Giải bài 8 trang 46 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Đề bài

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ biết ${u_1} = 2$ và ${u_n} = \sqrt {2 + u_{n - 1}^2}$ với mọi $n \ge 2$. Viết năm số hạng đầu của dãy số và dự đoán công thức của số hạng tổng quát ${u_n}$.

Lời giải chi tiết

Ta có:

${u_1} = 2 = \sqrt 4  = \sqrt {2\left( {1 + 1} \right)}$

${u_2} = \sqrt {2 + u_1^2}  = \sqrt {2 + {2^2}}  = \sqrt 6  = \sqrt {2\left( {2 + 1} \right)}$

${u_3} = \sqrt {2 + u_2^2}  = \sqrt {2 + 6}  = \sqrt 8  = \sqrt {2\left( {3 + 1} \right)}$

${u_4} = \sqrt {2 + u_3^2}  = \sqrt {2 + 8}  = \sqrt {10}  = \sqrt {2\left( {4 + 1} \right)}$

${u_5} = \sqrt {2 + u_4^2}  = \sqrt {2 + 10}  = \sqrt {12}  = \sqrt {2\left( {5 + 1} \right)}$

Như vậy 5 số hạng đầu của dãy số là: $2$, $\sqrt 6$, $2\sqrt 2$, $\sqrt {10}$, $2\sqrt 3$.

Từ 5 số hạng đầu, ta có thể dự đoán công thức của số hạng tổng quát ${u_n}$ là:

${u_n} = \sqrt {2\left( {n + 1} \right)}$