Giải bài 7.36 trang 47 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ thuộc elip $\left( E \right)$ có phương trình $\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1$

a) Tính $M{F_1}^2 - M{F_2}^2$ theo ${x_0};{y_0}$. Từ đó tính $M{F_1}^2 - M{F_2}^2$ theo ${x_0};{y_0}$

b) Tìm điểm M sao cho $M{F_2} = 2M{F_1}$

c) Tìm M sao cho góc nhìn của M tới hai điểm ${F_1},{F_2}$ (tức là góc $\widehat {{F_1}M{F_2}}$) là lớn nhất?

Lời giải chi tiết

+ Trong phương trình chính tắc của $\left( E \right)$ ta có $a = \sqrt 2 ,b = 1,c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = 1$ và hai tiêu điểm ${F_1}\left( { - 1;0} \right),{F_2}\left( {1;0} \right)$

a) Ta có $M{F_1}^2 - M{F_2}^2 = {\left( {{x_0} + 1} \right)^2} + {y_0}^2 - \left[ {{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2} + {y_0}^2} \right] = 4{x_0}$

+ Ta có $M \in \left( E \right) \Rightarrow M{F_1} + M{F_2} = 2a = 2\sqrt 2$ (1)

$\Rightarrow M{F_1} - M{F_2} = \frac{{M{F_1}^2 - M{F_2}^2}}{{M{F_1}^2 + M{F_2}^2}} = \frac{{4{x_0}}}{{2\sqrt 2 }} = \sqrt 2 {x_0}$             (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\left\{ \begin{array}{l}M{F_1} = \sqrt 2  + \frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }}\\M{F_2} = \sqrt 2  - \frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.$

b) Ta có: $M{F_2} = 2M{F_1} \Rightarrow \sqrt 2  - \frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }} = 2\left( {\sqrt 2  + \frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }}} \right) \Rightarrow \frac{{3{x_0}}}{{\sqrt 2 }} =  - \sqrt 2  \Rightarrow {x_0} =  - \frac{2}{3}$

= $M \in \left( E \right) \Rightarrow \frac{{{x_0}^2}}{2} + \frac{{{y_0}^2}}{1} \Rightarrow {y_0}^2 = 1 - \frac{{{x_0}^2}}{2} = 1 - \frac{{{{\left( { - \frac{2}{3}} \right)}^2}}}{2} = \frac{7}{9} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_0} = \frac{{\sqrt 7 }}{3}\\{y_0} =  - \frac{{\sqrt 7 }}{3}\end{array} \right.$

Vậy $M\left( { - \frac{2}{3};\frac{{\sqrt 7 }}{3}} \right)$ hoặc $M\left( { - \frac{2}{3}; - \frac{{\sqrt 7 }}{3}} \right)$

c) Áp dụng định lý cosin trong tam giác $M{F_1}{F_2}$:

$cos\widehat {{F_1}M{F_2}} = \frac{{M{F_1}^2 + M{F_2}^2 - {F_1}^2{F_2}^2}}{{2M{F_1}.M{F_2}}} = \frac{{{{\left( {\sqrt 2  + \frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2  - \frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2} - {2^2}}}{{2\left( {\sqrt 2  + \frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }}} \right)\left( {\sqrt 2  - \frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }}} \right)}} = \frac{{{x_0}^2}}{{4 - {x_0}^2}}$

+ Ta cos: $\frac{{{x_0}^2}}{2} = 1 - {y_0}^2 \le 1 \Rightarrow 0 \le {x_0}^2 \le 2$

$\Rightarrow cos\widehat {{F_1}M{F_2}} \ge 0 \Rightarrow \widehat {{F_1}M{F_2}} \le {90^ \circ }$

Dấu “=” xảy ra khi ${x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} =  \pm 1$