\) bán kính \(R = 3\).

Đường thẳng \(\Delta \) là tiếp tuyến của đường tròn (C)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow d\left( {I,\Delta } \right) = R\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {3.\left( { - 1} \right) + 4.2 - 2m + 4} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 3\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {9 - 2m} \right|}}{5} = 3\\ \Leftrightarrow \left| {9 - 2m} \right| = 15\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}9 - 2m = 15\\9 - 2m =  - 15\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2m =  - 6\\2m = 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 3\\m = 12\end{array} \right.\end{array}\)

Do đó \(S = \left\{ { - 3;12} \right\}\) nên tích cần tìm bằng \(\left( { - 3} \right).12 =  - 36\).

Chọn A

Câu 5 (NB):

Phương pháp:

Đường tròn \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) có tâm \(I\left( {a;b} \right)\) bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \)

Cách giải:

\((C):{x^2} + {y^2} - 2x + 4y + 1 = 0\)

Có \(a = 1,b =  - 2,c = 1\) nên đường tròn (C) có tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} - 1}  = 2\)

Chọn C

Câu 6 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng công thức \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\) để tính \({\cos ^2}x\)

Kết hợp điều kiện của \(x\) để suy ra dấu của \(\cos x\) và kết luận.

Cách giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\\ \Rightarrow {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} + {\cos ^2}x = 1\\ \Rightarrow {\cos ^2}x = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\end{array}\)

Mà \(\frac{\pi }{2} < x < \pi \) nên \(x\) thuộc góc phần tư thứ II

\( \Rightarrow \cos x < 0\)

Vậy \(\cos x =  - \sqrt {\frac{8}{9}}  =  - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)

Chọn D

Câu 7 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng các công thức cộng để nhận xét từng mệnh đề.

Cách giải:

Ta có:

\(\sin (a + b)\) \( = \sin a\cos b + \sin b\cos a\) nên mệnh đề 1 đúng.

\(\sin (a - b)\) \( = \sin a\cos b - \sin b\cos a\)\( \ne \sin b\cos a - \sin a\cos b\) nên mệnh đề 2 sai.

\(\cos (a - b)\) \( = \cos a\cos b + \sin a\sin b\) \( \ne \cos a\cos b - \sin a\sin b\) nên mệnh đề 3 sai

\(\cos (a + b)\) \( = \cos a\cos b - \sin a\sin b\) \( \ne \cos a\cos b + \sin a\sin b\) nên mệnh đề 4 sai.

Vậy có tất cả 1 mệnh đề đúng.

Chọn B

Câu 8 (VD):

Phương pháp:

Bình phương đẳng thức đã cho, sử dụng các công thức:

\(\begin{array}{l}{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\\\sin 2x = 2\sin x\cos x\end{array}\) 

Cách giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\sin x + \cos x =  - \frac{1}{2}\\ \Rightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 2\sin x\cos x = \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow 1 + 2\sin x\cos x = \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow 1 + \sin 2x = \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow \sin 2x = \frac{1}{4} - 1 =  - \frac{3}{4}\\ \Rightarrow \sin 2x =  - \frac{3}{4}\end{array}\)

Chọn A

Câu 9 (TH):

Phương pháp:

- Chia cả tử và mẫu của Q cho \(\cos x\) để làm xuất hiện \(\tan x\).

- Thay \(\tan x = 5\) vào tính giá trị của Q.

