Giải bài 70 trang 70 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Đề bài

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) ${\Delta _1}:\frac{{x + 2}}{9} = \frac{{y - 1}}{{27}} = \frac{{z - 3}}{{ - 27}}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 3}}{{ - 3}} = \frac{{z - 7}}{3}$;

b) ${\Delta _1}:\frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 6}}{5} = \frac{{z + 3}}{{ - 4}}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x + 13}}{7} = \frac{{y + 9}}{5} = \frac{{z + 15}}{8}$;

c) ${\Delta _1}:\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y + 6}}{3} = \frac{{z + 3}}{2}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x + 17}}{2} = \frac{{y - 33}}{{ - 3}} = \frac{{z + 16}}{2}$.

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng ${\Delta _1}$ đi qua điểm ${M_1}\left( { - 2;1;3} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {9;27; - 27} \right)$.

Đường thẳng ${\Delta _2}$ đi qua điểm ${M_2}\left( { - 1;3;7} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - 1; - 3;3} \right)$.

Ta có: $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {0;0;0} \right) = \overrightarrow 0 ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = \left( {1;2;4} \right)$.

$\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right] = \left( {162; - 63; - 9} \right) \ne \overrightarrow 0$. Vậy ${\Delta _1}\parallel {\Delta _2}$.

b) Đường thẳng ${\Delta _1}$ đi qua điểm ${M_1}\left( { - 1;6; - 3} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 2;5; - 4} \right)$.

Đường thẳng ${\Delta _2}$ đi qua điểm ${M_2}\left( { - 13; - 9; - 15} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {7;5;8} \right)$.

Ta có: $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {60; - 12; - 45} \right),\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = \left( { - 12; - 15; - 12} \right)$.

$\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = 60.\left( { - 12} \right) - 12.\left( { - 15} \right) - 45.\left( { - 12} \right) = 0$. Vậy ${\Delta _1}$ cắt ${\Delta _2}$.

c) Đường thẳng ${\Delta _1}$ đi qua điểm ${M_1}\left( { - 3; - 6; - 3} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {2;3;2} \right)$.

Đường thẳng ${\Delta _2}$ đi qua điểm ${M_2}\left( { - 17;33; - 16} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {2; - 3;2} \right)$.

Ta có: $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {12;0; - 12} \right),\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = \left( { - 14;39; - 13} \right)$.

$\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = 12.\left( { - 14} \right) + 0.39 - 12.\left( { - 13} \right) =  - 12 \ne 0$. Vậy ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau.