Giải bài 7.32 trang 46 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Viết phương trình chính tắc của hypebol $\left( H \right)$, biết $\left( H \right)$ đi qua điểm $M\left( {3\sqrt 2 ; - 4} \right)$ và có một tiêu điểm ${F_2}\left( {5;0} \right)$

Lời giải chi tiết

+ Phương trình chính tắc của $\left( H \right)$ có dạng $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$, trong đó $a > b > 0$

+ Do $\left( H \right)$ có 1 tiêu điểm ${F_2}\left( {5;0} \right)$ nên ta có: $c = 5 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {c^2} = 25 \Rightarrow {a^2} = 25 - {b^2}$

+ $\left( H \right)$ đi qua $M\left( {3\sqrt 2 ;4} \right)$ nên ta có: $\frac{{{{\left( {3\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{4^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow \frac{{18}}{{{a^2}}} - \frac{{16}}{{{b^2}}} = 1$

+ Đặt $t = {b^2} > 0 \Rightarrow {a^2} = 25 - t$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{18}}{{25 - t}} - \frac{{16}}{t} = 1 \Rightarrow 18t - 16\left( {25 - t} \right) = t\left( {25 - t} \right)\\ \Rightarrow {t^2} + 9t - 400 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 16\left( {TM} \right)\\t =  - 25\left( L \right)\end{array} \right.\end{array}$

$\Rightarrow {b^2} = t = 16,{a^2} = 25 - t = 9$

Vậy phương trình chính tắc của $\left( H \right)$ là: $\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$