Cách giải:

\(\begin{array}{l}Q = \frac{{3\sin x - 4\cos x}}{{\cos x + 2\sin x}}\\ = \frac{{\frac{{3\sin x - 4\cos x}}{{\cos x}}}}{{\frac{{\cos x + 2\sin x}}{{\cos x}}}}\\ = \frac{{3.\frac{{\sin x}}{{\cos x}} - 4.\frac{{\cos x}}{{\cos x}}}}{{\frac{{\cos x}}{{\cos x}} + 2.\frac{{\sin x}}{{\cos x}}}}\\ = \frac{{3\tan x - 4}}{{1 + 2\tan x}}\end{array}\)

Thay \(\tan x = 5\) ta được:

\(Q = \frac{{3.5 - 4}}{{1 + 2.5}} = 1\)

Chọn A

Chú ý:

Có thể làm cách khác như sau:

\(\begin{array}{l}\tan x = 5 \Rightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = 5\\ \Rightarrow \sin x = 5\cos x\\ \Rightarrow Q = \frac{{3\sin x - 4\cos x}}{{\cos x + 2\sin x}}\\ = \frac{{3.5\cos x - 4\cos x}}{{\cos x + 2.5\cos x}}\\ = \frac{{11\cos x}}{{11\cos x}} = 1\end{array}\)

Câu 10 (NB):

Phương pháp:

Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có tiêu cự \(2c\) với \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} \).

Cách giải:

\(\begin{array}{l}(E):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\\ \Rightarrow {a^2} = 25,\,\,\,{b^2} = 9\\ \Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2} = 25 - 9 = 16\\ \Rightarrow c = 4\end{array}\)

Vậy tiêu cự là \(2c = 2.4 = 8\).

Chọn B

Câu 11 (VD):

Phương pháp:

Gọi \(M\left( {x;y} \right)\) thay và đẳng thức bài cho tìm mối quan hệ giữa \(x\) và \(y\).

Từ đó suy ra tập hợp điểm M.

Cách giải:

Gọi \(M\left( {x;y} \right)\) ta có:

\(AM = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 0} \right)}^2}} \) \( = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {y^2}} \)

\( \Rightarrow M{A^2} = A{M^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2}\)

\(BM = \sqrt {{{\left( {x - 0} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}} \) \( = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}} \)

\( \Rightarrow M{B^2} = B{M^2} = {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2}\)

Do đó,

\(\begin{array}{l}M{A^2} + M{B^2} = 12\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2}\\ + {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 12\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 + {y^2}\\ + {x^2} + {y^2} - 4y + 4 = 12\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 2{y^2} - 4x - 4y - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 2y - 2 = 0\end{array}\)

Dễ thấy, phương trình trên là phương trình đường tròn có tâm \(I\left( {1;1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {1^2} - \left( { - 2} \right)}  = 2\).

Vậy tập hợp điểm M thỏa mãn \(M{A^2} + M{B^2} = 12\) là đường tròn tâm \(I\left( {1;1} \right)\) và bán kính \(R = 2\).

Chọn D

Câu 12 (VD):

Phương pháp:

Bình phương mỗi đẳng thức đã cho và cộng vế với vế các đẳng thức có được.

Chú ý: \(\cos \left( {x + y} \right)\) \( = \cos x\cos y - \sin x\sin y\) 

Cách giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\sin x + \sin y = \sqrt 3 \\ \Rightarrow {\left( {\sin x + \sin y} \right)^2} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2}\end{array}\)

\( \Rightarrow {\sin ^2}x + 2\sin x\sin y + {\sin ^2}y\)\( = 3\)   (1)

\(\begin{array}{l}\cos x - \cos y = 1\\ \Rightarrow {\left( {\cos x - \cos y} \right)^2} = {1^2}\end{array}\)

\( \Rightarrow {\cos ^2}x - 2\cos x\cos y + {\cos ^2}y\) \( = 1\)  (2)

Lấy (1) cộng (2) vế với vế ta được:

Chọn B

PHẦN II: TỰ LUẬN

Câu 1 (VD):

Phương pháp:

1. Sử dụng \(\sqrt {f\left( x \right)}  = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) = {\left[ {g\left( x \right)} \right]^2}\end{array} \right.\)

2. Sử dụng \(\sqrt {f\left( x \right)}  \le g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) \le {\left[ {g\left( x \right)} \right]^2}\end{array} \right.\)

Cách giải:

