Bài 70 trang 168 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O’)$ cắt nhau tại $A$ và $B.$ Dây $AC$ của đường tròn $(O)$ tiếp xúc với đường tròn $(O’)$ tại $A.$ Dây $AD$ của đường tròn $(O’)$ tiếp xúc với đường tròn $(O)$ tại $A.$ Gọi $K$ là điểm đối xứng với $A$ qua trung điểm $I$ của $OO’,$ $E$ là điểm đối xứng với $A$ qua $B.$ Chứng minh rằng:

$a)$ $AB ⊥ KB;$

$b)$ Bốn điểm $A, C, E, D$ nằm trên cùng một đường tròn.

Lời giải chi tiết

 

$a)$ Gọi $H$ là giao điểm của $AB$ và $OO’.$

Vì hai đường tròn $(O)$ và $(O’)$ cắt nhau tại $A$ và $B$ nên $OO’$ là đường trung trực của $AB$

Hay $OO’ ⊥ AB$ tại $H$ và $HA = HB$

Lại có $I$ là trung điểm của $OO’$ nên $IH ⊥ AB\;\;      (1)$

Trong tam giác $ABK,$ ta có:

$HA = HB$ (chứng minh trên)

$IA =  IK$ (tính chất đối xứng tâm)

Suy ra $IH$ là đường trung bình của tam giác $ABK$

Suy ra $IH // BK      \;\;           (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $AB ⊥KB$

$b)$ Vì  $AB ⊥ KB$ nên $AE ⊥ KB$

Lại có: $AB = BE$ ( tính chất đối xứng tâm)

Suy ra KB là đường trung trực của AE

Do đó: $KA = KE$ ( tính chất đường trung trực)       $(3)$

Ta có:  $IO = IO’\;\; (gt)$

$IA = IK$ ( chứng minh trên)

Tứ giác $AOKO’$ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành.

Suy ra: $OK // O’A$ và $OA // O’K$

$CA ⊥ O’A$ (vì $CA$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O’)$)

$OK // O’A$ ( chứng minh trên)

Suy ra: $OK ⊥ AC$

Xét đường tròn (O) có $OK ⊥ AC$ mà OK là 1 phần đường kính và AC là dây cung nên OK đi qua trung điểm của AC.

Khi đó $OK$ là đường trung trực của $AC$

Suy ra: $KA = KC$ ( tính chất đường trung trực)         $(4)$

$DA ⊥ OA$ ( vì $DA$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$)

$O’K // OA$ ( chứng minh trên)

Suy ra: $O’K  ⊥ DA$

Xét đường tròn (O') có $O'K ⊥ DA$ mà O'K là 1 phần đường kính và AD là dây cung nên O'K đi qua trung điểm của AD.

Khi đó $O’K$ là đường trung trực của $AD$

Suy ra: $KA = KD$ ( tính chất đường trung trực)       $(5)$

Từ $(3),$ $(4)$ và $(5)$ suy ra: $KA = KC = KE = KD$

Vậy bốn điểm $A, C, E, D$ cùng nằm trên một đường tròn.

HocTot.Nam.Name.Vn