Bài 69 trang 168 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O’)$ cắt nhau tại $A$ và $B,$ trong đó $O’$ nằm trên đường tròn $(O).$ Kẻ đường kính $O’OC$ của đường tròn $(O).$

$a)$ Chứng minh rằng $CA, CB$ là các tiếp tuyến của đường tròn $(O’)$

$b)$ Đường vuông góc với $AO’$ tại $O’$ cắt $CB$ ở $I.$ Đường vuông góc với $AC$  tại $C$ cắt đường thẳng $O’B$ ở $K.$ Chứng minh rằng ba điểm $O, I, K$ thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

 

$a)$ Tam giác $AO’C$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ có $O’C$ là đường kính nên $\widehat {O'AC} = 90^\circ$

Suy ra: $CA ⊥ O’A$ tại điểm $A$

Vậy $CA$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O’)$

Tam giác $BO’C$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ có $O’C$ là đường kính nên $\widehat {O'BC} = 90^\circ$

Suy ra: $CB ⊥ O’B$ tại điểm $B$

Vậy $CB$ là tiếp tuyến đường tròn $(O’)$

$b)$ Trong đường tròn $(O’)$ ta có $AC$ và $BC$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $C.$

Suy ra: $\widehat {AO'C} = \widehat {BO'C}$ và $\widehat {ACO'} = \widehat {BCO'}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà $O’I ⊥ O’A$ (gt)

$CA ⊥ O’A$ (chứng minh trên)

Suy ra: $O’I // CA$ $\Rightarrow \widehat {ACO'} = \widehat {CO'I}$ (hai góc so le trong)

Suy ra: $\widehat {BCO'} = \widehat {CO'I}$

Hay tam giác $CIO’$ cân tại $I$$⇒ IC = IO’$

Khi đó $I$ nằm trên đường trung trực của $O’C$

Lại có: $\widehat {AO'C} = \widehat {BO'C}$ (chứng minh trên)

$KC ⊥ CA \;\;(gt)$

$O’A ⊥ AC$ (chứng minh trên)

Suy ra:$KC // O’A$ $\Rightarrow \widehat {AO'C} = \widehat {O'CK}$ (hai góc so le trong)

Suy ra: $\widehat {O'CK} = \widehat {KO'C}$

Hay tam giác $CKO’$ cân tại $K$$⇒ KC = KO’$

Khi đó $K$ nằm trên đường trung trực của $O’C$

Mặt khác: $OC = OO’$ (= bán kính đường tròn (O))

Suy ra $O, I, K$ nằm trên đường trung trực của $O’C.$

Vậy $O, I, K$ thẳng hàng.

HocTot.Nam.Name.Vn