1. Giải phương trình \(\sqrt {{x^2} - 2x + 6}  = 2x - 1\).

Ta có: \(\sqrt {{x^2} - 2x + 6}  = 2x - 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 1 \ge 0\\{x^2} - 2x + 6 = {\left( {2x - 1} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{2}\\{x^2} - 2x + 6 = 4{x^2} - 4x + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{2}\\3{x^2} - 2x - 5 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = \frac{5}{3}\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Rightarrow x = \frac{5}{3}\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{5}{3}.\)

2. Giải bất phương trình \(\sqrt { - {x^2} + 3x + 4}  \le x + 1\).

Ta có: \(\sqrt { - {x^2} + 3x + 4}  \le x + 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\ - {x^2} + 3x + 4 \ge 0\\ - {x^2} + 3x + 4 \le {\left( {x + 1} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 1\\ - \left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right) \ge 0\\ - {x^2} + 3x + 4 \le {x^2} + 2x + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 1\\\left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right) \le 0\\2{x^2} - x - 3 \ge 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\ - 1 \le x \le 4\\\left( {2x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) \ge 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 4\\\left[ \begin{array}{l}x \ge \frac{3}{2}\\x \le  - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Rightarrow \frac{3}{2} \le x \le 4\end{array}\)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm \(S = \left[ {\frac{3}{2};4} \right]\)

Câu 2 (VD):

Phương pháp:

1. Sử dụng \(1 + {\tan ^2}a = \frac{1}{{{{\cos }^2}a}};\) \(\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1\)

2. Sử dụng \(A + B + C = {180^0};\) \(\sin \alpha  = \sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right);\) \(\cos \alpha  = \cos \left( { - \alpha } \right);\) \(\cos \alpha  = \sin \left( {{{90}^0} - \alpha } \right)\).

Cách giải:

1. Cho biết  \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \) và \(\tan a =  - 2\). Tính \(\cos a\) và \(\cos 2a\).

Ta có:

 \(\begin{array}{l}1 + {\tan ^2}a = \frac{1}{{{{\cos }^2}a}}\\ \Leftrightarrow 1 + {\left( { - 2} \right)^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}a}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}a}} = 5\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}a = \frac{1}{5}\end{array}\)

\( \Rightarrow \cos a =  - \frac{1}{{\sqrt 5 }}\)  (vì \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \))

Lại có:  \(\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1\) \( = 2.{\left( { - \frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)^2} - 1\) \( = \frac{2}{5} - 1 = \frac{{ - 3}}{5}\)

Vậy \(\cos a =  - \frac{1}{{\sqrt 5 }};\) \(\cos 2a = \frac{{ - 3}}{5}\).

2. Cho tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng \(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C\)\( = 4\sin A\sin B\sin C\).

Ta có: \(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C\)

\(\begin{array}{l} = 2\sin \frac{{2A + 2B}}{2}\cos \frac{{2A - 2B}}{2} + \sin 2C\\ = 2\sin \left( {A + B} \right)\cos \left( {A - B} \right) + 2\sin C\cos C\end{array}\)

\( = 2\sin \left( {{{180}^0} - \left( {A + B} \right)} \right)\cos \left( {A - B} \right)\)\( + 2\sin C\cos C\)

\( = 2\sin C.\cos \left( {A - B} \right)\) \( + 2\sin C\cos C\)

\( = 2\sin C\left( {\cos \left( {A - B} \right) + \cos C} \right)\)

\( = 2\sin C.2\cos \frac{{A - B + C}}{2}.\cos \frac{{A - B - C}}{2}\)

\( = 4\sin C.\cos \frac{{A + C - B}}{2}.\cos \frac{{B + C - A}}{2}\)

Ta có: \(\cos \frac{{A + C - B}}{2} = \sin \left( {{{90}^0} - \frac{{A + C - B}}{2}} \right)\)  \( = \sin \left( {\frac{{A + B + C}}{2} - \frac{{A + C - B}}{2}} \right)\)\( = \sin B\) (do \(A + B + C = {180^0}\) )

\(\cos \frac{{B + C - A}}{2} = \sin \left( {{{90}^0} - \frac{{B + C - A}}{2}} \right)\)  \( = \sin \left( {\frac{{A + B + C}}{2} - \frac{{B + C - A}}{2}} \right)\)\( = \sin A\) (do \(A + B + C = {180^0}\) )

Từ đó ta có: \(4\sin C.\cos \frac{{A + C - B}}{2}.\cos \frac{{B + C - A}}{2}\)\( = 4\sin A\sin B\sin C\)

Hay  \(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4\sin A\sin B\sin C\).

Câu 3 (VD):

Phương pháp:

1. a) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua \(A\) và vuông góc với \(AI\) (\(I\) là tâm đường tròn \(\left( C \right)\))

Đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có 1 VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right)\) có phương trình: \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\)

b) Xác định được phương trình đường thẳng \(\Delta :3x - 4y + c = 0\left( {c \ne  - 2} \right)\)

Sử dụng công thức tính khoảng cách từ \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) là: \(d\left( {M;\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

2. Sử dụng Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có \({b^2} + {c^2} = {a^2}\) và hai tiêu điểm \({F_1}\left( { - c;0} \right),{F_2}\left( {c;0} \right)\)

Với \(M \in \left( E \right)\) thì \(M{F_1} + M{F_2} = 2a.\)

Cách giải:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): \({x^2} + {y^2} - 6x + 4y - 12 = 0\).

a)  Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm \(A( - 1;1)\).

Xét đường tròn \({x^2} + {y^2} - 6x + 4y - 12 = 0\) có tâm \(I\left( {3; - 2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} - \left( { - 12} \right)} \) \( = 5\)

Tiếp tuyến tại điểm \(A\left( { - 1;1} \right)\) vuông góc với \(AI\) nên nhận \(\overrightarrow {AI}  = \left( {4; - 3} \right)\) làm véc tơ pháp tuyến

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: \(4\left( {x + 1} \right) - 3\left( {y - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 4x - 3y + 7 = 0\)

b) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) song song với đường thẳng \(d:3x - 4y - 2 = 0\) và cắt đường tròn (C) tại hai điểm \(A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\) sao cho độ dài đoạn thẳng \(AB = 8\).

Vì \(\Delta //d:3x - 4y - 2 = 0\) nên phương trình đường thẳng \(\Delta :3x - 4y + c = 0\left( {c \ne  - 2} \right)\)

Gọi \(H\) là trung điểm của dây \(AB \Rightarrow IH \bot AB\)

Ta có:  \(IA = R = 5;\) \(HA = \frac{{AB}}{2} = 4\)

Xét tam giác vuông \(AIH\), theo định lý Pytago ta có: \(IH = \sqrt {I{A^2} - A{H^2}} \) \( = \sqrt {{5^2} - {4^2}}  = 3\)

Suy ra \(d\left( {I;\Delta } \right) = 3\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\left| {3.3 - 4.\left( { - 2} \right) + c} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 3\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {17 + c} \right|}}{5} = 3\\ \Leftrightarrow \left| {17 + c} \right| = 15\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}17 + c = 15\\17 + c =  - 15\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c =  - 2\left( {ktm} \right)\\c =  - 32\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta :3x - 4y - 32 = 0\).

2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip \((E):\;\;\frac{{{x^2}}}{4} + {y^2} = 1\). Gọi \({F_1},{F_2}\) là hai tiêu điểm của \((E)\)  và điểm \(M \in (E)\) sao cho \(M{F_1} \bot M{F_2}\). Tính \(MF_1^2 + MF_2^2\) và diện tích \(\Delta \;M{F_1}{F_2}\).

Xét \((E):\;\;\frac{{{x^2}}}{4} + {y^2} = 1\) có \(a = 2;b = 1\) \( \Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2}\) \( = 4 - 1 = 3\) \( \Rightarrow c = \sqrt 3 \)

Hai tiêu điểm của \(\left( E \right)\) là \({F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt 3 ;0} \right)\) \( \Rightarrow {F_1}{F_2} = 2\sqrt 3 \)

Xét \(\Delta {F_1}M{F_2}\) vuông tại \(M\) (do \(M{F_1} \bot M{F_2}\)), theo định lý Pytago ta có: \(MF_1^2 + MF_2^2 = {F_1}F_2^2\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow MF_1^2 + MF_2^2 = {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2}\\ \Leftrightarrow MF_1^2 + MF_2^2 = 12\end{array}\)

Ta có: \(M{F_1} + M{F_2} = 2a = 4\) và \(MF_1^2 + MF_2^2 = 12\)

Do đó:

\(\begin{array}{l}{\left( {M{F_1} + M{F_2}} \right)^2} = 16\\ \Leftrightarrow MF_1^2 + MF_2^2 + 2M{F_1}.M{F_2} = 16\\ \Leftrightarrow 12 + 2.M{F_1}.M{F_2} = 16\\ \Leftrightarrow M{F_1}.M{F_2} = 2\end{array}\)

Vì tam giác \(M{F_1}{F_2}\) vuông tại \(M\) nên \({S_{M{F_1}{F_2}}} = \frac{1}{2}M{F_1}.M{F_2}\) \( = \frac{1}{2}.2 = 1\) (đơn vị diện tích)

Câu 4 (VDC):

Cho tam giác \(ABC\) có số đo ba góc là \(A,B,C\) thỏa mãn điều kiện

\(\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} = \sqrt 3 \).

Chứng minh rằng tam giác \(ABC\) là tam giác đều.

Phương pháp:

- Chứng minh \(\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2}\) \( + \tan \frac{C}{2}\tan \frac{A}{2} = 1\)

- Chứng minh và sử dụng bất đẳng thức \({\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right)\)  

Cách giải:

*) Trước hết ta chứng minh:

\(\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2}\) \( + \tan \frac{C}{2}\tan \frac{A}{2} = 1\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}A + B + C = \pi  \Rightarrow \frac{{A + B + C}}{2} = \frac{\pi }{2}\\ \Rightarrow \frac{{A + B}}{2} = \frac{\pi }{2} - \frac{C}{2}\\ \Rightarrow \tan \frac{{A + B}}{2} = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{C}{2}} \right)\\ \Leftrightarrow \tan \left( {\frac{A}{2} + \frac{B}{2}} \right) = \cot \frac{C}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{{\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}}}{{1 - \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}}} = \frac{1}{{\tan \frac{C}{2}}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}} \right)\tan \frac{C}{2}\\ = 1 - \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}\\ \Leftrightarrow \tan \frac{A}{2}\tan \frac{C}{2} + \tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2}\\ = 1 - \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}\\ \Leftrightarrow \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2}\\ + \tan \frac{C}{2}\tan \frac{A}{2} = 1\end{array}\)

*) Chứng minh bất đẳng thức \({\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right)\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca\\ \ge 3ab + 3bc + 3ca\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca \ge 0\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ca \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right)\\ + \left( {{c^2} - 2ca + {a^2}} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\end{array}\)

(BĐT cuối luôn đúng do \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\\{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0\\{\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\end{array} \right.\))

Áp dụng bđt vừa chứng minh với \(a = \tan \frac{A}{2},b = \tan \frac{B}{2},\) \(c = \tan \frac{C}{2}\) ta được:

\(\begin{array}{l}{\left( {\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}} \right)^2}\\ \ge 3\left( {\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2}\tan \frac{A}{2}} \right)\\ = 3.1 = 3\\ \Rightarrow {\left( {\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}} \right)^2} \ge 3\\ \Rightarrow \tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} \ge \sqrt 3 \end{array}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\tan \frac{A}{2} = \tan \frac{B}{2} = \tan \frac{C}{2}\) hay \(A = B = C = \frac{\pi }{3}\).

Vậy tam giác ABC đều (đpcm).

HocTot.Nam.Name.Vn